专题3：方程（组）和不等式（组）
一、选择题
1.(2017天津第8题)方程组的解是（）
A．B．C.D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：把方程①代入方程②可得，3x+2x=15，解得x=3，把x=3代入方程①可得y=6，所以方程组的解为，故选D.
2.(2017福建第6题)不等式组：B．C．D．
【答案】A
【解析】由①得x≤2，由②得x>-3，所以解集为：-3
3.(2017河南第4题)解分式方程，去分母得（）
A．B．C.D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：方程两边同乘以x-1得到，故选A.
考点：解分式方程.
4.(2017河南第6题)一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B.
【解析】
试题分析：这里a=2，b=-5，c=-2，所以△=，即可得方程有有两个不相等的实数根，故选B.
考点：根的判别式.
6.（2017广东广州第5题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是B．C.D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根的判别式为△＝，解得：.故选答案A.
考点：一元二次方程考点：等比数列
9.（2017山东临沂第4题）不等式组中，不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：解不等式①可得x＜1，解不等式②得x≥-3，根据不等式解集的确定法“都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”，得到不等式组的解集为：-3≤x＜1，由此可知用数轴表示为：
故选：B.
考点：解不等式组
10.（2017山东临沂第8题）甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个.如果设乙每小时做个，那么所列方程是（）
A．B．C．D．
【答案】B
考点：分式方程的应用
11.(2017山东滨州第9题)某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）
A．22x＝16(27－x) B．16x＝22(27－x)
C．2×16x＝22(27－x) D．2×22x＝16(27－x)
【答案】D
【解析】设分配x名工人生产螺栓,则（27-x）人生产螺母,根据一个螺栓要配两个螺母可得方程2×22x=16（27-x），故选D.
12.(2017山东滨州第6题)分式方程的解为（）
A．x＝1 B．x＝－1 C．无解 D．x＝－2
【答案】C.
【解析】方程两边同乘以（x-1）（x+2）得，x（x+2）-（x-1）（x+2）=3，解得x=1，经检验，x=1不是原方程的根，原分式方程无解，故选C.
13.(2017江苏宿迁第5题)已知，则关于的不等式组的整数解共有
A．个B．个C.个D．个
【答案】B.
14.（2017江苏苏州第8题）若二次函数的图像经过点，则关于的方程的实数根为
A．，B．，C.，D．，
【答案】A.
【解析】
试题分析：
则：，故答案选A.
考点：一元二次方程的解法
15.（2017江苏苏州第4题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为
A．B．C.D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：故答案选A.
考点：根的判别式的性质.
16.（2017浙江湖州第4题）一元一次不等式组的解是（）
A．B．C.D．或
【答案】C
考点：解不等式组
17.(2017湖南湘潭第3题)不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：x<2，不包括2，画空心圆圈，小于向左拐；x＞-1，不包括-1，画空心圆圈，大于向右拐，故选B.
18.(2017浙江舟山第6题)若二元一次方程组的解为，则（）
A．1B．3C.D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：将两个方程相加，可得(x+y)+(3x-5y)=3+4，整理得4x-4y=7,即x-y=，所以a-b=，故选D.
考点：二元一次方程组的解，解二元一次方程组.
19.（2017浙江台州第9题）滴滴快车是一种的出行工具，计价规则如下表：
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程以内（）远途费，超过的，超出部分每公里 小王与各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为与，所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）10分钟B．13分钟C.15分钟D．19分钟
【答案】D
考点：1、列代数式，2、二元一次方程的应用，3、根据数量关系列出方程
20.(2017浙江金华第9题)若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是（）
A．B．C.D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：解第一个不等式得：x＜5；解第二个不等式得：x＜m；因为不等式组的解是x＜5，根据不等式组解集的判定方法即可得m≥5，故选A.
21.(2017浙江舟山第8题)用配方法解方程时，配方结果正确的是（）
A．B．C.D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：：方程两边都加2，得x2+2x+1=2，则（x+1）2=2，故选B.
考点：解一元二次方程-配方法.
二、填空题
1.(2017北京第12题)某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为.
【解析】
试题分析：由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435,篮球的单价比足球的单价多3元，可列方程：x-y=3,联立方程即可.
考点：二元一次方程组的应用.
2.(2017河南第12题)不等式组的解集是．
【答案】-1
【解析】
试题分析：解不等式①得，x≤2；解不等式②得，x>-1；所以不等式组的解集为-1
考点：一元一次不等式组的解法.
3.（2017湖南长沙第14题）方程组的解是．
【答案】
【解析】
试题分析：利用加减消元法，用方程①+方程②可得x=1，代入方程x+y=1可得y0，解得方程组的解为
故答案为
考点：加减消元法解二元一次方程组
4.(2017四川泸州第15题)关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是．
【答案】m<6且m≠2.
【解析】
试题分析：方程两边同乘以x-2可得，x+m-2m=3（x-2），解得x=，因方程的解为正实数，且x-2≠0，所以>0且m≠2，即m<6且m≠2.
5.(2017山东滨州第14题)不等式组的解集为___________．
【答案】-7≤x<1.
【解析】解不等式①得，x<1；解不等式②得，x≥-7，所以原不等式组的解集为-7≤x<1.
6.(2017江苏宿迁第14题)若关于的分式方程有增根，则实数的值是．
【答案】1.
【解析】
试题分析：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程有增根，可得x=2，所以m=1.
7.(2017山东菏泽第10题)关于的一元二次方程的一个根式，则的值是_______.
【答案】0.
【解析】
试题分析：把x=0代入，得，解得k=1(舍去)，或k=0;
8.（2017浙江台州第14题）商家花费购进水果，销售中有%的水果正常损耗，为了避免亏本，至少定为x元/千克，依题可得方程x（1-5%）×80≥760，从而得出x≥10.
故答案为0.
考点：一元一次不等式的应用
三、解答题
1.(2017北京第18题)解不等式组：
【答案】x<2.
考点：解一元一次不等式组.
2.(2017北京第21题)关于的一元二次方程的取值范围
【解析】
试题分析：(1)由方程根的判别式△≥0，可求解；(2)由因式分解法可将方程化为（x-2）(x-k-1)的形式，解出两根即可.
本题解析：(1)证明：∵△=，∴方程总有两个实数根.
(2)∵=0,∴,∵方程总有一根小于1，∴k+1<1,∴k<0.即k的取值范围为：k<0.
考点：根判别式；因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组.
3.(2017天津第19题)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（1）解不等式①，得；
（2）解不等式②，得；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为.
【答案】(1)x≥1；（2）x≤3；（3）详见解析；（4）1≤x≤3.
【解析】
试题分析：（1）移项、合并同类项即可求得答案；（2）移项、合并同类项、系数化为1即可求得答案；（3）根据不等式解集在数轴上的表示方法，画出即可；（4）找出这两个不等式解集的公共部分，即可得不等式组的解集.
试题解析：
(1)x≥1；
（2）x≤3；
（3）；
（4）1≤x≤3.
4.(2017福建第20题)我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
【答案】鸡有23只，兔有12只.
【解析】
试题分析：设鸡有x只，兔有y只，由等量关系：鸡兔共有35只，共有足94足，列出方程组，解方程组即可得.
试题解析：设鸡有x只，兔有y只，由题意
得：，解得，答：鸡有23只，兔有12只.
5.（2017广东广州第17题）解方程组：
【答案】
考点：用加减消元法解二元一次方程组.
6.（2017湖南长沙第20题）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】x＞2
【解析】
试题分析：分别接两个不等式，然后画出数轴，再取其公共部分即可求解集.
试题解析：
由3
由解集如图所示
故原不等式组的解集为x＞倍，甲队比乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
【答案】（1）80公里；（2）乙队每天筑路公里
考点：列分式方程解应用题.
8.（2017山东青岛第16题）（本小题满分8分，每题4分）
（1）解不等式组（2）化简：；
【答案】（1）x＜-10；（2）
【解析】
试题分析：（1）分别解两个不等式，利用知识点：同小取小，得不等式组的解集；
（2）先对每个分式的分子、分母分解因式，再约分化简计算.
试题解析：（1）由①得：；由②得：＜。
所以不等式组的解集为：
（2）原式
考点：1、解不等式组，2、分式的化简
9.(2017四川泸州第21题)某种为打造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需要资金元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金元.
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金元，请设计几种购买方案供这个学校选择.
【答案】(1)甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个.
【解析】
设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买（）个；由题意得：
解之得：
因为取整数，所以可以取的值为：8,9,10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个.
10.(2017山东滨州第20题)（本小题满分9分）
根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．（2）①x1＝1，x2＝8，②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．
【解析】
试题分析：（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
试题解析：
（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）①x1＝1，x2＝8；
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋＝－8＋
(x－)2＝
∴x－＝±．
∴x1＝1，x2＝8．
11.(2017山东日照第20题)某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
54×2+2（54+a）≥360
解得：a≥72．
答：则至少每年平均增加72万平方米．
考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
12.(2017辽宁沈阳第21题)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？
【答案】小明至少答对18道题才能获得奖品.
【解析】
试题分析：设小明答对x道题，根据“共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品”，列出不等式，解不等式即可.
试题解析：
设小明答对x道题，根据题意得，
6x-2（25-x）>90
解这个不等式得，，
∵x为非负整数
∴x至少为18
答：小明至少答对18道题才能获得奖品.
考点：一元一次不等式的应用.
13.（2017江苏苏州第20题）（本题满分5分）
解不等式组：．
【答案】
【解析】
试题分析：先求出各不等式的解集，再利用口诀进行化简.
试题解析：由，解得，由，解得，所以不等式组的解集是.
考点：一元一次不等式组的解法
14.(2017山东菏泽第19题)列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按元销售时，每天可销售个；若销售单价每降低元，每天可多售出个.已知每个玩具的固定成本为元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？
【答案】这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润元.
【解析】
试题分析：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润元,根据销售单价每降低元，每天可多售出个可得现在销售[160+2(480-x)]个，再利用获利润元，列一元二次方程解求解即可.
试题解析：
【解】
解：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润元，由题意得,
(x-360)[160+2(480-x)]=20000
（x-360）(1120-2x)=20000
（x-360）(560-x)=10000
∴这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润元.
15.(2017浙江舟山第18题)小明解不等式的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
【答案】错误的编号有：①②⑤；x≥-5.
【解析】
考点：解一元一次不等式.
16.(2017浙江金华第18题)解分式方程：．
【答案】x=3.
【解析】
试题分析：方程去分母后化转为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
试题解析：
方程两边同乘（x+1）(x-1)得：
2（x-1）=x+1
去括号得：2x-2=x+1
移项得：2x-x=2+1
合并同类项得：x=3
经检验：x=3是原分式方程的根，
∴原方程的根是x=3.
17.（2017浙江湖州第18题）（本小题6分）
解方程：．
【答案】x=2
【解析】
试题分析：根据分式方程的解法，先化分式方程为整式方程，然后解方程并检验，即可求解.
试题解析：方程两边同乘以（x-1），得2=1+x-1
移项合并同类项得x=-2
解得x2
把x2代入原方程检验因为左边右边所以x2是分式方程的根，，定义关于“”的一种运算如下：．例如：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）2017（2）x＜4
【解析】
试题分析：（1）根据题目中的例子列方程可求解；
（2）根据题目中的例子列不等式求解即可.
试题解析：（1）根据题意，得2×3-x=-2011
解这个方程得x2017
（2）根据题意，得2x-3＜5
解得x＜即x的取值范围是x＜
解得
∴笼中各有12只鸡，23只兔
20.(2017湖南湘潭第22题)由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：
示例：分解因式：
（1）尝试：分解因式：______)；
（2）应用：请用上述方法解方程：.
【答案】(1)2,4；（2）.
【解析】
试题分析：(1)把8分解成24，且2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4分解成1（-4），且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.
试题解析：
（1）_2__4_)；
（2）
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