学业分层测评（二）点击图标进入…阶段一阶段二阶段三学业分层测评45°长度为原来的保持原长度不变平面图形的直观图的画法空间几何体的直观图的画法直观图的还原及有关计算[小组合作型]
[探究共研型]
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：我还有这些不足：
(1)(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
§2直观图
1．掌握斜二测画法的步骤．(重点)
2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(重点、难点)
3．通过观察直观图，了解空间几何体的表示形式，进一步认识几何体的结构特征．
[基础·初探]
教材整理1斜二测画法的规则
阅读教材P7～P8倒数第3行以上部分，完成下列问题．
1．在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝，它们确定的平面表示水平平面．
2．已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．
3．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中；平行于y轴的线段，.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用斜二测画法画直观图时，在原图x轴上长为4的线段，在直观图中的长度为4.()
(2)正方形的直观图仍是正方形．()
(3)平行四边形的直观图仍是平行四边形．()
(4)用斜二测画法画直观图时，平行于y轴的线段在直观图中长度减半．()
【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√
教材整理2立体图形的直观图的画法
阅读教材P8最后一段至P12“练习”以上部分，完成下列问题．
立体图形直观图画法的“四步曲”
在棱长为4cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A1′的长为________cm.
【解析】在x轴上的线段长度不变，故A′A1′＝4cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′＝2cm.
【答案】24
画出如图1-2-1所示水平放置的等腰梯形的直观图．
图1-2-1
【精彩点拨】按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的画法步骤画直观图．【自主解答】(1)如图(1)所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图(2)中，以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB.(3)在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(4)连接B′C′，D′A′，去掉辅助线，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．如图(3)所示．1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将此点转到与轴平行的线段上来确定．
2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中确定直角坐标系，然后在此基础上画出水平放置的平面坐标系．
[再练一题]
1．用斜二测画法画如图1-2-2所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.
【导学号：10690003】
图1-2-2
【解】(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的x′轴、y′轴，如图②，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，去掉辅助线则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图③所示．
画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
【精彩点拨】本题所要画的四棱锥的直观图，是空间图形，所以要先画底面，即先按照水平放置的平面图形的直观图的画法画正方形，再画侧棱，最后成图．【自主解答】画法：(1)画轴．画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
画空间几何体时，首先依照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中保持长度不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为
→→→
口诀：一斜、二半、三不变．
[再练一题]
2．用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
【解】画法：
(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)
画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．
探究1如图1-2-3是一梯形OABC的直观图O′A′B′C′，O′C′＝h，根据直观图你知道原图形是什么吗？它有什么特点？
图1-2-3
【提示】原图形是一个直角梯形且高为2h.
探究2已知△ABC的直观图如图1-2-4所示，你能求出原△ABC的面积吗？
图1-2-4
【提示】由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝×6×3＝9.
如图1-2-5所示，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．
图1-2-5
【精彩点拨】分别以A′B′，B′C′所在直线为x′，y′轴，画出该直观图的对应图形，然后求面积．【自主解答】如图(1)是四边形的直观图，取B′C′所在直线为x′轴．因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴．过D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝.
再建立一个直角坐标系xOy，则O，B重合，如图(2)所示，在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2.过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的平面图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以S梯形ABCD＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.由直观图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分别在两个图中计算.
[再练一题]
3．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()
A.a2B.a2
C.a2 D.a2
【解析】如图(1)为直观图，图(2)为实际图形．取B′C′所在直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，
过A′点作A′N′∥O′x′，交y′轴于N′点，过A′点作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点．
则在直角三角形A′O′M′中，∵O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，∴A′M′＝a，则AM＝2A′M′＝a，∴S△ABC＝×a×a＝a2.
【答案】C
[构建·体系]1．用斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰梯形在直观图中仍然是等腰梯形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】根据斜二测画法可知，上述结论全部错误．
【答案】A
2．如图1-2-6所示为一个平面图形的直观图，则原四边形ABCD为()
图1-2-6
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
【解析】因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
【答案】D
3．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1-2-7所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
图1-2-7
【解析】还原成原图是以3,4为直角边的直角三角形，而斜边上的中线等于斜边长的一半．
【答案】2.5
4．如图1-2-8为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，由图判断原三角形中AB，OB，BD，OD由小到大的顺序是________．
图1-2-8
【解析】将直观图还原为平面图形如下，
由三角形的有关性质可知，OB>AB>BD>OD.
【答案】OD
5．已知一等腰△ABC底边AB＝a，高为a，求用斜二测画法得到的直观图的面积.
【导学号：10690004】
【解】如图(1)(2)所示的是实际图形和直观图，由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
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