淮海工学院2018省高数竞赛模拟试卷
参考答案及评分标准
一、填充题
1、设为最大取整函数，则．()
2、．（，夹逼法）
注：利用．
3、设有可去间断点，则．
注：若，无论取何值，不可能成为可去间断点，则必有，则．
4、设，则．（为奇函数）
注：，注意到．
5、若正值函数满足，且，
则当时，．(归纳法)
6、．（分组凑微法）
7、设，则．
注：，
．
8、所示曲线与直线及轴所围成的无界区域绕轴
旋转一周所生成的旋转体体积为．
9、．
10、的最小值为．
注：到两点的距离之和最短．
11、
的最小值为．到面的距离之和最短．
12、设，
则．（轮换与极坐标）
13、．
二、计算题（本大题8分）
若时，与互为等价无穷小，求．
解：时，，--------------------------------------------------------------------1
则，---------------------2
因，-----------------------2
时，，则，----------------------2
故有．----------------------------------------------------------------------------1
注：．
三、判别说理题（本大题10分）
试判定在点处的连续性与可导性．
解：时，--------------------------------------------------------------------------1
时，--------------------------2
时，-------------------------2
则--------------------------1
有，于是在点处连续----------------------------1
又--------------------------------------1
---------------1
则，于是在点处可导．-------------------------1
四、证明计算题（本题8分）
证明：，
并由此计算．
证明：左---------------------------------------------------2
右；---------------2
由上式知-----------------1
-------------------------------2
故原式．------------------------------------------------------------------------------------1
五、计算题（本大题10分）
设可微，若确定了隐函数，且，
求，并由此求出的解析表达式.
解：---------2
则，此时，--------------------------------------------2
于是，------------------------------------------------------2
当时，----------------------------------------------------------1
又，则，即的解析表达式为.----------------1
六、计算题（本大题10分）
设可微，且，
求．
解：由得----------------------------------------------------1
因而，得------------------------2
于是-----------------------------------------------------2
解得-----------------------------2
则--------------------------------2
故．-------------------------------------------1
七、应用题（本题10分）含于椭圆的内部,且圆与椭圆相切于两点，
（1）求满足的等式；（2）求的值,使椭圆的面积最小．
解：（1）由题意，圆与椭圆的公切点不在轴上，则，--------------1
同时，即--------------------------------1
因，有----------------------------1
将上述两式消，得；-----------------------------------------------------1
（2）按题意,需求椭圆面积在条件下的最小值，
构造拉格朗日函数------------------------------------------1
令-----------------------------2
可得，代入，得，-----------------2
因该实际问题中,椭圆面积的最小值存在,则上述坐标即为所求．------------------------1
八、计算题（本题10分）
（1）若两直线与相交，求；
（2）求绕旋转一周的所成的圆锥面方程．
解：（1）取上两点分别为，------1
方向向量分别为，则，-----2
由题意知，则，解得；-----------------1
（2）将方程联立得其交点为，-------------------------------------------1
在所求圆锥面上任取一点，则，------------2
故所求方程为．---------2
注：设曲线为空间曲线：在面的投影，
(1)求绕轴旋转一周的旋转曲面方程；
(2)求以为准线，母线与向量=平行的柱面方程．
解：对，消得投影柱面方程，
故投影曲线的方程为，
（1）在所求旋转面上任取一点则过其可作圆心为的
圆周与曲线有一交点则，，
化简得旋转曲面方程为，
(2)在所求柱面任取一点由题意必有上一点
使得于是有，
化简得柱面方程．
九、计算题（本题10分）计算二重积分其中.
解：如图，有
----------------------------------2
-------------------------------2
---------------2
----------------------------------2
.-----------------------------------------------------------------------2
注：设，计算．
解：记，，：，
则，
，
．
第３页共3页
|
|
