2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
2017．4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
设全集，集合，则=____________．
参数方程为（为参数）的曲线的焦点坐标为____________．
已知复数满足，则的取值范围是____________．
设数列的前项和为，若，则=____________．
若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则_____．
把分别写在张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于的数的卡片的概率为____________．（用）中元素的代数余子式的值为，则实数的取值集合为
____________．
满足约束条件的目标函数的最小值是____________．
已知函数．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是____________．
某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．
如图：在中，为上不同于的任意一点，点满足．若，则的最小值为____________．
设单调函数的定义域为，值域为，如果单调函数使得函数的值域也是，则称函数是函数的一个“保值域函数”．
已知定义域为的函数，函数与互为反函数，且是的一个“保值域函数”，是的一个“保值域函数”，则___________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
“”是“”的（）
（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（）
（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛
将函数的图像按向量平移，得到的函数图像与函数的图像的所有交点的横坐标之和等于（）
（A）（B）（C）（D）
过椭圆右焦点的圆与圆外切，则该圆直径的端点的轨迹是（）
（A）一条射线（B）两条射线（C）双曲线的一支（D）抛物线
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
（14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图：在四棱锥中，⊥平面，底面是正方形，．
（1）求异面直线与所成角的大小（用）
（2）若点、分别是棱和的中点，求证：⊥平面．
（14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
（14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间的点处，丙船在最后面的点处，且．一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距米，求无人机到丙船的距离．（精确到米）
20.（16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）
如图：椭圆与双曲线有相同的焦点，它们在轴右侧有两个交点、，满足．将直线左侧的椭圆部分（含,两点）记为曲线，直线右侧的双曲线部分（不含,两点）记为曲线．以为端点作一条射线，分别交于点，交于点(点在第一象限),设此时=.（1）求的方程;（2）证明:，并探索直线与斜率之间的关系;
（3）设直线交于点，求的面积的取值范围.
21.（18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
现有正整数构成的数表如下：
第一行：1
第二行：12
第三行：1123
第四行：11211234
第五行：1121123112112345
………………
第行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,(,直至按原序抄写第行,最后添上数.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.
将按照上述方式写下的第个数记作(如,,,,(,,(,
)．
（1）用表示数表第行的数的个数，求数列的前项和；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用表示第8行中的第73个数，试求和的值；若不是，请说明理由；（3）令，求的值．
2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科
参考答案
填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)
1.2.3.4.5.6.
7.8.9.10.11.12.1
选择题：(共20分，每题5分)
13.A14.A15.D16.C
解答题
17、
解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，则,--------2分
所以，,--------4分
设的夹角为，
则,--------5分
所以，的夹角为，
即异面直线PC与AB所成角的大小为.--------6分
（2）因为点、分别是棱和的中点，
可得，，所以，--------8分
又，，--------10分
计算可得，--------12分
所以，，又，所以EF⊥平面PBC.--------14分
18、(1)因为函数是定义域为R的偶函数，所以有，-2分
即，
即，------------------------------4分
故m=1.-----------------------------------------6分
(2)，且在上恒成立，
故原不等式等价于在上恒成立，--------------------8分
又x，所以，-------------------------------------10分
所以，----------------------------11分
从而，----------------------------12分
因此，.-------------------------------------------------------------------14分
19、(1)在中，由正弦定理，得，-----------2分
在中，由正弦定理，得，-----------4分
又，，--------------------------------------------6分
故.即无人机到甲、丙两船的距离之比为.-----------------------7分
(2)由得AC=400，且，------------------------------9分
由(1)，可设AP=2x，则CP=3x，---------------------------------------------10分
在中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分
解得x=，
即无人机到丙船的距离为CP=3x=米.----14分
20、解：（1）由条件，得，根据知，F2、A、B三点共线，
且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，
故AB所在直线为x=1，从而得，.--------------2分
所以，,又因为为双曲线的焦点，所以，
解得.---------------------------------------------------------------3分
因此，的方程为().------------4分
(2)由P(xp,yp)、M(xM,yM)，得=(xp+1,yp)，=(xM+1,yM)，
由条件，得，即，---------------5分
由P(xp,yp)、M(xM,yM)分别在曲线和上，有
，消去yp，得
()---------------7分
将代入方程()，成立，因此()有一根,结合韦达定理得另一根为，因为,所以<-1，舍去.
所以，.-----------------------------------------------------8分
从而点坐标为(,)，
所以，直线的斜率，-------------------------------------9分
由,得M(，).
所以，直线的斜率.--------------------10分
因此，与斜率之和为零.---------------------------------11分
（3）由(2)知直线与关于x轴对称，结合椭圆的对称性知点P与点N关于x轴对称，故(,),-----------------------------12分因此，S=(|F1F2|(|yM|+|yN|)=(2(+)
=+，-----------14分
因为S在上单调递增,----------------------------------15分
所以,S的取值范围是.----------------------------------------------------16分
21、解：（1）当时，
，----------------------------------------------------------------2分
，
于是，即，又，---------------------3分
所以，
故.---------------4分
（2）由得第8行中共有27=128个数，
所以，第8行中的数超过73个，-------6分
，-----7分
从而，，
由26-1=63<73，27-1=127>73，
所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知=2，--------------------------------------------------------9分
所以，.--------------------------------------------------------------10分
（3）由于数表的前n行共有个数，于是，先计算.
方法一：在前个数中，共有1个，2个，22个，……，2n-k个，……，2n-1个1，---------------------------------------------------12分
因此=n×1+(n-1)×2+…+k×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1
则2×=n×2+(n-1)×22+…+k×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n
两式相减，得=+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2.------------15分
方法二：由此数表构成的过程知，，---------------12分
则+n+2=2(+n+1)，
即数列{+n+2}是以S1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,
所以+n+2＝4×2n-1，即=2n+1-n-2.------------------------------15分
S2017=+S994-----------------------------------------------------------------16分
=++S483
=+++S228
＝++++S101
=+++++S38
=++++++S7
=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)
=3986.------------------------------------------------------------------------18分
徐汇区高三数学本卷共10页第4页
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