|
|
| 2017年中考数学试题分类解析汇编（第02期）专题09 三角形（含解析）(数理化网) |
|
|
|
|
专题9：三角形
一、选择题
1.(2017天津第2题)的值等于（）
AB．C．D．
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据特殊角的三角函数值可得=，故选D.
2.(2017天津第9题)如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接.下列结论一定正确的是（）
A．B．C.D．
【答案】C.
3.(2017天津第11题)如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）
A．B．C.D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.
4.（2017湖南长沙第5题）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.
故选ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）
A．2＋ B．2 C．3＋ D．3
【答案】A.
6.(2017山东滨州第8题)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（）
A．40° B．36° C．80° D．25°
【答案】B.
【解析】设∠B=x，因AB=AC,根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=x，因AD=CD，根据等腰三角形的性质可得∠DAC=∠C=x，因BD=BA，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠BAD=∠ADB=2x，在△ABD中，根据三角形的内角和定理可得x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠B=36°，故选B.
8.(2017山东滨州第11题)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B.
9.(2017山东日照第4题)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B．
试题分析：在Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC=12，所以sinA=，故选B．
考点：锐角三角函数的定义．
10.(2017江苏宿迁第8题)如图，在中，，，．点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动，若点、均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是
A．B．C.D．
【答案】C.
11.(2017山东菏泽第5题)如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（）
B．C.D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据旋转的性质可得∠BAC=∠B＇A＇C,AC=CA＇,∠A＇CA=90°，即可得△ACA＇是等腰直角三角形，∴所以∠BAC=∠B＇A＇C=45°-25°，即可得=，故选C.
12.(2017浙江金华第3题)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）
A．B．C．D．
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，可得：选项A，2+3＞4，能组成三角形；选项B，5+7＞7，能组成三角形；选项C，5+6＜12，不能组成三角形；选项D，6+8＞10，能组成三角形，故选C.
13.（2017浙江湖州第3题）如图，已知在中，，，，则的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据根据余弦的意义cosB=，可得conB==.
故选：A
考点：余弦
14.(2017浙江舟山第2题)长度分别为2,7，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）
A．4B．5C．6D．9
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据三角形的两边之大于第三边，两边这差小于第三边，可得7-2
考点：三角形的三边关系.
15.(2017浙江金华第4题)在中，，则的值是（）
A．B．C.D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，??根据勾股定理可求得AC=4，?所以tanA=，故选A.
16.（2017浙江台州第5题）如图，点是平分线上一点，，垂足为.若，则点到边的距离是（）
A．1B．2C.D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出点P到OA的距离是2cm.
故选：B.
考点：角平分线的性质
17.（2017浙江湖州第6题）如图，已知在中，，，，点是的重心，则点到所在直线的距离等于（）
A．B．C.D．
【答案】A
考点：1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定与性质
18.（2017浙江台州第8题）如图，已知等腰三角形，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则下列结论一定正确的是（）
A．B．C.D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据AB=AC,BE=BC，可以得出∠ABC=∠C,∠BEC=∠C,从而得出∠ABC=∠BEC,∠A=∠EBC.
故选：C.
考点：1、三角形的外角性质，2、等腰三角形的性质
19.（2017浙江湖州第9题）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（）
【答案】C
【解析】
试题分析：根据勾股定理，可判断边长之间的关系，可知构不成C图案，能构成A、B、D图案.
故选：C
考点：勾股定理
二、填空题
1.(2017北京第13题)如图，在中，分别为的中点，则
【答案】3.
考点：相似三角形的性质.
2.(2017福建第12题)如图，中，的中点连线，的长等于．
【答案】E、F分别是AB、AC中点BC=2EF=6.
3.(2017河南第15题)如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为．
【答案】1或.
【解析】
试题分析：在中，，，可得∠B=∠C=45°，由折叠可知，BM=，若使为直角三角形，分两种情况：①,由∠C=45°可得=，设BM=x，则==x，MC=，所以x+=，解得x=1，即BM=1；②，此时点B和点C重合，BM=.所以BM的长为1或.
考点：折叠（翻折变换）.
4.（2017广东广州第14题）如图7，中，，则
【答案】17
【解析】
试题分析：因为，所以，AC＝8，由勾股定理，得：AB＝17.
考点：正切的定义.
5.（2017山东临沂第16题）已知，与相交于点.若，，则．
【答案】4
【解析】
试题分析：根据平行线分线段成比例定理由，然后根据AD=10，可知10-OA，代入可得解得4.
故答案为平行线分线段成比例定理中，已知和分别是边上的中线，且，垂足为，若，则线段的长为．
【答案】4.
【解析】
试题分析：如图，由和分别是边上的中线，可得DE∥BC，且,因，，根据勾股定理可得DE=2，又因，可得BC=4，连结AO并延长AO交BC于点M，由和分别是边上的中线交于点M,可知AM也是△ABC的边BC上的中线，在Rt△BOC中，根据斜边的中线等于斜边的一半可得OM=BC=2，最后根据三角形重心的性质可得AO=2OM=4.
7.(2017江苏宿迁第12题)如图，在中，，点、、分别是、、的中点．若，则线段的长是．
【答案】2.
【解析】
试题分析：因在中，，点是的中点，，根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半可得AB=4,又因，点、分别是、的中点，根据三角形的中位线定理可得EF=AB=2.
8.（2017江苏苏州第17题）如图，在一笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，．游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（结果保留根号）．
【答案】.
【解析】
试题分析：作,垂足为
在中，,
开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，
.
考点：特殊角三角函数的应用.
9.（2017浙江湖州第14题）如图，已知在中，．以为直径作半圆，交于点．若，则的度数是度．
【答案】140
考点：圆周角定理
10.(2017湖南湘潭第14题)如图，在中，分别是边的中点，则与的面积比.
【答案】
【解析】
试题分析：已知分别是边的中点，即可得DE是三角形的中位线，所以DE∥BC,即可判定∽，根据相似三角形的性质可得.
11.(2017湖南湘潭第15题)如图，在中，，平分交于点，垂直平分，垂足为点，请任意写出一组相等的线段．
【答案】BC=BE或DC=DE
【解析】
试题分析:已知，平分，垂直平分，利用角平分线性质定理可知DC=DE；根据已知条件易证≌，根据全等三角形的性质可得BC=BE.
12.(2017浙江舟山第16题)一副含和的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，观察点的位置变化，点相应移动的路径长为(结果保留根号)．
【答案】12-18.
【解析】
试题分析：如图2和图3，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H先向AB方向移，在往BA方向移，直到H与F重合（下面证明此时∠CGF=60度），此时BH的值最大，如图3，当F与H重合时，连接CF，因为BG=CG=GF，所以∠BFC=90度，∵∠B=30度，∴∠BFC=60度，由CG=GF可得∠CGF=60度.∵BC=12cm，所以BF=BC=6；如图2，当GH⊥DF时，GH有最小值，则BH有最小值，且GF//AB，连接DG，交AB于点K，则DG⊥AB，∵DG=FG，∴∠DGH=45度，则KG=KH=GH=×（×6）=3，BK=KG=3，则BH=BK+KH=3+3则点Ｈ运动的总路程为6-（3+3）+[12（-1）-（3+3）]=12-18（cm）.
考点：旋转的性质.
三、解答题
1.(2017北京第19题)如图，在中，，平分交于点.
【答案】见解析.
【解析】
考点：等腰三角形性质.
2.(2017北京第28题)在等腰直角中，，是线段上一动点（与点不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交.
（1）若，求的大小（用含的式子表示）与之间的数量关系，并证明
考点：全等三角形判定，等腰三角形性质.
3.(2017天津第22题)如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔120海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，求和的长（结果取整数）.
参考数据：，取.
【答案】BP=153；BA=161.
【解析】
试题分析：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C，由题意可知，∠A=64°，∠B=45°，PA=120,在Rt△APC中，求得PC、AC的长；在Rt△BPC中，求得BP、BC的长，即可得BA的长.
试题解析：如图，过点P作PCAB，垂足为C，
由题意可知，∠A=64°，∠B=45°，PA=120,
在Rt△APC中，sin∠A=，
∴PC=PA·sin∠A=120×sin64°，
AC=PA×cos∠A=120×cos64°，
在Rt△BPC中，sin∠B=，
∴BP=
BC=
∴BA=BC+AC=120×sin64°+120×cos64°≈120×0.90+120×0.44≈161．
答：BP的长约有153海里，BA的长约有161海里．
4.(2017福建第18题)如图，点在一条直线上，．求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：利用SSS证明△ABC与△DEF全等即可得.
试题解析：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC△DEF（SSS），∴∠A=∠D
5.(2017福建第19题)如图，中，．求作的平分线，分别交于，．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】作图见解析；证明见解析.
【解析】
6.(2017河南第19题)如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船.此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东方向，船测得渔船在其南偏东方向.已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：，，，）
【答案】C船至少要等待0.94小时才能得到救援.
【解析】
试题分析：过点C作交AB的延长线于点D，可得∠CDA=90°，根据题意可知∠CDA=45°，设CD=x，则AD=CD=x，在Rt△BDC中，根据三角函数求得CD、BC的长，在Rt△ADC中，求得AC的长，再分别计算出B船到达C船处约需时间和A船到达C船处约需时间，比较即可求解.
试题解析：过点C作交AB的延长线于点D，则∠CDA=90°
已知∠CDA=45°，设CD=x，则AD=CD=x
∴BD=AD-AB=x-5
在Rt△BDC中，CD=BD·tan53°，即x=（x-5）·tan53°
∴
∴BC=
∴B船到达C船处约需时间：25÷25=1（小时）
在Rt△ADC中，AC=1.41×20=28.2
∴A船到达C船处约需时间：28.2÷30=0.94（小时）
而0.94<1，所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.
考点：解直角三角形的应用.
7.(2017河南第22题)如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；
（2）探究证明
把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.
【答案】（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由详见解析；（3）.
【解析】
试题分析：(1)已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得,,,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根据旋转的性质易证△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据三角形的中位线定理及平行线的性质（方法可类比（1）的方法）可得PM=PN,∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN为等腰直角三角形；（3）把绕点旋转到如图的位置，此时PN=(AD+AB)=7,PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最长，由（2）可知PM=PN，，所以面积的最大值为.
试题解析：
（1）PM=PN，；
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得∠BAD=∠CAE，
又AB=AC,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵点，分别为，的中点
∴PM是△DCE的中位线
∴PM=CE，且,
同理可证PN=BD，且
∴PM=PN,∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，
∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，
∠DPN=∠PNC+∠PCN=∠DBC+∠PCN，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，
即△PMN为等腰直角三角形.
(3).
考点：旋转和三角形的综合题.
8.（2017广东广州第18题）如图10，点在上，求证：
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：先将转化为证明两个三角形全等
试题解析：证明：因为AE＝BF，所以，AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE，
在△ADF和△BCE中，
所以，
考点：用SAS证明两三角形全等
9.（2017广东广州第20题）如图12，在中，
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的周长为，先化简，再求的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度。
试题解析：（1）如下图所示：
（2）
,
考点：线段的垂直平分线的尺规作图；在直角三角形中利用三角函数求边长.
10.（2017湖南长沙第22题）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．
（1）求的度数；
（2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
【答案】（1）30°（2）安全
【解析】
试题分析：（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；
（2）过点根据解直角三角形求出点
试题解析：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°
∴∠APB=180°-30°-120°=30°
（2）只需算出航线上与P点最近距离为多少即可
过点在30°，AH=PH
在BPH中，∠PBH=30°，BH=PH
∴AB=AH-BH=PH=50
算出25＞，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，求这两座建筑物的高度.
【答案】（1）两建筑物的高度分别是和
【解析】
试题分析：延长CD，交AE于点E，可得DEAE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．作，垂足为，在中，,，，在中，,,，.因此，两建筑物的高度分别是和.
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、是四边形的对角线，若，则线段，，三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长到，使，连接，证得，从而容易证明是等边三角形，故，所以.
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将绕着点逆时针旋转，使与重合，从而容易证明是等比三角形，故，所以.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.
（2）小华提出：如图5，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.
【答案】（1）BC+CD=AC（2）BC+CD=2AC?cosα
【解析】
试题分析：（1）先判断出ADE=∠ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再得出AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）
（2）先判断出ADE=∠ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．（1）BCCD=AC；
理由：如图1，
延长CD至E，使DE=BC，
ABD=∠ADB=45°，
AB=AD，BAD=180°﹣ABD﹣ADB=90°，
ACB=∠ACD=45°，
ACB+∠ACD=45°，
BAD+∠BCD=180°，
ABC+∠ADC=180°，
ADC+∠ADE=180°，
ABC=∠ADE，
在ABC和ADE中，，
ABC≌△ADE（SAS），
ACB=∠AED=45°，AC=AE，
ACE是等腰直角三角形，
CE=AC，
CE=CE+DE=CD+BC，
BC+CD=AC；
（2）BCCD=2AC?cosα．
理由：如图2，
延长CD至E，使DE=BC，
ABD=∠ADB=α，
AB=AD，BAD=180°﹣ABD﹣ADB=180°﹣2α，
ACB=∠ACD=α，
ACB+∠ACD=2α，
BAD+∠BCD=180°，
ABC+∠ADC=180°，
ADC+∠ADE=180°，
ABC=∠ADE，
在ABC和ADE中，，
ABC≌△ADE（SAS），
ACB=∠AED=α，AC=AE，
AEC=α，
过点A作AFCE于F，
CE=2CF，在RtACF中，ACD=α，CF=AC?cosACD=AC?cosα，
CE=2CF=2AC?cosα，
CE=CD+DE=CD+BC，
BC+CD=2AC?cosα．
几何变换综合题，全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数）
（参考数据：）
【答案】596km
【解析】
试题分析：作BD⊥AC于点D，利用sin67°和AB=520，求AD=480；利用cos67°和AB=520，求BD=200；最后利用tan30°和BD=200，求CD=116；最终得到AC的长.
试题解析：如图，作BD⊥AC于点D，
在Rt△ABD中，∠ABD=67°
，
∴
∴
在Rt△BCD中，∠CBD=30°
，
∴
∴
答：AC之间的距离约为596km。
考点：三角函数的应用
14.(2017四川泸州第18题)如图，点在同一直线上，已知，.求证：.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：利用ASA定理证明△ABC全等于△DEF，根据全等三角形的性质即可得结论.
试题解析：
证明：BC//EF
15.(2017四川泸州第22题)如图，海中一渔船在处且与小岛相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达处，此时测得小岛位于的北偏东方向上；求该渔船此时与小岛之间的距离.
【答案】渔船此时与岛之间的距离为50海里.
试题解析：
过点作于点，由题意得：
设则：
，；
,即：
解之得：
答：渔船此时与岛之间的距离为50海里.
16.(2017辽宁沈阳第18题)如图，在菱形中，过点做于点，做于点，连接，
求证：（1）;
（2）
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质可得AD=CD，，再由，，可得，根据AAS即可判定；（2）已知菱形，根据菱形的性质可得AB=CB，再由，根据全等三角形的性质可得AE=CF，所以BE=BF，根据等腰三角形的性质即可得.
试题解析：
(1)∵菱形，
∴AD=CD，
∵，
∴
∴
(2)∵菱形，
∴AB=CB
∵
∴AE=CF
∴BE=BF
∴
考点：全等三角形的判定及性质；菱形的性质.
17.(2017江苏宿迁第21题)（本题满分6分）
如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点处测得正前方小岛的俯角为，面向小岛方向继续飞行到达处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为．如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
试题分析：过点C作CHAB，垂足为H，则CH的长度即为飞机飞行的高度.设CH=xkm，在Rt△ACH中，用x表示出AH的长；在Rt△ACH中，∠BHC=90°，可得BH=CH=x，根据为AH+HB=AB=10列出方程，解方程求得x的值，即可得飞机飞行的高度.
试题解析：过点C作CHAB，垂足为H，则CH的长度即为飞机飞行的高度.
设CH=xkm，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠CAH=30°，
因为tan∠CAH=,所以AH=，
又在Rt△ACH中，∠BHC=90°，∠CBH=45°，
所以BH=CH=x
因为AH+HB=AB=10,所以，
解得，
答：飞机飞行的高度为
18.(2017江苏宿迁第24题)（本题满分8分）
如图，在中，，点在边上移动（点不与点、重合），满足，且点、分别在边、上．
（1）求证：；
（2）当点移动到的中点时，求证：平分．
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：(1)根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，，即可判定，根据相似三角形的判定方法即可得；（2）由相似三角形的性质可得，再由点是的中点，可得BE=CE,即可得，又因，即可判定，根据相似三角形的性质可得，即可证得即平分．
试题解析：（1）因为AB=AC,所以∠B=∠C，
因为∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
所以,
所以；
（2）因为，所以,
因为点是的中点，所以BE=CE,即,
所以，又,故,
所以,即平分．
19.（2017江苏苏州第26题）（本题满分10分）某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速移动，到达点时停止移动．已知机器人的速度为个单位长度/，移动至拐角处调整方向需要（即在、处拐弯时分别用时）．设机器人所用时间为时，其所在位置用点表示，到对角线的距离（即垂线段的长）为个单位长度，其中与的函数图像如图②所示．
（1）求、的长；
（2）如图②，点、分别在线段、上，线段平行于横轴，、的横坐标分别为、．设机器人用了到达点处，用了到达点处（见图①）．若，求、的值．
【答案】（1）AB=8，BC=6;（2）
【解析】
试题分析：（1）利用勾股定理求出BT,再利用正切值求出BC；（2）平行线分线段成比例定理列出方程，求解.
试题解析：（1）作垂足为，由题意得，在中，即
考点：三角函数的应用，平行线分线段成比例定理.
20.（2017江苏苏州第24题）（本题满分8分）如图，，，点在边上，，和相交于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）用ASA证明两三角形全等；（2）利用全等三角形的性质得出，再利用等边对等角求解即可.
试题解析：(1)证明：和相交于点.在和中，.又.在和中，
.
（2）.在中，，.
考点：全等三角形的判定与性质
21.(2017山东菏泽第18题)如图，某小区①号楼与号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道号楼的高度，于是他做了一些测量.他先在点测得点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶处，测得点的仰角为30°，请你帮李明计算号楼的高度.
【答案】63.
【解析】
试题分析：作AE⊥CD,设AE=BD=x，先求出，，再列方程得，最后CD=.
试题解析：
【解】
作AE⊥CD,设AE=BD=x,在直角△AEC中,AE=x，∠CAE=30°
∴
∴在直角△BDC中
BD=x，∠CAE=60°
∴
∵AB=DE=42
∴
∴CD=
22.(2017浙江舟山第22题)如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽.小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点在同一直线上）.
（1）此时小强头部点与地面相距多少？
（2）小强希望他的头部恰好在洗漱盆中点的正上方，他应向前或后退多少？
（，结果精确到）
【答案】(1)他头部E点与地面DK相距约144.5cm；（2）他应向前10.5cm.
【解析】
试题分析：（1）过点F作FN⊥DK于点N，过点E作EM⊥FN于点M，他头部E点与地面DK的距离即为MN，由EF+FG=166，FG=100，则EF=66，由角的正弦值和余弦值即可解答；（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H，即求OP=OH-PH，而PH=EM，OH=OB+BH=OB+CG+GN，在Rt△EMF求出EM，在Rt△FGN求出GN即可.
?
（2）解：过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H。∵AB=48，O为AB的中点，∴AO=BO=24，∵EM=66sin45°≈46.53，即PH≈46.53GN=100cos80°≈1,8，CG=15，∴OH=24+15+18==57OP=OH-PH=57-46.53=10.47≈10.5，∴他应向前10.5cm。
考点：解直角三角形
23.（2017浙江台州第19题）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽为1.2米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：；；）
【答案】车门不会碰到墙
【解析】
试题分析：过A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，∠AOC=40°,AO=1.2,根据sin40°=,得出AC的长度，再与0.8比较大小即可得出判断.
试题解析：过A作AC⊥OB于点C，在Rt△AOC中，∠AOC=40°,∴sin40°=,又∵AO=1.2,∴AC=OAsin40°=1.2×0.64=0.768（米）,∵AC=0.768＜0.8,∴车门不会碰到墙.
考点：解直角三角形的应用
24.(2017湖南湘潭第23题)某游乐场部分平面图如图所示，在同一直线上，在同一直线上，测得处与处的距离为米，处与处的距离为米，，,.
（1）求旋转木马处到出口处的距离；
（2）求海洋球处到出口处的距离（结果保留整数）.
【答案】(1)40;(2)40+.
【解析】
试题分析：（1）在Rt△AEB中，利用BE=AEsin30°，求BE；（2）在Rt△DCE中，利用DE=CDCOS30°，求DE
试题解析：
∵AE=80，∠BAE=30°，
∴BE=AEsin30°=80×=40米
∵∠CED=∠AEB，∠DCE=
∴∠D=
∵CD=34米
∴DE=CDCOS30°=34×=
∴DB=DE+BE=40+
A
B
C
D
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
