参考答案第一周定义新运算【思维发散1】1、6482、112、653、193.25【思维发散2】1、82、9023、2.5【
思维发散3】1、4936;183654;2、98723、【思维发散4】1、2、3、17【思维发散5】1、92
、3、第二周简便运算（一）【思维发散1】1、62、13、114、5【思维发散2】1、7.52、9753、42504、0.9
999【思维发散3】1、1502、26003、1204、18【思维发散4】1、1762、1383、508【思维发散5】1、
78502、54303、1620第三周简便运算（二）【思维发散1】1、2222202、3333303、2623.4【思维发散2
】1、99999000002、2463、256256【思维发散3】1、12、13、【思维发散4】1、39812、100000
0003、280000【思维发散5】1、22、2.53、3第四周简便运算（三）【思维发散1】1、72、103、104、
725、1997【思维发散2】1、72、13、84、72【思维发散3】1、302、203、5【思维发散4】1、2、
3、504、【思维发散5】1、32、3、3第五周简便运算（四）【思维发散1】1、2、3、4、【思维发散2
】1、2、3、4、【思维发散3】1、12、13、16654、3【思维发散4】1、2、3、
111108【思维发散5】1、2、3、第六周转化单位“1”（一）【思维发散1】1、2、3、【思维发散2
】1、7.5（吨）2、35（年）3、8吨【思维发散3】1、150吨2、1600米3、1500个【思维发散4
】1、12、13、【思维发散5】1、12、3、1第七周转化单位“1”（二）【思维发散1】1、丙数6
4乙数48甲数402、110千克3、【思维发散2】1、乙数72甲数902、乙1400元甲1200元3
、香蕉400千克苹果300千克【思维发散3】1、2、3、【思维发散4】1、乙56个甲126个2、600千
克3、甲6000字乙4500字【思维发散5】1、18公顷2、徒弟60个师傅108个3、2元币12张5元币18张第八
周转化单位“1”（三）【思维发散1】1、由于低年级学生总人数没有变，因此以总人数为单位“1”来考虑。39÷（－）=180（人）
2、以产品总数为单位“1”来考虑。2÷（－94％）×94％=188（个）3、六年级总人数没有变，以六年级总人数为单位“1”来考虑
。3÷[54％－（1－48％）]×54％－3=78(人）【思维发散2】1、男同学人数没有变，以男同学的人数为单位“1”来考虑
。5÷（－）÷（1－）=75（人）2、奶糖重量没有变，以奶糖为单位“1”。16÷（－）=9（千克）3、男生人数没有变，以男生人数
为单位“1”。男：21÷（－）=30（人）现有女生：30÷－30=45（人）【思维发散3】1、80－（80－40）÷（1－）=
24（米）2、（40－12）÷（1－）×=20（岁）3、（800－500）÷（1－）+500=1700（袋）4、120
0×（1－－－）=260（米）【思维发散4】1、文艺书：240×（1－）200（包）科技书：200÷（1－）－200=75（
包）2、60×（1－）÷（1－）×=10（人）3、因为＞，所以要加水。12÷8％－132=18（千克）4、1020×（1－）
÷（1－）－1020=340（千克）【思维发散5】1、（60+60×+35+100）÷（1－－×）=800（米）2、[420－6
0－（60×－35）]÷（+×）=500（米）3、（20+30）÷[1－－（1－）×－×]=300（米）第九周设数法解题【思维发
散1】1、82、设戊是100厘米高，可推出甲是101厘米高。3、乙仓最多，丙仓最少，设甲、乙、丙三个仓库原来各有100吨，可推出
这时乙有115吨，丙有90吨。【思维发散2】1、设考试总人数为4人，70×4－80×3=40（分）2、设游泳池里原有学生总数是1
00人。[（100+20）×40％－30]÷30=60％3、设全年级男生总人数为50人。三班的男生为：50×=20（人）一二两班
的男生，也是一个班的总人数为：50－20=30（人）三班女生为：30－20=10（人）（10+30）÷（30×3）=【思维发散3】
1、设一个单程是12千米12×2÷（12÷3+12÷6）=4（千米）2、设一个单程为30千米30×2÷（30÷15+30÷10）
=12（千米）3、由于48和42的最小公倍数为336，设一个单程为336千米。336÷（336×2÷48－336÷42）=56（千
米）【思维发散4】1、设全班共有5人。（132×5－138×2）÷3=128（厘米）2、设女生有5人，男生有4人，男生的身
高为单位“1”，则女生的身高为（1+15％）男：130×（4+5）÷[4+5×（1+15％）]=120（厘米）女：120×（1
+15％）=138（厘米）3、[(1+10%)×4－1×4]÷（1×4）=10％[（1+10％）×（1+10％）－1×1]÷（
1+1）=21％【思维发散5】1、解法一：设兔的步长为1，则狗的步长为，兔跑一步的时间为1，则狗跑一步的时间为。26×÷（÷－
1）=144（步）解法二：设狗的步长为1，则兔的步长就是，设兔跑一步的时间为1，则狗跑一步的时间为1，则狗跑一步的时间为。26÷
（1÷－）=144（步）2、设狗的步长为7，则兔的步长为4，再设过跑2步的时间为1，则兔跑3步的时间也为1，推出狗的速度是14，兔
的速度是12。12×[40÷（14－12）]=240（米）3、设狗的步长为1，狗跑一步的时间也为1。600×－600×=100
（步）第十周假设法解题（一）【思维发散1】1、乙：（150－35×2）÷（1－×2）=100（元）甲：150－100=50
（元）2、甲：（338－78×3）÷（1－×3）=182（人）乙：338－182=156（人）3、（420－70+50）÷（
1―－）=1500（吨）【思维发散2】1、姐：（120+10）÷（1+1－）=70（只）妹：120－70=50（只）2、篮球：
（21－1）÷（1+1－）=12（个）足球：21－12=9（个）3、鸡：（100+17）÷（1+1－）=60（只）鸭：100－
60=40（只）【思维发散3】1、彩色：（136×－57）÷（－）=45（台）黑白：136－45=91（台）2、甲：（188－
336×）÷（－）=154（人）乙：336－154=182（人）3、足球：（64－46－64×）÷（－）=24（个）排球：64
－24=40（个）【思维发散4】1、绵羊：（800×－50）÷（+）=300（只）山羊：800－300=500（只）2、徒弟：
（840×－60）÷（+）=360（个）师傅：840－360=480（个）3、甲：（100×+16）÷（+）=60（棵）乙：1
00－60=40（棵）【思维发散5】1、红：[121－119×（1－）]÷（+）=64（个）黄：119－64=55（个）2、金
：[720－770×（1－）]÷（－）=570（克）银：770－570=200（克）3、去年初中：[640－475×（1+20％）
]÷（48％－20％）=250（人）今年初中：250×（1+48％）=370（人）今年高中：640－370=270（人）第十一
周假设法解题（二）【思维发散1】1、王阳：（5×5－5）÷（10－5）+5=9本丁晓：9×5=45本2、小学：（400
×3－450）÷（3－2）－400=350棵中学：350×3=1050棵3、第二堆：（11×2－8）÷（4－2）+11=18吨
第一堆：18×2=36吨【思维发散2】1、乙：（150×3－150－50）÷（3－2）－150=100本甲：100×3+50
=350本2、牛庄小学：（54+20+8×2+26）÷（4－2）+8=66人马村中学：66×2+54=186人3、[53－（
3×3+2）]÷（7×3－15）=7次原有的白球：7×7+3=52个【思维发散3】1、爸爸：（4－4×）÷（－）－4=36岁
小华：36×=6岁2、妈妈：（10－10×）÷（－）－10=40岁小红：40×=15岁3、乙：（90－90×）÷（－）－90=2
10本甲：210×=150本【思维发散4】1、乙：（112－112×）÷（－）=210本甲：210×=168本2、爸爸：（1
0－10×）÷（－）=55岁小明：55×=30岁3、乙：（30－30×）÷（－）=300人甲：300×=75人【思维发散5】
1、乙：（20+35×）÷（－）=90人甲：90×=70人2、白：（12+18×）÷（－）=96粒黑：96×=40粒3、曙光：
（1+6×2.5）÷（2.5－）－6=2人爱华：2×2.5=5人第十二周倒推法解题【思维发散1】1、12÷（1－）÷（1－）=
56人2、250÷（1－）÷（1－）=1200千米3、15÷（1－）÷（1－）÷（1－）=120个【思维发散2】1．（14+6）
÷（1－）÷（1－）=42吨2、[（35+3）÷（1－）+2]÷（1－）=117公顷3．[（16－2）÷（1－）+1]÷（1－）
=44吨【思维发散3】1、小华：[12×2－12÷（1－）]÷（1－）=10张小强：12×2－10=14张2、甲：[90×2－9
0÷（1－）]÷（1－）=75元乙：90×2－75=105元3、[（60+180）÷（1－）－40]÷（1－）=750元【思维
发散4】1、144÷3÷2=24人2、8×2－4=12个3、（400+400÷2）÷（9－6）×（9+6+5）=4000袋【思维发
散5】1、a：把甲、乙两仓库粮食总吨数看作“1”，先求甲原来占两仓库和的几分之几？[1－÷（1－）]÷（1－）=b：原来甲仓库
是乙仓库的几分之几？3÷（8－3）=2、a：[1－÷（1－）]÷（1－）=b：5÷（12－5）=3、a：[1－÷（1－）]÷（
1－）=b：6÷（19－6）=第十三周代数法解题【思维发散1】1、设男生有x人，则女生有（x+28）人X+（x+28）×=4
2X=1212+28=40人2、设第二盒中有x个球，则第一盒中有（x+5）个。（x+15）×+x=69X=4545+15
=60个3、设乙班共有x人，则甲班共有（x－4）人。（x－4）×+x=29X=5252－4=48人【思维发散2】1、设航模组
有x人，则无线电小组有（x+5）人。（x+5）×（1－）＝x×（1－）X＝4040+5＝452、设甲书架上原有x本，则乙书架
上原有（900－x）本X×（1+）＝（900－x）×（1+）X＝400900－400＝5003、设昨天生产乙种零件x个，则
甲种零件生产了（x+700）个。X×（1+）+（x+700）×（1－）＝2065X＝700700+700+700＝2100
【思维发散3】1、设买文艺书x本，则连环画有（126－x）本。x＝（126－x）×－7x＝54126－54＝72本2、设男
生有x人，则女生有（465－x）人x－20＝（465－x）×x＝225465－225＝240人3、设王师傅加工零件x个，
则李师傅加工了（62－x）个x＝（62－x）×－2x＝3062－30＝32个【思维发散4】1、设父亲今年x岁，则儿子x岁（
x+4）×＝x+4x＝362、设原有女生x人，则男生有x人。x+2＝（x－3）×x＝51×51＝34人3、设第二车间有x
人，则第一车间有（x+50）人。（x+50）×＝xx＝100100+50＝150【思维发散5】1、设女教师有x人，则男
教师有（x+8）人。X－4＝x+8+8x＝32×32+8＝20人2、设第二仓库原有电视机x台，则第一仓库有3x台。（3x－
30）×＝x+30x＝130130×3＝3903、设第二车间原有x人，则第一车间有（x－30）人。x－30+10＝（x－
10）×x＝250×250－30＝170第十四周比的应用（一）【思维发散1】1、4：5：82、4：5：9
3、6：35：14【思维发散2】1、棉田：粮田：其他=21：6：121+6+1=28粮田：61600×=46200公
亩棉田：61600×=13200公亩其他：61600×=2200公亩2、第一、二、三组人数的比是15：12：815÷（12+8
－15）×（15+12+8）=105人3、科技组、作文组、数学组的人数的比是9：10：1469÷（9+14）×（14－10）=
12人【思维发散3】30÷（－）=144页130÷（－）×=480克8÷（13－11）×（11+13）÷（1－）×=48人【思维发
散4】1、一、二、三年级的比是：：=21：14：621+14+6=41一年级：41×=21本二年级：41×=14本三年
级：41×6本2、（1）儿子：母亲=2：1母亲：女儿=2：1，从儿子、母亲、女儿所得的比来看，三人所得遗产的比是4：2：1。（
2）对立遗嘱人的愿望可解释为：他要给母亲至少留下遗产，因此母亲应得，余下的按4：1分给儿子和女儿，儿子、母亲、女儿所得的比是8：5
：2。3、甲：900×30％=270个1+3=4乙：（900－270）×=360个丙：900－270－360=270个【思
维发散5】1、把一块合金的质量看作“1”铜一共是+=锌一共是2－=新合金中铜与锌的比是：=15：412、×+×=3、1000
÷（×2－1）×=2500台第十五周比的应用（二）【思维发散1】1、小明与小芳路程的比是（1+）：1=6：5小明与小芳时间的比是1
：（1+）=8：9小明与小芳速度的比是：：=27：201、甲、乙路程的比是（1+）：1=4：3甲、乙时间的比是1：（1+）：1
=4：5甲、乙速度的比是：=5：32、（1）骑自行车每行1千米用的时间为：60÷5－8=4分钟3、（2）骑车与步行的速度的比是
：5=3：1【思维发散2】1、甲、乙、丙效率的比是：：=28：25：21总份数：28+25+21=73甲应加工的个数：1825×
=700个乙应加工的个数：1825×=600个丙应加工的个数：1825×=525个2、（1）5÷（1+25％）=4分钟（2）
5×（1－）=3分钟（3）：：=12：15：20（4）12+15+20=47（5）甲：940×=240个乙：940×=300个
丙：940×=400个3、（1）：：=14：21：24（2）14+21+24=59（3）第一道工序：118×=28名第二道工序：
118×=42名第三道工序：118×=48名【思维发散3】（1）甲、乙两个长方形面积的比是：（4×3）：（5×2）=6：5（2）
甲、乙两个长方形的面积分别是：甲：242×=132平方厘米乙：242×=110平方厘米苹果与梨的总价比为：（6×2）：（5×3
）=4：5苹果：18×=8元梨：18×=10元3、两样苹果的总价：4.4×100=440元两种苹果总价的比：（5×2）：
（4×3）=5：6大苹果的总价：440×=200元大苹果的重量：100×=40千克大苹果的单价：200÷40=5元小苹果的单价：5
÷5×4=4元【思维发散4】1、解法一：54÷（4－3）×4=216吨解法二：54÷（－）×=216吨2、解法一：甲、乙原来的比是
4：7甲、乙后来的比是5：6=15：18甲书架上原有的书：154÷（15－4）×4=56本乙书架上原有的书：154÷（18－
7）×7=98本解法二：由于甲、乙两个书架上本数的差没有变，因此，以甲、乙两个书架上本书的差为单位“1”来考虑。甲、乙两个书架上
相差的本数154÷（－）=42本原来甲、乙两个书架上的本数甲：42÷（7－4）×4=56本乙：42÷（7－4）×7=98本3、解法
一：兄、弟二人收入的是4：320：15兄、弟二人支出的比是18：13兄一年的收入是720÷（20－18）×20=7200元弟
一年的收入是720÷（15－13）×15=5400元解法二：兄弟二人的收入相差720÷（－）=1800元兄：1800÷（4－3
）×4=7200元弟：1800÷（4－3）×3=5400元【思维发散5】1、解法一：4÷（+）=72千米解法二：45×（4×）
=72千米2、乙：（3000×－2400）÷1100个甲：100×=120个3、（1）乙地到丙地的路程1÷（－）=300千米（
2）甲、乙两地之间的路程300×（1+）=500千米第十六周用“组合法”解工程问题【思维发散1】1÷【（－）÷（3－1）】＝30
天乙：1÷【（－×2）÷（3－2）】＝8天甲：1÷（－）＝12天乙：1÷【（1－－×8）÷（12－8）】＝60天甲：1÷（－）＝3
0天【思维发散2】乙队的工作效率：（－×5）÷4＝总共的天数：1÷（+×2）×2＝12天1÷【（1－×6）÷3】＝12天甲做的天数
：1÷（+×3+×3×2）＝2天总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天【思维发散3】师傅每小时做这批零件的（－×6）÷（8－6
）＝这批零件共有10÷【－（－）】＝600个甲队每天修这条公路的（1－－×3）÷（5－3）＝这条公路全长多少米20÷【－（－）】
＝600米甲、乙两队工作效率的比是：：＝3：5这段公路的全长750÷（－）＝6000米或750×2÷（5－3）×（5+3）＝6
000米【思维发散4】甲队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝丙队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝甲、丙合做需要的时间1÷（+）
＝6小时2、乙队每天能做全工程的【1－（×3－×3）】÷（6－3）＝乙队独做这项工程需要的时间1÷＝15天乙队每天能做全工程的【1
－（×4－×4）】÷（5－4）＝乙队单独做这项工程需要的时间1÷＝15天乙队的工作效率【1－（×2+×2）】÷（6－2－2）＝乙独
做这件工作需要的时间1÷＝20小时【思维发散5】乙每小时做这件工程的（1－×4）÷（6+4）＝甲、乙合做完成需要的时间1÷（+）＝
6小时2、甲、乙两队完成的工作量（+）×（8+2）＝丙队单独挖需要的时间1÷【（1－）÷12】＝36天乙的工作效率【1－（×3+×
3）】÷（9－3－3）＝丙的工作效率－＝三人合做需要的时间1÷（+）＝5天甲队的工作效率【1－×（12+15）】÷（24－15）＝
甲队单独做需要的时间1÷＝90天第十七周浓度问题【思维发散1】300×（1－20％）÷（1－40％）－300＝100克20×（1
－15％）÷（1－20％）－20＝1.25千克第一次把20毫升的纯酒精倒入甲瓶，则甲瓶的浓度为：20÷（200+20）＝，第二次把
甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶中含酒精200×＝毫升，乙瓶中含水20×（1－）＝毫升，即两者相等。【思维发散2】30×（16
％－0.15％）÷0.15％＝3170千克100×（1－90％）÷（1－80％）＝50千克10×（1－）×（1－）÷10＝37.5
％【思维发散3】100×（50％－25％）÷（25％－5％）＝125千克（500×70％+300×50％）÷（500+300）×1
00％＝62.5％原有浓度为20％的盐水的质量为：10×15％÷（20％－15％）＝30千克第二次加入盐后，溶液浓度为25％的质量
为：【30×（1－20％）+10】÷（1－25％）＝千克加入盐的质量：－（30+10）＝千克【思维发散4】解：设需含镍5％的钢x吨
，则含镍40％的钢140－x吨，5％x+（140－x）×40％＝140×30％X＝40140－40＝100吨（3000×75％
－3000×65％）÷【1×（75％－55％）】＝1500克3000－1500＝1500克解法一：设互相交换x千克糖水。【（60
－x）×40％+x×20％】÷60＝【（40－x）×20％+x×40％】÷40X＝24解法二：60－60×＝24千克【思维发散5】
1、解法一：100×80％＝80克40×80％＝32克（80－32）÷100＝48％40×48％＝19.2克（80－32－19
.2）÷100＝28.8％40×28.8＝11.52克（80－32－19.2－11.52）÷100＝17.28％解法二：80×（
1－）×（1－）×（1－）÷100＝17.28％2、300×8％＝24克120×12.5％＝15克解：设每个容器应倒入x克水。
＝X＝1803、解：设丙种酒有x千克，则乙种酒有（x+3）千克，甲种酒有（11－2x－3）千克。（11－2x－3）×40％+（x+
3）×36％+35％x＝11×38.5％X＝0.511－2×0.5－3＝7千克第十八周面积计算（一）【思维发散1】30÷5×2＝
12平方厘米21÷7×3＝9平方厘米5×3÷＝22平方厘米【思维发散2】1、4÷2＝28÷2＝42、8×2＝161
6+8×2+4＝363、15×3＝4515+5+15+45＝80【思维发散3】15×2＝30平方厘米15×4＝60平方厘
米6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米6×2÷4＝3平方厘米（6+3）×6÷2＝27平方厘米【思维发散4】1、4×2＝8平方厘米
8×2＝16平方厘米16+8+8+4＝36平方厘米2、14÷2＝7平方厘米7÷2＝3.5平方厘米14+7+7+3.5＝3
1.5平方厘米3、6×（3+1）＝246÷3＝224+6+2＝32【思维发散5】1、20÷2－7＝33×＝1
.520－7－5－1.5＝6.52、20÷2＝10（10－4）×＝220－6－4－2＝73、24÷2＝12平方厘米（1
2－4）×（1－）＝5平方厘米24－4－4－5＝10平方厘米第十九周面积计算（二）【思维发散1】图答19－1阴影部分的面积为：6
×6×＝18平方厘米图答19－2阴影部分的面积为：6×6＝36平方厘米图答19－3阴影部分的面积为：10×（10÷2）××2＝50
平方厘米【思维发散2】图答19－4中阴影部分的面积为：（2+2）×2＝8平方厘米图答－5阴影部分的面积为：4×4×＝8平方厘米图答
19－6阴影部分的面积为：42×3.14×－4×4×＝4.56平方厘米【思维发散3】图答19－7中，阴影部分（1）的面积与阴影部分
（2）的面积相等。所以，平行四边形的面积和圆的面积相等。因此，平行四边形ABCD的面积是：（12.56÷3.14÷2）2×3.14
＝12.56平方厘米2、（8÷2）2×3.14×＝12.56平方厘米3、（8÷2）2×3.14×+（8÷2）×＝20.56平方厘米
第二题和第三题，阴影部分的面积通过等积变形后可知。如图答19－7和图答19－8所示。【思维发散4】如图答19－9所示：延长BC和A
D相距与E，四边形ABCD的面积是：7×7×－3×3×＝20平方厘米如图答19－10所示，因为S1＝S2，所以CD＝38÷5＝7.
6厘米如图答19－11所示：阴影部分面积等于梯形的面积，其面积为：（120+120－40）×30÷2＝3000平方厘米【思维发散5
】如图答19－12所示圆心角AOB的度数为180－（180－15×2）＝30度平行四边形内一个小弓形的面积为（62.8÷3.14÷
2）2×3.14×－100÷4＝1.17平方厘米阴影部分的面积为100÷2－1.17＝48.83平方厘米如图答19－13所示：圆心
角AOD的度数为180－（180－60×2）＝120度扇形AOD的面积为（6÷2）2×3.14×＝9.42平方厘米阴影部分的面积为
9.42－31.2××＝5.52平方厘米如图答19－14（1）所示：圆心角AOC的度数为180－30×2＝120度扇形AOC的面积
（12÷2）2×3.14×＝37.68平方厘米三角形AOC的面积为（12÷2）×5.2×＝15.6平方厘米阴影部分的面积37.68
－15.6＝22.08平方厘米如图答19－14（2）所示圆心角BOC的读书180－（180－30×2）＝60度扇形ABD的面积60
2×3.14×＝942平方厘米三角形AOC的面积（60÷2）×26×＝390平方厘米扇形BOC的面积（60÷2）×3.14×＝47
1平方厘米阴影部分的面积942－390－471＝81平方厘米第二十周面积计算（三）【思维发散1】如图答20－1所示，因三角形BCD
中BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面积是：62×3.14×－6×（6÷2）×＝5.13平方厘米如图答20－2所示，将红色直
角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：4
9×29×＝710.5平方厘米【思维发散2】如图答20－3所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分
的面积。（2÷2）2×3.14××2－2×2×＝1.14平方厘米思路与第一题相同（4÷2）2×3.14×+（2÷2）2×3.14×
－4×2×＝3.85平方厘米如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的
面积是：【（82+62）×3.14×－8×5.2】×2＝21平方厘米【思维发散3】如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的
面积减去一个正方形的面积，即：（10÷2）2×3.14××4－10×10＝57平方厘米如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与
扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即：102×3.14×+（10÷2）2×3.14×－10×10×＝28.5平方厘米如图答20－
7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：（4
÷2）2×3.14×+（3÷2）2×3.14×+4×3×－（5÷2）2×3.14×＝6平方厘米【思维发散4】（1）因为圆的半径的平
方等于正方形面积的，所以阴影部分的面积是（50÷4）×3.14＝39.25平方厘米（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，
阴影部分的面积是50－50×3.14×＝1075平方厘米提示：仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面
积。10×（10÷2）×3.14××2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米【思维发散5】如图答20－8所示，连结AC可以看出平
行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所以，阴影部分的面积是100÷2×3.14×－100×＝14.25平方厘米如图答20－9所示，
（1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14×＝70.65平方厘米（2）因为大圆半径的平方
等于三角形ABC面积的2倍，所以大圆的面积的是45×2×3.14×＝70.65平方厘米（3）弓形AB的面积是70.65－45＝25
.65平方厘米（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米3、如图答20－10所示，（1）半圆半径的平方是62.8×
2+3.14＝40平方厘米（2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
（4）阴影部分的面积是80×3.14×－20＝11.4平方厘米第二十一周抓“不变量”解题【思维发散1】1、412、17
3、374、16【思维发散2】1、2、3、4、【思维发散3】1、2、3、【思维发散4】1、2、3、
【思维发散5】1、2、3、第二十二周特殊工程问题【思维发散1】1÷（+）÷2＝7.5小时1÷（×2+×7）＝3天（1）共同运两
天后，还剩这堆黄沙的1－（×2+×5+×7）×2＝（2）后两天需要小板车：÷（×2）＝15辆【思维发散2】2÷（+）－10＝2
小时2÷（++）＝8小时甲帮乙：（1－×8）÷＝6小时甲帮丙：（1－×8）÷＝2小时解法一：12×（÷）÷（1－）＝240个解法二
：12÷（8－5）×5×12＝240个【思维发散3】（×6－1）÷（－）＝3天甲：（1－×35）÷（－）＝15天乙：35－15＝2
0天40－（1－×40）÷＝25天【思维发散4】5×【12÷（15－12）】＝20天48－48÷30×20＝16条2.5×【6÷（
7.5－6）】＝10小时【思维发散5】1、1÷【（++）÷2】＝8小时2、1÷【（+）÷（3+5）】＝9.6天3、1÷（+－）＝2
1小时4、1÷【（+++）÷3－】＝54天第二十三周周期工程问题【思维发散1】（1）需循环的次数1÷（+）＝＞3（2）3个循
环后剩下的工作量1－（+）×3＝（3）最后由乙做的时间（－）÷＝小时（4）需要的总时间2×3+1+＝7小时（1）需循环的
次数1÷（+）＝＞8（2）3个循环后剩下的工作量1－（+）×8＝（3）最后由乙做的时间÷＝小时（4）需要的总时间2×8
+＝16小时（1）需循环的次数÷（+）＝＞3（2）3个循环后剩下的工作量－（+）×3＝（3）最后由乙做的时间÷＝小时（4）需
要的总时间2×3+＝6小时【思维发散2】提示：甲的效率是乙的2倍20÷2＝10天提示：乙的效率是甲的1÷【×（1－）+】＝3
天提示：乙的效率是甲的1÷（1÷12×）＝21小时（1）需几个周期÷（－）×3＝＞3（2）3个周期后剩下的水－（－）×3＝（
3）需要的时间2×3+1+（+）÷＝7小时【思维发散3】师傅：84÷（7－4）×7＝196个徒弟：84÷（7－4）×4＝11
2个2、提示：乙的效率是甲的（1－）＝1÷（1÷2×）＝7天3、3小时36分＝3小时师、徒效率和：1080÷3＝300个
师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个【思维发散4】提示：把6分钟看作
一个循环每循环一次的工作量（+）×（1+2）＝总工作量里面有几个1÷＝33个循环后剩下的工作量1－×3＝一共需要的时间6×3
+1+（－）÷＝20分钟提示：把6分钟看作一个循环1个循环的工作量（+）×（1+2）＝总工作量里面有几个1÷＝23个循环后剩下的
工作量1－×2＝一共需要的时间6×2+÷＝13小时说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用÷提示：把12天看作一个循
环12天中甲的工作量×（3+3+3）＝12天中乙的工作量×（5+5）＝总共需要的天数÷（+）＝2（12天减去最后休息的1天）
12×2－1＝23天完成全部任务的为3月24日。提示：把7天看作一个周期1÷（×5+×6）＝157×15－1＝104天【思
维发散5】1、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是
乙的。丙的工作效率×＝乙的工作效率÷＝甲、乙、丙三队合做的天数1÷（++）＝2天提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为
3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的，乙的效率是甲的。丙的效率×＝乙的效率×（1－×）＝甲、乙、丙三队合做的天
数1÷（++）＝4天由题意可以推出，丙的效率是甲的＝，丙的效率是乙的，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。1÷（1÷13
×）＝31天提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。水池里的水超过时需要几个循环（
－）÷（－+－）＝＞4循环5次以后，池中水占+（－+－）×5＝总共需要的时间4×5+（1－）÷＝20小时第二十四周比较大小【思
维发散1】1、＞2、＜＜＜3、＞【思维发散2】1、＞2、＜3、＞【思维发散3】1、＞2、＜3、＜【思维发散4】1、C
六个已知的数的大到小排列是＞＞＞0.●5●1＞0.5●1＞，因为0.5●1是八个数从小到大排列的第四个，说明另外两个数一定比0.5
●1小，所以这八个数中第四个大的数是0.●5●1。（3）的积最大【思维发散5】红色两圆的面积大B的周长大。××××…×＜。第二十五
周最大最小问题【思维发散1】1、2、3、（1）399（2）【思维发散2】1、甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96，差最大
是60。2、甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。3、一、二、三道工序所需的工人数的比是：：＝14：21
：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。【思维发散3】9999+（9999－8921）＝11077较小的数最大是（521
－1）÷2＝262，100～262共有163个自然数,所以共有163对,两个数的差最大是525－100－100＝325数对共有99
99－3456－1000+1＝5544个，两个数的和最大是9999－3456+9999＝16542，两个数的和最小是1000+34
56+1000＝5456【思维发散4】1、最大数－最小数＝4中间数＝252÷4＝63最小数＝63－2＝612、根据题意可得（a－c
）×b＝280，进而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8÷2＝313、所求的分数，它的分子是6，5，1
0的最小公倍数，分母是7，14，21的最大公约数，所以答案是。【思维发散5】符合题意的三个数字之和是3108÷222＝14，因此，
所有这样的6个三位数中最大的一个是941（三个数字不能有0，否则就不能排出6个不同的三位数）。三个数字的和是2220÷222＝10
，最小的一个是127。最小的数是346。第二十六周乘法和加法原理【思维发散1】3×5×4×3＝180个90×9＝810个8×8×
8＝512个4×8×8＝256个4×7×6＝168个1×7×6＝42个1×3×6＝18个【思维发散2】9180+3＝192
个8+8×8+3×8×8＝264个9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45次【思维发散3】1、24个2、42个3、48个
48个【思维发散4】1、48个2、24个3、72个【思维发散5】1、12个2、18个3、30个12个第二十
七周表面积与体积（一）【思维发散1】切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正
方形，所以表面积大小不变。4×4×6－2×2×2＝92平方厘米中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块
的体积：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）×6＝72平
方厘米。【思维发散2】从三个不同的方向看，得到图答27－1：从上往下看从前往后看从左往右看（1×1×12+1×1×8
+1×1×7）×2＝54平方厘米（2×2×9+2×2×9+2×2×7）×2＝200平方厘米因为64＝4×4×4，所以大正方形的棱长
等于小正方形棱长的4被，那么大正方体的表面积是小正方体的4×4＝16倍，小正方体的表面积是：384÷16＝24平方厘米【思维发散3
】将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30÷6＝15平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30÷6
＝15平方厘米，所以大长方体的表面积是30+30+6＝35平方厘米。要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼
法有如图答27－2两种：表面积都是（3×3+3×4×2）×2＝66平方厘米。设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的
面积就是x2平方分米。其余的面积为2x2平方分米，根据题意，大长方体的表面积是：8x2+8×2x2＝600x＝5大长方体的体
积是：5×5×2×5＝250立方分米【思维发散4】1、（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米2、减少的表面积实质
是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。把两个合并起来，用120÷（2+3）＝24厘米，求到正方体底面的周长，
正方体的棱长就是24÷4＝6厘米。圆长方体的体积是：6×6×（6+3+2）＝396立方厘米3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于
这个长方体的长×（宽+高），209＝11×19，所以长＝11，宽+高＝19，或长＝19，宽+高＝11，根据题意，宽和高只能是17和
2，长方体的体积就是11×17×2＝374【思维发散5】402×6+3.14×4×10×2＝9651.2平方厘米用两个同样的工件可
拼成图答27－3的圆柱体。3.14×15×（46+54）÷2＝2355平方厘米3、立方体的表面积和是：6×102－42×4－2×
3.14×（）2＝510.88平方厘米打洞后增加的面积是：3.14×4×（10－4）+4×（10－4）×4×2+42×2－3.14
×（）2×2＝274.24平方厘米表面积是：510.88+274.24＝785.12平方厘米体积是：103－42×10×2+43－
3.14×（）2×（10－4）＝668.64平方厘米第二十八周表面积与体积（二）【思维发散1】（32×0.04+22×0.11）
÷42＝0.05米＝5厘米30×20×5÷【3.14×（）2】≈9.6厘米大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。54÷6＝9平
方厘米9＝3×3它的体积是3×3×3＝27平方厘米96÷6＝16平方厘米16＝4×4它的体积是4×4×4＝64立方厘米150÷
6＝25平方厘米25＝5×5它的体积是5×5×5＝125立方厘米27+64+125＝216立方厘米【思维发散2】铁块全部放入水中
，排水的体积是3×12×5＝15立方厘米，要使水面升高2厘米，铁块要排水（15－3×12）×2＝24立方厘米。可见，铁块不能全部放
入水中。15×3÷（15－3×12）－3＝厘米杯中水的体积是：72×2.5＝180立方厘米放入铁块后的底面积是72－62＝36平方
厘米；水面的高：180÷36＝5厘米容器中水的体积：（602－152）×50＝168750立方厘米；当铁棍提起后，仍浸在水中的部分
长：（168750－602×24）÷（602－152）＝24.4厘米。露出水面的浸湿部分长：50－24.4＝25.6厘米【思维发散
3】设这个圆锥的底面半径为r，则正方体的体积为r3＝216，圆锥体的体积为：×∏×r2×r＝226.08立方分米设圆柱体的底面半径
为x，则正方体的棱长为2r。圆柱的体积是∏r2×2r＝6.28，即（2r）3＝8r3＝8立方厘米设容器的底面半径为r，则水面半径
为。水的体积是：×∏（）2×＝3，即∏r2h＝72。容器的体积是×72＝24升，还能装24－3＝21升。【思维发散4】1、20.
56÷（1+1+3.14）＝4分米3.14×（）2×4＝50.24立方分米2、长方体中：（1）高+宽＝（365－5）÷2＝180
厘米（2）高+长＝（405－5）÷2＝200厘米（3）长+宽＝（485－5）÷2＝240厘米（4）（2）－（1）得：200－180
＝20厘米长：（240+30）÷2＝130厘米高：200－130＝70厘米宽：240－130＝110厘米130×110×70＝10
01000立方厘米＝1.001立方米3、瓶的容积相当于底面积相同、高为20+5＝25厘米的圆柱体的容积。饮料的体积相当于与瓶同底，
高为20厘米的圆柱体的体积，所以饮料的体积占瓶容积的：＝。30×＝24立方分米【思维发散5】长方体的盒子高是7厘米，正好是木块宽与
高的和，长方体的宽12厘米，正好是木块宽与高的公倍数，采用如图答27－4所示的拼放法可以填满盒子。最多可放：40×12×7÷（5×
4×3）＝56个第一次切下的正方体棱长应是12厘米，留下的部分如图答27－5，其中较大的一块是长为21－12＝9厘米，宽为15厘米
，高为12厘米的长方体。第二次切下的正方体棱长应是9厘米，留下的部分如图答27－6所示，较大的一块是长为9厘米，宽为15－9＝6厘
米，高为12厘米的长方体。第三次切下的正方体棱长应是6厘米。上下的体积是：21×15×12－（123+93+63）＝1107立
方厘米制作这个铁盒的方法比较多，但容积不一样。第一种是把铁皮的四角截去边长5厘米的正方形。它的体积是（40－5×2）×（20－5×
2）×5＝1500立方厘米。第二种是在铁皮的一侧角上截下两个边长5厘米的正方形，焊接到铁皮的另一侧的中间位置，这样做成的无盖铁皮盒
长是40－4＝35厘米，体积是（40－5）×（20－5×2）×5＝1750立方厘米。如图27－7所示第三种是在铁皮的两侧各截下一条
宽为5厘米、长为20厘米的长方形铁皮分别焊接到上、下边上的中间部位，这样做成的无盖铁皮盒的长是40－5×4＝20厘米，宽是20厘米
。体积是（40－5×4）×20×5＝2000立方厘米。如图答27－8所示。第二十九周抽屉原理（一）【思维发散1】1、1992年共
有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天
的。2、2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两
个学生的生日是在同一天。3、一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个小朋友
，因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。【思维发散2】1、买书的类型中买一本的有4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买4本的有一
种，共有4+6+4+1=15种情况。把种15种情况看出15个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。2、从三周图书
种任意借2本，只有6种情况。要保证有两个所借的图书属于同一种，至少要7个学生。3、玻璃珠子的颜色有三种，要保证有2个同色，最少应取
出4只珠子。【思维发散3】1、思路同例3，最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。2、把三种颜色看作3个抽屉，要保证有一双同色的
就要摸出4只袜子，这时拿出1双同色的后，3个抽屉中还剩2只袜子。以后，只要再摸出2只袜子就可保证有一双同色的。因此，要保证有3双同
色的，最少要摸4+2+2=8只袜子。3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出8只都是同一颜色。在余下两种颜色中要拿
出一双同色的袜子，最少要取3只。因此，最少要拿出8+311只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。【思维发散4】一个自然数除以5的
余数可能是0、1、2、3、4，把这5种情况看做5个抽屉，6个不同的自然数放入这5个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数，这两数的余数是
相同的，所以它们的差一定是5的倍数。一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7，把这8种情况看做8个抽屉，要保证至少有
两个数的差是8的倍数，就要保证至少有1个抽屉里有两个数，根据抽屉原理，要取9个不同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数。一
个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n－1，把这n种情况看作n个抽屉，把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一
个抽屉中有两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。【思维发散5】不可能。因为每行、每列、每条对角线上
的6个数的和最小是6，最大是18。从6到18共有13个不同的整数值，而6行、6列及两条对角线上的各个数的和共有14个，所以这14条
线上的各个数的和至少有两个是相同的。因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24，最大是40。从24到40共有17个互不相同
的整数值，而8行、8列及两条对角线上的各个数的和共有18个，所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。每个方格中可涂上红、蓝
两种不同的颜色，每列3个方格的土色就有2×2×28种不同情况，把这8种情况看做8个抽屉，根据抽屉原理，9列中至少有两列的土色方式是
相同的。第三十周抽屉原理（二）【思维发散1】把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125=3×40+5，
根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。把三个笔盒看做3个抽屉，因为16=
5×3+1，根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至
少应比抽屉个数的（7－1）倍多1，而25=4×（7－1）+1，所以最多方子4个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。【思维发散
2】最少应取出（3－1）×5+1=11个球至少取出（4－1）×3+1=10块木块。如果没有两张王牌，至少要取（4－1）×13+1=
40张，再加上两张王牌，至少要摸出40+2=42张，才能保证其中必有4张牌点数相同。【思维发散3】小学六年中最多有2个闰年，共36
6×2+365×4=2191天，因为13170=6×2192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。参加课外兴趣小组的学生共
分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1
=15种类型看作15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46=15×3+1，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。全班订阅
报刊的类型共有3+3+1=7种，因为37=5×7+2，所以其中至少有6位学生订的报刊相同。【思维发散4】在1～50中，5的倍数有5
0÷5=10个，不是5的倍数的就有50－10=40个，至少要取出40+1=41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。在1～120
中，4的倍数有120÷4=30个，不是4的倍数有120－30=90个，正是要取出90+1=91个不同的数才能保证其中一定有一个数是
4的倍数。差是5的两数有下列5组：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17，22、27；3、8，13、18，
23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是5的
倍数，最多只能从每组中各取1个数，即最多可以取5个数。【思维发散5】把11秒钟看做11个抽屉，把100米看作100个元素，因为10
0=9×11+1，所以必有1个抽屉里超过9米，即必有某一秒钟，他跑的距离超过9米。如图答30－1，把边长为2的等边三角形分成四个边
长为1的小等边三角形。把它看作4个抽屉，5个点看作5个元素，则一定有一个小三角形内有2个点，这2个点之间的距离不超过1。3、先把长
方形的每边剪去宽1厘米的长条，余下一个50×40的长方形，它的面积为2000平方厘米，再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆，若
剪去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话，那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。因为×32×70的值就小于
630×3.15=1984.52000，所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆。第三十一周逻辑推理（一）【思维发散1
】1、小明2、C3、4991【思维发散2】乙、丁、甲、丙E、C、B、A、DB、A、C、D【思维发散3】天津
星期四李明是校长江兵是老师王涛是家长【思维发散4】吴和刘一家，孙和钱一家，赵和周一家，李和张一家李强的妹妹是小丽，马辉的妹妹是小瑛
，刘刚的妹妹是小红从标签为“红、蓝”的小袋中摸出一珠，可由表答30－2知：标签红蓝红红蓝蓝小袋内装红红蓝蓝蓝蓝红蓝红蓝红红【思维发
散5】甲在苏州是工人，乙在无锡是教师，丙在南京是农民。小明在二小，爱好排球；小青在三小，爱好篮球；小菊在一小，爱好游泳。甲是教师，
爱好绘画；乙是会计师，爱好音乐；丙是工程师，爱好文学。第三十二周逻辑推理（二）【思维发散1】E赛了2盘A太太握了三次手肯定有人说错
。画图容易得证【思维发散2】5+4+1=10红色对面为绿色，蓝色对面为黄色，黑色对面为白色A处所写的是“3”【思维发散3】1、7
242、最大的男孩儿是8岁3、小盒15个，大盒2个【思维发散4】星期一24粒16岁、24岁、25岁、64岁【思维发散5】得分数7、
4、1均是3的倍数加1，9次所得的总分应是3的倍数，因此丙没有说真话。A+B+C=（13+15+23）÷3=17A、B、C
粉笔是3、5、9。3+3+9=15乙5+5+3=13甲9+9+5=23丙根据条件列表推理队名比赛场数胜负平进球数失球数得分A
211203B211021C21122A队得了3分，A和B的比分是0：0A与C的比分是2：0B与C的比分是0：1第三十三周行程问
题（一）【思维发散1】420×2÷（42+28）＝12小时900÷15×【15－900÷（900÷15+900÷10）】＝540千
米甲、乙两车的速度和：112.5×2÷（13－10）＝75千米B两地的距离：75×（10－8）+112.5＝262.5千米【思维发
散2】（55×3－15）÷1.5＝100千米40×3－20＝100千米90×3－（1+1－65％）＝200千米【思维发散3】【18
00÷12－（1864－1800）÷8】÷2＝71米【1800÷12+（1864－1800）÷8】÷2＝79米400÷【（400÷
2+400÷26）÷2】＝5分400÷【（400÷2－400÷26）÷2】＝6分速度和：1350÷10＝135米/分速度差：135
0÷（10+80）＝15米/分甲速：（135+15）÷2＝75米/分乙速：（135－15）÷2＝60米/分【思维发散4】甲行路程：
（21×3+9）÷2＝36千米甲速：36÷2＝18千米（80－50÷2）×2＝110分丙的行程：60×＝48米乙到达重点将比丙领先
的米数：60－48＝12米【思维发散5】（70+75）×【（75+60）×8÷（70－60）】÷1000＝15.66千米（15－4
.5）×6÷（16.5+4.5）＝3秒8×6×（6+1）＝336千米第三十四周行程问题（二）【思维发散1】甲、乙的速度和：200
0÷（1+3）＝400甲速：400×＝240米/分乙速：400×＝160米/分甲、丙的速度和：2000÷（1+3+1）＝320米/
分丙速：320－240＝80米/分兄、妹二人共行一周的时间：30÷（1.3+1.2）＝12秒第10次相遇时妹所行的圈数：1.2×1
0×12÷30＝4.8圈即4圈又24米再行的米数：30－24＝6米。A到D的距离：80×3＝240米A到B（半周长）距离：240－
60＝180米圆的周长：180×2＝360米【思维发散2】绕一圈所需的时间：（12+15+11）÷2＝19分从A到B处所需的时间：
19－15＝4分4×2÷＝40千米100÷（2－1）×（3+1）＝400米【思维发散3】每跑100米，乙比甲多用时间：100÷4－
100÷5＝5秒甲追上乙要多跑100米需20秒，休息4次：20÷5＝4次100×4＝400米100×5＝500米停了4次，共用的时
间：20×5+40＝140秒2、45：30＝3：24××45＝72千米3、10000÷80＝125分钟25×（10
000÷400÷5－1）+10000÷400＝125分钟【思维发散4】【（+）】×48－1÷2+1＝16次【（81+89）×15－
100】÷（100×2）+1＝13次（取整数部分）甲速：（5×6－15）÷6＝2.5米/秒乙速；（15－5×20÷2=2.5米/秒
汽车离开乙时，两人相距的路程：5×（30+2）－2.5×（30+2）＝80米相遇时间：80÷（2.5+2.5）＝16秒【思维发散5
】90÷（60+40）×2＝1.8小时400÷80＝5分400÷50＝8分5和8的最小公倍数是5×8＝40甲、乙两人同时并排起
跑到第一次相遇共用的时间：300÷（5－4.4）＝500秒第一次相遇时，甲共行的路程：5×500＝2500米第一次相遇在起跑线前面
的距离：2500÷300＝8圈……100米第三十五周行程问题（三）【思维发散1】1、乙的速度＝800÷5/6＝960相遇点距中点
320米，则乙比甲多行了3202＝640米时间＝640÷（960-800）＝4分钟A、B两地相距＝（960+800）4＝704
0米2、(1+1)×4=8，两人每时少走2千米，4小时共少走8千米而这8千米又用了1小时，∴后来速度和为每小时8千米8×5=4
0千米AB相距40千米3、相遇时甲乙的行程比是：3：4即甲行了：3/7，乙行了：4/7距离是：20/（3/7-1/3）=210
千米相遇时甲比乙少行：210×（4/7-3/7）=30千米【思维发散2】1、因为时间之比为6:5:4，所以走平路所耗时间占总时
间之比为5/（6+5+4）=1/3；走平路所用时间为5x（1/3）=5/3小时;平路的路程为（5/3）x4.5=7.5km;因为各
路程之比为2：3：5，所以平路路程在总路程中占的比例为3/10；所以总路程为7.5x10/3=25km2、解：上山速度：下山的速度
＝3∶6＝1∶2所以：上山时间∶下山时间＝2∶1则上山的时间是下山的两倍所以总时间是下山时间的三倍∴平均速度=总路程÷总时间=（上
山速度×上山时间＋下山速度×下山时间）÷三倍的下山时间=（3×2×下山时间+6×下山时间）÷三倍的上山时间=12倍的上山时间÷三倍
的上山时间＝4㎞／h∴总路程＝4×4＝16㎞3、下坡速度是50×（1+40%）=70设上学时上坡的路程是X米，那么上学是下坡的路程
是（2800-X）米X÷50+（2800-X）÷70=50解得X=1750那么，从学校回家，下坡的路程是1750米，上坡的路程是1
050米1050÷50+1750÷70=21+25=46（分钟）【思维发散3】1、0.5×（13+11）÷（13-11）=12÷
2=6小时2、解：设乙从A地出发追甲.乙出发x小时能追上。×+x=?x?x-x=??x=?x=?3、相遇后，甲乙的速度的比是：[5
×(1-20%)]:[4×(1+20%)]=5:6相遇后，甲距离B地还有全程的：4÷(4+5)=4/9所以当甲到达B地时，乙离A地
还有：1-(4/9)-(4/9)×(6/5)=1/45即10千米占AB全程的1/45AB两地相距：10÷(1/45)=450千米【
思维发散4】1、设第一批学生坐车的距离为S1、时间为T1.步行距离为S2时间为T2，则S1+S2=48。另外设汽车返回去接第二批
学生的时间为Tx，有以下几种等量关系：两批学生坐车的距离和时间都相等，由等量关系可得：8×（T1+Tx）=S2T1+Tx=
S2÷8S2÷8=T2由T2=Tx+（S2+72Tx）÷2由上述二式得：Tx=4S2÷72代入得T1=5S
2÷72T2=9S2÷72又由（48-S2）÷72+S2÷8=T解之得S2=8㎞2、时间比1.5：1＝3
：2速度比2：3去的时间20×3÷(2+3)=12小时去的速度1.2×2÷(3-2)=2.4km路程2.4×12=28.8k
m3、(1+1/3)×2.5÷(1-1/6)=4【思维发散5】1、车速提高25%，即现在车速为5/4，那么所用时间为原来的1/
(5/4)=4/5因此，提前的24分即为原来所需用的时间的1/5，即原来一共需要用时24/(1/5)=120分因为速度提高了1/3
,因此，剩余的路程其实只用了原来的1/(1+1/3))=3/4的时间，因此，10分钟即为节约的1/4的时间，因此，按原来速度，剩余
路程一共需要的10/(1/4)=40分即，行驶80千米所用时间为（120-40）=80分因此，总路程为80+40=120km2、设
原来正方形的边长是x米则一边减少20%为0.8x，另一边增加2米为：x+2正方形面积为x×x，长方形面积为0.8x×（x+2）即
：x×x=0.8x×（x+2）解方程得x=8或x=0（舍去)即正方形的边长是8米3、相遇时客、货两车所行路程的比是5：4，即速度比5：4，相遇后所行路程的比是4：5。如果货车不提速，则客车到站时，货车还有全程的(5-4)/5未走。一共行了10小时，即相遇后行了10×4/(5+4)小时,也就是说货车多走了27×[10×4/(5+4)]千米，两车同时到站。得甲、乙两地相距27×[10×4/(5+4)]÷(5-4)/5=600千米第三十六周流水行船问题【思维发散1】1、船在顺水中的速度=320÷8=40（千米/小时）船在静水中的速度=40-15=25（千米/小时）船逆水行驶的速度=25-15=10（千米/小时）逆水行320千米需320÷10=32（小时）2、逆水的速度=120÷6=20千米所以顺水速度=20+2×5=30千米所以顺水航行需120÷30=4小时3、2天=60小时总路程60×32=1920千米逆水速度32-2×4=24千米1920÷24=80小时【思维发散2】1、逆流速度=5÷5=1千米/小时顺流速度=5÷1=5千米/小时?木船速度=(1+5)÷2=3千米/小时水流速度=5-3=2千米/小时2、360÷30=12千米/小时，360÷60=6千米/小时，静水中划行的速度（12+6）÷2=9千米/小时河水流速12-9=3千米/小时3、船速=(45+31)÷2=38千米/小时风速=45-38=7千米/小时【思维发散3】1、3.6×2÷（-）=7.2÷=168千米2、船速（18+15）÷2=16.5水速18-16.5=1.53、往返的时间总共85÷(18.5+1.5)+85÷(18.5-1.5)=4.25+5=9.25(小时)【思维发散4】1、逆流船速=48÷8=6千米/小时静水船速=6+3=9千米/小时返回水流速度=3x2=6千米/小时返回速度=9+6=15千米/小时返回时间=195÷15=13小时2、9×47=423（千米）673-423=250(千米）水的流速为?250÷9=（千米）3、河流的速度:?(3-3÷3)÷2=1千米静水中的速度是3-1=2千米【思维发散5】1、木排流速同，说明水流静止。木排流速：75÷5=15（千米时）两地距离：15×15=225(千米)2、逆流的速度＝570÷15=38千米/小时船的速度=38+45=83千米/小时顺流的速度=83+59=142千米/小时回来的时间＝570÷142=4.01小时3、去时是90km/h，回来时75km/h，每小时就相差15km/h，回来时，多走了3小时，就是75×3=225km，与去时的相同时间中就相差了225公里，又知每小时相差90-75=15km，则225÷15=15小时，就是去时花的时间，那么路程就是15×90=1350km第三十七周对策问题【思维发散1】1、6482、112、653、193.25【思维发散2】1、82、9023、2.5【思维发散3】1、4936;183654;2、98723、【思维发散4】1、2、3、17【思维发散5】1、92、3、第三十八周应用同余问题【思维发散1】1、6482、112、653、193.25【思维发散2】1、82、9023、2.5【思维发散3】1、4936;183654;2、98723、【思维发散4】1、2、3、17【思维发散5】1、92、3、第三十九周“牛吃草”问题【思维发散1】1、6482、112、653、193.25【思维发散2】1、82、9023、2.5【思维发散3】1、4936;183654;2、98723、【思维发散4】1、2、3、17【思维发散5】1、92、3、第四十周不定方程【思维发散1】1、6482、112、653、193.25【思维发散2】1、82、9023、2.5【思维发散3】1、4936;183654;2、98723、【思维发散4】1、2、3、17【思维发散5】1、92、3、 |
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