2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学本试卷分第（选择题）和第（非选择题）。第1至2页，第3至4页，150分。考试时间120分钟。第（选择题共50分）
注意事项：
共1小题。
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项，只有一是符合题目要求的。
1、，集合为整数集，则（）
A、B、C、D、2、名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析。在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是（） A、B、C、D、3、的图象，只需把函数的图象上所有的点（）
A、个单位长度B、个单位长度
C、个单位长度D、个单位长度
【答案】A
4、，其中为底面面积，为高）
A、B、C、D、
5、，，则一定有（）
A、B、C、D、6、，那么输出的的最大值为（）
A、B、C、D、
7、，，，，则下列等式一定成立的是（）
A、B、C、D、8、上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为,，此时气球的高是，则河流的宽度等于（）
A、B、C、D、9、，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A、B、C、D、10、为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）
A、B、C、D、第（非选择题共100分）
注意事项：
0.5毫米黑色签字笔在答题卡上作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、的离心率等于____________。.
12、____________。.
13、是定义在上的周期为的函数，当时，，则____________。14、，，（），且与的夹角等于与的夹角，则____________。15、表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②若函数，则有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数（，）有最大值，则。
其中的真命题有____________。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，。
（Ⅰ）”的概率；
（Ⅱ），，不完全相同”的概率。；（2）.
.本题主要考查随机事件的概率,古典概型等概念及相关计算，考察应用意识
（1）由题意，的所有可能为：
，
，
，共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足”为事件A，则事件A包括，共3种，
所以.
因此“抽取的卡片上的数字满足”的概率为.
（2）设“抽取的卡片上的数字不完全相同”为事件B，
则事件包括，共3种，
所以.
因此“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率为.
17、(本小题满分12分)
（Ⅰ）的单调递增区间；
（Ⅱ）是第二象限角，，求的值。
【答案】（1）；（2）,.
试题分析：本题主要考查正弦型函数的性质，二倍角于和差角公式，简单的三角恒等变换等基础知识，考察运算求解能力，考察分类与整合，化归与转化等数学思想
（1）；
（2）由已知，有，
即，.
若，则，
若，则.
综上得，的值为或.
18、(本小题满分12分)和都为矩形。
（Ⅰ），证明：直线平面；
（Ⅱ），分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。平面.
试题分析：本题主要考查空间线面平行和垂直的判定与性质等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力。
（Ⅰ）因为四边形和都是矩形，
所以.
因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，
所以平面ABC.
因为直线平面ABC内，所以.
又由已知，为平面内的两条相交直线，
所以，平面.
（2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点.
由已知，O为的中点.
连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线.
所以，，
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则.
因为直线平面，平面，
所以直线平面.
即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使得直线平面.
19、(本小题满分12分)的公差为，点在函数的图象上（）。
（Ⅰ）为等差数列；（Ⅱ），函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。
.
试题分析：本题考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和、导数的几何意义等基础知识，考察运算求解能力、推理论证能力。
（1）由已知，..
当时，.
所以，数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）求导得，所以在处的切线为，令得，
所以，.所以，
其前项和：…………………………①
两边乘以4得：…………………………②
①－②得：，所以.
.20、(本小题满分13分)：（）的左焦点为，离心率为。
（Ⅰ）的标准方程；
（Ⅱ）为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，。当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。；（2）
试题分析：本题主要考查直线及椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考察推理论证能力、运算求解能力，考察数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想。
（1）由已知得：，，所以
又由，解得，所以椭圆的标准方程为：.
（2）设T点的坐标为，则直线TF的斜率.
当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是
当时，直线PQ的方程是，也符合的形式.
将代入椭圆方程得：.
其判别式.
设，
则.
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.
所以
解得.
此时四边形OPTQ的面积
.
21、(本小题满分14分)，其中，为自然对数的底数。
（Ⅰ）是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ），函数在区间内有零点，证明：。
①当时，，所以.
②当时，由得.
若，则；若，则.
所以当时，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.
当时，在上单调递减，所以.
（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，
在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则不可能恒为正，也不可能恒为负.
故在区间内存在零点.
同理在区间内存在零点.
所以在区间内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点.
所以.
此时，在上单调递减，在上单调递增，
因此，必有
.
由得：，有
.
解得.
所以，函数在区间内有零点时，.
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