强化训练10匀速圆周运动向心力
——’17备考综合热身教辅系列
山东平原一中魏德田
本套强化训练搜集近年来各地高中物理高考真题、模拟题及其它极有备考价值的习题等筛选而成。其主要目的在于理解和掌握匀速圆周运动的运动学特点和动力学特点.理解和掌握向心力的公式，并能熟练地进行有关计算.解答这种类型的题、不但要有扎实的物理基础，同时应具有丰富的空间想象能力.
一、破解依据
1.线速度V=△l/△t=2πr/T2.角速度ω=θ/t=2π/T=2πf
3.向心加速度a=V2/r=ω2r=(2π/T)2r
4.向心力F心=mV2/r=mω2r=m(2π/T)2r=m(2πf)2r
5.周期与频率T=1/f6.角速度与线速度的关系V=ωr
7.角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速(r/s)意义相同)
8.主要物理量及单位：弧长(l):米(m)角度(θ)：弧度（rad）频率（f）：赫（Hz）
周期（T）：秒（s）转速（n）：r/s半径(r):米（m）线速度（V）：m/s
角速度（ω）：rad/s向心加速度：m/s2
⒐绳系小球竖直平面内的变速圆周运动
⑴在最高点G+T2=mV22/r
⑵在最低点T1-G=mV12/r
⑶在任意点T+Gn=mV2/r=man,Gt=mat；an改变线速度方向，at改变线速度大小。
10杆连小球竖直平面内的变速圆周运动
⑴在最高点G-N2=mV22/r
⑵在最低点T1-G=mV12/r
⑶在上半周任意点Gn-N=mV2/r=man,Gt=mat；an改变线速度方向，at改变线速度大小
在下半周任意点，情况与绳系小球情况相同。
注：（1）向心力可以由具体某个力提供，也可以由合力提供，还可以由分力提供，方向始终与速度方向垂直。（2）做匀速度圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，但动量不断改变。
二、精选习题
㈠选择题（每小题5分，共40分）
⒈（17天津“天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一．摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动．下列叙述正确的是()
A．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变
B．在最高点时，乘客重力大于座椅对他的支持力
C．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零
D．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变
如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R=90m的大圆弧和r=40m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O''距离L=100m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度g=10m/s2,=3.14）。
A．在绕过小圆弧弯道后加速B．在大圆弧弯道上的速率为45m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63m/s2D．通过小圆弧弯道的时间为5.85．（17全国2）如图-3，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物快以速度从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物快落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为）
A.B.C.D.
⒋（16全国Ⅲ）如，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则
A.B.
C.D.
⒌（17全国Ⅱ）如图-5，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力
A.一直不做功B.一直做正功
C.始终指向大圆环圆心D.始终背离大圆环圆心
⒍（14安徽）如图-6所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2.则ω的最大值是()
A.rad/sB.rad/sC．1.0rad/sD．0.5rad/s
⒎（16新课标II）小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示，将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点．
A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）
A．b一定比a先开始滑动B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．=是b开始滑动的临界角速度
D．当=时，a所受摩擦力的大小为kmg
⒐(15新课标I)（6分）某物理小组的同学设计了一个粗测玩具小车通过凹形桥最低点的速度的实验，所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器（圆弧部分的半径为R=0.20m）.
完成下列填空：
(1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图-9（a）所示，托盘秤的示数为1.00kg;
(2)将玩具小车放置在凹形桥模拟器最低点时，托盘秤示数如图（b）所示，该示数为______kg.
(3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m,多次从同一位置释放小车，记录各次的m值如下表所示：
序号 1 2 3 4 5 M(kg) 1.80 1.75 1.85 1.75 1.90 (4)根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为是_______N,玩具小车通过最低点时的速度大小为_______m/s,(重力加速度大小取9.80m/s2，计算结果保留2位有效数字)
⒑（14天津）（14分）半径为R的水平圆盘绕过圆心o的竖直轴转动，A为圆盘边缘上一点，在o的正上方有一个可视为质点的小球以初速度v水平抛出时，半径OA方向恰好与v的方向相同，如图-10示。若小球与圆盘只碰一次，且落在A点，重力加速度为g，则小球抛出时距o的高度h=圆盘转动的角速度大小为
㈢计算题（共40分）
⒒（15宝鸡三检）（12分）某学生设计并制作了一简易水轮机，如图所示，流出水流轨与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动当该工作稳定时，可近似认为水速度与轮子边缘的线速度相同调整轮轴的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平成角，轮子半径(已知，，)：
若不计挡水板的大小，则轮子转为多少？
水轮轴和竖直距离。
⒓（15海南）】（12分）如图，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。已知h=2m,，s=。取重力加速度大小。
（1）一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。
⒔.（15福建）（1分）如图，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g。
若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；
若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车，已知滑块质量,在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：
滑块运动过程中，小车的最大速度vm；
滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。
(四)选做题
⒕（16海南）如图-14，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在高点时对轨道的压力大小为N2.重力加速度大小为g，则N1–N2的值为（）。
A．3mgB．4mgC．5mgD．6mg
15.（15浙江）如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r。一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以为圆心的半圆，。赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为。选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道（所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大），则
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A选择路线①，赛车经过的路程最短B选择路线②，赛车的速率最小
C选择路线③，赛车所用时间最短
D①②③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
（16分）一转动装置如图所示，四根轻杆OA、OC、AB和CB与两小球以及一小环通过铰链连接，轻杆长均为l，球和环的质量均为m，O端固定在竖直的轻质转轴上，套在转轴上的轻质弹簧连接在O与小环之间，原长为L，装置静止时，弹簧长为，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，求
（1）弹簧的劲度系数k
（2）AB杆中弹力为零时，装置转动的角速度
（3）弹簧长度从缓慢缩短为的过程中，外界对转动装置所做的功W
三、参考答案
㈠选择题
⒈【答案】B乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动，动能保持不变，而重力势能时刻改变，A错误；在最高点合外力提供向心力，方向向下，所以在最高点，乘客重力大于座椅对他的支持力，B正确；乘客重力的冲量等于重力与时间的乘积，C错误；乘客向下的瞬时分速度时刻在改变，所以重力的瞬时功率也时刻在变化，D错误．
，故当弯道半径时，在弯道上的最大速度是一定的，且在大弯道上的最大速度大于小湾道上的最大速度，故要想时间最短，故可在绕过小圆弧弯道后加速在大圆弧弯道上的速率为，在小弯道上的最大速度：
，故在在直道上的加速度大小为，选项C错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为，通过小圆弧弯道的时间为
⒊【答案】B物块上升到最高点的过程，机械能守恒，有mv2＝2mgr＋mv，由平抛运动规律，水平方向，有x＝v1t，竖直方向，有2r＝gt2，解得x＝，当r＝时，x最大，B正确．【答案】AC，在最低点由牛顿第二定律有,可得：,故B、D错误，A、C正确。
5.【答案】A
【解析】选A由于大圆环是光滑的因此小环下滑的过程中大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直因此作用力不做功A项正确B项错误；小环刚下滑时大圆环对小环的作用力背离大圆环的圆心滑到大圆环圆心以下的位置时大圆环对小环的作用力指向大圆环的圆心C、D项错误．C
【解析】本题考查受力分析、应用牛顿第二定律、向心力分析解决匀速圆周运动问题的能力．物体在最低点最可能出现相对滑动，对物体进行受力分析，应用牛顿第二定律，有μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得ω＝1.0rad/s，选项C正确。
⒎【答案】C
【解析】
由动能定理可知，
由，则A错
大小无法判断B错
受力分析
③
④
由得
则C对
D错
AC本题考查了圆周运动与受力分析．a与b所受的最大摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B项错误；b处于临界状态时kmg＝mω2·2l，解得ω＝，C项正确；ω＝小于a的临界角速度，a所受摩擦力没有达到最大值，D项错误．
【解析】(2)根据秤盘指针可知量程是10kg,指针所指示数是1.4kg;(4)记录的托盘示数各次并不相同，而多次测量求平均值可以减少误差，即,而模拟器的质量为1.00kg,所以小车经过凹形桥最低点时小车对桥的压力；径向合力提供向心力，由牛顿第二、三定律和向心力的公式有：,
,代入数据得出小车通过最低点的速度是：。
⒑【答案】，。
【解析】取小球为研究对象，设从抛点到落到A点的时间为t,则有
，
由以上两式求得
由题意可知，在小球下落的时间t内，圆盘转过的角度为
则易得
㈢计算题
⒒【答案】（1）；（2）、
【解析】（1）水做平抛运动，所以：
轮子边缘的线速度（2）
所以轮子转动的角速度：（3）
（2）设水流到达轮子边缘的竖直分速度为，运动时间为，水平、竖直分位移分别为、：
（4）
（5）
（6）
（7）
水轮轴O和竖直距离为：
（8）
（9）
答：（1）若不计挡水板的大小，则轮子转为
（2）水轮轴为和竖直距离为。
⒓【答案】（2）
【解析】（1）一小环套在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，①，②，
从ab滑落过程中，根据动能定理可得③，联立三式可得
（2）下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得④
因为物体滑到c点时与竖直方向的夹角等于（1）问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角，则根据平抛运动规律可知⑤，
根据运动的合成与分解可得⑥
联立①②④⑤⑥可得
⒔【答案】（1）3mg（2）①②s=L/3
【解析】（1）由图知，滑块运动到B点时对小车的压力最大
从A到B，根据动能定理：
在B点：
联立解得：FN=3mg，根据牛顿第三定律得，滑块对小车的最大压力为3mg
（2）①若不固定小车，滑块到达B点时，小车的速度最大
根据动量守恒可得：
从A到B，根据能量守恒：
联立解得：
②设滑块到C处时小车的速度为v，则滑块的速度为2v，根据能量守恒：
解得：
小车的加速度：
根据
解得：s=L/3
⒕【答案】D
【解析】设小球在最低点速度为，在最高点速度为，在根据牛顿第二定律：
在最低点：
在最高点：
同时从最高点到最低点，根据动能定理：
联立以上三个方程式可以得到：，故选项D正确。
⒖【答案】
【解析】，路线②的路程为，路线③的路程为，故选择路线①，赛车经过的路程最短赛车以不打滑的最大速率通过弯道最大径向静摩擦力，所以运动的相信加速度相同，根据公式可得，即半径越大，速度越大，路线①的速率最小，B错误D正确；因为，，结合，根据公式可得选择路线③，赛车所用时间最短（3）
【解析】（1）装置静止时，设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为.
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡
小球受力平衡；
解得
(2)设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为，弹簧长度为。
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡,得
对小球；；
解得：
（3）弹簧长度为时，设OA、AB杆中的弹力分别为、，OA杆与转轴的夹角为，
小环受到弹簧的弹力
小环受力平衡，
对小球；；
解得
整个过程弹簧弹性势能变化为0，则弹力做功为0，由动能定理
解得
为方便读者查阅，作出小球和小环位置示意图如上。
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图
图-10
图-8
图-4
图-7
图-9
图-6
图-5
图-3
图-2
图-1
图-14
图-15
图-13
图-12
图-11
图-17
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