【专题培优】2018年 九年级数学上册 二次函数压轴题 培优专题（含答案）

2018年九年级数学上册二次函数压轴题培优专题

如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．























(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是线段BC上的点(不与BC重合



















如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出F点坐标；如果不存在，请说明理由．















在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）把﹣4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．



















如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2,﹣4），与x轴交于A、B两点,且A（﹣6,0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大？若能,请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．



















如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．





















如图，关于x的二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.



















如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求AD的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD的周长最小时，求点P的坐标．



















（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．



















如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C（0,4）,与x轴交于点A、B,点A坐标为（4,0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标；

（3）点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标；

（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为（2,0）.问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．



参考答案

解：

解：(1)y＝－x2＋2x＋3

(2)易求直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴M(m，－m＋3)，又∵MN⊥x轴，∴N(m，－m2＋2m＋3)，∴MN＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m(0＜m＜3)

(3)S△BNC＝S△CMN＋S△MNB＝|MN|·|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN＝－m2＋3m＝－(m－)2＋，所以当m＝时，△BNC的面积最大为××3＝

（1）A（﹣1，0）B（3，0）C（2，﹣3）

设直线AC的解析式为：y=kx+b，解得，k=-1,b=-1，∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1，

由抛物线的对称性可知，点A与点B关于对称轴x=1对称，

∴连接AC与x=1交于点P，点即为所求，当x=1时，y=﹣2，则点P的坐标为（1，﹣2）；

（3）存在4个这样的点F，F点坐标是：（﹣3，0）或（1，0）或（4+，0）或（4﹣，0）

解：（1）∵二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0），

∴1+m+2m﹣7=0，解得m=2．∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3；

（2）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．

∵当﹣4＜x＜﹣1时，y随x增大而减小；

当﹣1≤x＜1时，y随x增大而增大，∴当x=﹣1，y最小=﹣4．

当x=﹣4时，y=5．∴﹣4＜x＜1时，y的取值范围是﹣4≤y＜5；

（3）y=x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0），（1，0）．新图象M如右图红色部分．

把抛物线y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），

当直线y=x+b经过（﹣3，0）时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，此时b=3；

当直线y=x+b与抛物线y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切时，直线y=x+b与图象M有两个公共点，

即﹣（x+1）2+4=x+b有相等的实数解，整理得x2+3x+b﹣3=0，△=32﹣4（b﹣3）=0，解得b=．

结合图象可得，直线y=x+b与图象M有三个公共点，b的取值范围是3＜b＜．



解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，

∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，

又∵函数图象经过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a=，

∴此函数的解析式为y=（x+2）2﹣4，即y=x2+x﹣3；

（2）∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），

又当y=0时，有y=x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），

则S△ABC=|AB|?|OC|=×8×3=12；

（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．

设E（x，0），则P（x，x2+x﹣3），



设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，∴点F的坐标为F（x，﹣x﹣3），

则|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x，

∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|?|AE|+|PF|?|OE|

=|PF|?|OA|=（﹣x2﹣x）×6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+，

∴当x=﹣3时，S△APC有最大值，此时点P的坐标是P（﹣3，﹣）．























解：





解：

（1）四边形ABCD是矩形，B（10，8），A（10，0），

又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得

，解得，抛物线的解析式为y=﹣x2+x；

（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，

在RtBDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，

AD=5；

（3）y=﹣x2+x，其对称轴为x=5，A、O两点关于对称轴对称，PA=PO，

当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时PAD的周长最小，

如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，

由（2）可知D点的坐标为（10，5），

设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，直线OD解析式为y=x，

令x=5，可得y=，P点坐标为（5，）．



解：（1）∵抛物线经过点C（0，4），A（4，0），∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣；（2）由（1）可求得抛物线顶点为N（1，），

如图1，作点C关于x轴的对称点C′（0，﹣4），连接C′N交x轴于点K，则K点即为所求，



设直线C′N的解析式为y=kx+b，把C′、N点坐标代入可得，解得，

∴直线C′N的解析式为y=，令y=0，解得x=，∴点K的坐标为（，0）；

（3）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图2，

由﹣=0，得x1=﹣2，x2=4，∴点B的坐标为（﹣2，0），AB=6，BQ=m+2，

又∵QE∥AC，∴△BQE≌△BAC，∴，即，解得EG=；

∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ===．

又∵﹣2≤m≤4，∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；

（4）存在．在△ODF中，

（ⅰ）若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DF=2．

又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC=45°．∴∠DFA=∠OAC=45°．

∴∠ADF=90°．此时，点F的坐标为（2，2）．

由﹣=2，得x1=1+，x2=1﹣．此时，点P的坐标为：P1（1+，2）或P2（1﹣，2）；（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M．由等腰三角形的性质得：OM=OD=1，∴AM=3．∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3．∴F（1，3）．由﹣=3，得x1=1+，x2=1﹣．此时，点P的坐标为：P3（1+，3）或P4（1﹣，3）；

（ⅲ）若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°．∴AC=4．

∴点O到AC的距离为2．而OF=OD=2＜2，与OF≥2矛盾．

∴在AC上不存在点使得OF=OD=2．此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．

综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1+，2）或（1﹣，2）或（1+，3）或（1﹣，3）．























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