请做：题组层级快练（四十七） 第2课时空间几何体的表面积、体积 …2018考纲下载…
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正确描述现实生活中简单物体的结构．了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要求记忆台体的体积公式)请注意柱、锥、台、球等简单几何体的表面积与体积(尤其是体积)是高考热点．课前自助餐
几何体的侧面积与表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和表＝S侧＋S底．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环．(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r母线长l则其表面积为S柱＝2＋2锥＝＋
(4)若圆台的上下底面半径为r母线长为l则圆台的表面积为S＝(r12＋r)＋(r1＋r)l．(5)球的表面积为4
几何体的体积(1)V柱体＝Sh圆柱(2)V锥体＝圆锥＝(3)V台体＝(S＋＋S)h圆台＝(r12＋r＋r)h，V球＝R3(球半径是R)．
1．(1)若一个圆锥的轴截面是等边三角形其面积为则这个圆锥的全面积为________．
答案3解析已知正三角形的面积求其边长然后利用圆锥的母线底面半径与轴截面三角形之间的关系根据圆锥的全面积公式可求．如图所示设圆锥轴截面三角形的边长为a则＝＝4＝2.圆锥的全面积为S＝()2＋·a＝3
(2)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S体积分别为V若它们的侧面积相等且＝则的值是________．
答案解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r母线长分别是l则由＝可得＝又两个圆柱的侧面积相等即2＝2则＝＝所以＝＝＝
2．(1)(2018·沧州七校联考)一个六棱锥的体积为2其底面是边长为2的正六边形侧棱长都相等则该六棱锥的侧面积为________．
答案12解析由题意可知该六棱锥是正六棱锥设该六棱锥的高为h则×22×h＝2解得h＝1底面正六边形的中点到其边的距离为故侧面等腰三角形底边上的高为＝2故该六棱锥的侧面积为＝12.
(2)(2018·上海春季高考题)如图在长方体ABCD－A中＝3＝4＝5是A的中点则三棱锥A－A的体积为________
答案5解析在长方体ABCD－A中底面A－A＝AA1
＝A1B1·(B1C1)·AA1
＝×＝5.
3．(2017·北京文)某三棱锥的三视图如图所示则该三棱锥的体积为()
A．．
答案解析如图把三棱锥A－BCD放到长方体中长方体的长、宽、高分别为5为直角三角形直角边分别为5和3三棱锥A－BCD的高为4故该三棱锥的体积V＝×5×3×4＝10.
4．(2018·衡水调研卷)中国古代数学名著《九章算术》第五章“商功”共收录28个题目其中一个题目如下：今有城()
A．立方尺．立方尺立方尺．立方尺
答案解析由三视图可知该几何体是一个水平放置的底面是等腰梯形的四棱柱其体V＝(20＋40)×50×1265＝1897500(立方尺)故选
5．(2017·山东文)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图则该几何体的体积为________
答案2＋解析由题意知该几何体是由一个圆柱体构成其中长方体的体积V＝2×1×1＝2两个圆柱体的体积之和V＝＝所以该几何体的体积V＝V＋V＝2＋
授人以渔
题型一多面体的表面积和体积
(1)(2018·衡水调研卷)某几何体的正视图和侧视图如图①所示它的俯视图的直观图是△A如图②所示其中O＝OB′＝2＝求该几何体的表面积和体积．
【解析】由图②可知该几何体的俯视图是一个底面边长为4高为2的等腰三角形即该三角形为等边三角形．在如右图所示的长方体中长、宽4，2，6，由三视图还原几何体该几何体即为图中的三棱锥P－ABC且△ABC为等边三角形＝S＝＝12＝＝4是腰长为底边长为4的等腰三角形＝8故该几何体的表面积为S＝2×12＋4＋8＝24＋12体积为V＝＝(×4×2)×6＝8【答案】24＋128
(2)(2016·课标全国Ⅲ改编)如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线画出的是某多面体的三视图则该多面体的体积为________表面积为．
【解析】由三视图可得该几何体是平行六面体上下底面是边长为3的正方形故面积都是9前后两个侧面是平行四边形一边长为3、该边上的高为6故面积都为18左右两个侧面是矩形边长为3和3故面积都为9则该几何体的体积为3×3×6＝54表面积为2(9＋18＋9)＝54＋18【答案】5454＋18
★状元笔记★
多面体的表面积和体积的求法(1)求解多面体的表面积及体积问题关键是找到其中的特征图形如棱柱中的矩形棱锥中的直角三角形棱台中的直角梯形等通过这些图形找到几何元素间的关系建立未知量与已知量间的关系进行求解．(2)近年的高考题中基本上是将表面积与体积的问题与三视图结合考查．
思考题1(1)(2018·辽宁沈阳一模)如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线画出的是某多面体的三视图则该多面体的表面积是()
A．＋6．＋3
【解析】由三视图知该几何体为一个四棱台其表面积为2×(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋2×3×＝36＋6故选【答案】
(2)(2016·北京文改编)某四棱柱的三视图如图所示则该四棱柱的体积为________侧面积为________
【解析】通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形则四棱柱的底面积S＝＝通过侧(左)视图可知四棱柱的高h＝1所以该四棱柱的体积V＝Sh＝俯视图中梯形的腰为＝侧＝2×1＋1×1＋1×＋1×＝3＋【答案】3＋
题型二旋转体的表面积与体积
(1)(2018·沧州七校联考)一个几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为________体积为________
【解析】由三视图可得该几何体是半圆柱底面半径为1高为2故该几何体的表面积S＝2×＋(2＋)×2＝34，体积V＝＝【答案】3＋4
(2)如图所示在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC使∠BAC＝30将图中阴影部分以AB为旋转轴旋转180形成一个几何体求该几何体的表面积及体积．
【解析】AB＝4＝2球＝4＝16设DC＝x则AC＝2x＝＝在中＋＝16＝锥侧上＝＝·2＝6锥侧下＝＝·2＝2
S表＝(S球＋S锥侧上＋S锥侧下)＝(11＋)＝(V球－V锥上－V锥下)＝＝【答案】S表＝(11＋)＝
★状元笔记★
旋转体的表面积与体积的求法(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．(2)旋转体的体积的计算只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高等)然后代入公式计算即可．
思考题2(1)(2018·江西重点中学联考)若一个空间几何体的三视图如图所示且已知该几何体的体积为则其表面积为________
【解析】由三视图可知原几何体是一个半圆锥由题意可知V＝πr2×r＝得r＝1表面积为底面半圆面积、左侧面三角形面积以及半圆锥侧面积之和即S表＝＋＋×π×1×2＝＋【答案】＋
(2)(2018·沧州七校联考)若某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为()
A.ππ
C.π＋8 D．
【解析】由三视图可知该几何体为底面半径是2高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体分别计算其体积相加得＋＝【答案】
(3)(2018·重庆模拟)如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积为____．
【解析】由题意该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体其中半圆柱的底面半径为1高为4半球的半径为1所以几何体的体积为π×13＋＝【答案】
题型三利用转化法求体积
(1)(2017·课标全国Ⅱ)如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线画出的是某几何体的三视图该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得则该几何体的体积为()．．
【思路】由题意先确定几何体的形状再根据三视可以用分割法也可以用补形法求该几何体的体积．
【解析】方法一：(分割法)由题意知该几何体是一个组合体下半部分是一个底面半径为3高为4的圆柱其体积V＝＝36；上半部分是一个底面半径为3高为6的圆柱的一半其体积V＝＝27所以该组合体的体积V＝V＋V＝36＋27＝63故选
方法二：(补3，高为10＋4＝14该圆柱的体积V＝＝126故该几何体的体积为圆柱体积的一半即V＝＝63故选【答案】
【讲评】根据圆柱的结构特征该题方法一中的上半部分就是一而方法二则直接在该几何体的上方补上一个与其相同的几何体得到一个大圆柱无论是分割还是补形其实质都是将几何体转化为规则几何体然后求解相应问题．
(2)如图所示在长方体ABCD－A中用截面截下一个棱锥C－A求棱锥C－A的体积与剩余部分的体积之比为________．
【解析】方法一：设AB＝a＝b＝c则长方体ABCD－A的体积V＝abc.又S＝且三棱锥C－A′的高为CD＝a.三棱锥C－A＝＝则剩余部分的几何体积V剩＝abc－＝故V棱锥C－AD′D∶V剩＝abc＝1∶5.
方法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD－BCC设它的底面ADD面积为S高为h则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A的底面面积为高是h因此棱锥C－A的体积－A＝Sh＝Sh.余下的体积是Sh－＝所以棱锥C－A的体积与剩余部分的体积之比为Sh＝1∶5.【答案】1∶5
★状元笔记★
(1)分割法：通过对不规则几何体进行分割化为规则几何体分别求出体积后再相加即得所求几何体(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体然后进行计算．(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点任何一个面都可以作为棱锥的底面常常需要对其顶点和底面进行转换以方便求解．
思考题3已知正方体AC的棱长为a分别为棱AA与CC的中点求四棱锥A－EBFD1的体积．
【解析】因为EB＝BF＝FD＝D＝＝所以四棱锥A－EBFD的底面是菱形连接EF则△EFB≌△EFD由于三棱锥A－EFB与三棱锥A－EFD等底同高所以V－EBFD＝2V－EFB＝2V－EBA＝2·S△EBA1·a＝【答案】【讲评】利用等积变换是求三棱锥体积的常用技巧．
计算几何体体积的常见类型及解题策略常见类型 解题策略 球的体积问题 直接利用球的体积公式求解在实际问题中要根据题意作出图形构造直角三角形确定球的半径 锥体、柱体的体积问题 根据题设条件求出所给几何体的底面积和高直接套用公式求解 以三视图为载体的几何体体积问题 将三视图还原为几何体利用空间几何体的体积公式求解 不规则几何体的体积问题 常用分割或补形的思想若几何体的底不规则也需采用同样的方法将不.
课外阅读
数学文化在几何体体积中的应用
(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中有如下问题：“今有委米依垣内角下周八尺高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内8尺米堆的高为5尺问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺圆周率约为3估算出堆放的米约有()斛．斛斛．斛
【解析】设底面圆半径为R米堆高为h.米堆底部弧长为8尺·2πR＝8＝体积V＝·πR2h＝()2×5.
∵π≈3，∴V≈(尺)．堆放的米约为(斛)．【答案】
(2018·杭州学军中学模拟)《九章算术》是中国古代第一部数学专著书中有关于“堑堵”的记载堑堵”即底面已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后剩下部分的三视图如图所示则剩下部分的体积是________
【解析】由题意及给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上截去一个四棱锥C－MNB所得的几何体且三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形高为5.AM＝2平面MNB＝V三棱柱ABCA1B1C1－V四棱锥C－A＝－＝【答案】
(2018·衡水调研卷)刘徽的《九章算术》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵邪解堑堵其一为阳马一为鳖臑阳马居二鳖臑居一不易之率”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块这两块叫做堑堵再把一块堑堵沿斜线分成两块大的叫阳马小的叫鳖臑两者体积比为2∶1这个比率是不变的．如图是一个阳马的三视图则其表面积为()．＋＋＋【解析】如图所示根据题设条件可知三视图还原成的几何D′－ABCD正方体的棱长为1四棱锥D－ABCD的表面积S＝S四边形ABCD＋S＋S＋S＋S＝1＋＋＋＋＝2＋
【答案】
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