[数学思想专题]函数与方程思想如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.求当三棱锥B1-BEF的体积取得最大值时，二面角B1-EF-B的正切值．问题中的某一条件交代不清，导致有若干种可能时，我们要分各种情况来进行处理，注意不能漏掉任何一种情况，当然也不能重复，这种思想就是分类讨论的思想．用分类讨论思想处理问题的步骤：①弄清问题所有可能的情况；②分每一种情况进行解决；③进行汇总．把两邻边长分别为4和2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．分类讨论思想本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检测第一章立体几何初步第一章立体几何初步[知识性专题]空间几何体的结构特征三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．这两种不同的表现形式能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体轮廓线的正投影围成的平面图形．画直观图时，通常利用斜二测画法，即“横长不变，纵长减半，平行位置不改变，九十度画一半”．三视图和直观图画三视图时，要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线，从正前方、正左方、正上方射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的宽和高，俯视图反映几何体的长和宽．三视图和直观图联系密切，由空间几何体的直观图可以画出它的三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何体的直观图．三视图是高考必考内容，一般可单独命题，也可结合简单几何体的表面积与体积进行考查，经常以选择题或填空题的形式出现．A[解析]底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个直角边所在的矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形的视图，因此②正确；当圆柱侧放时(即左视图为圆时)，它的主视图和俯视图是全等的矩形，因此③正确．B平行、垂直问题折叠问题空间中角的计算[规律方法专题]割补法空间几何体的表面积和体积的计算方法栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检测第一章立体几何初步每一种简单几何体都有区别于其他几何体的特征这一结构特征是区分几何体的标我们尤其要注意特殊几何体的特征如正棱锥、正棱台等并且要注意几何体的分类和包含关系因为这种包含关系体现了相近几何体的区别与联系．正四棱台ABCD-A′B′C′D′的高是15两底面的边长分别是和20求这个棱台的侧棱长和斜高．
[解]如图所示设棱台两底面的中心分别是O′和O、BC的中点分别是E′、E.
连接O′O、E′E、O′B′、OB、O′E′、OE则四边形OBB′O′、OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中＝20则OB＝10＝在正方形A′B′C′D′中＝8则O′B′＝4＝4在直角梯形O′OBB′中＝＝＝3()．在直角梯形O′OEE′中＝＝＝3()．
如图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：①存在三棱柱其主视图、俯视图如图；②存在四棱柱其主视图、俯视图如图；③存在圆柱其主视图其中真命题的个数是()．
(2012·高考湖北卷)已知某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为()．D．6π
[解析]由三视图可知此几何体(如图所1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的所以V＝＝3
1．立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行由公理4和平面平行的性质定理可以证明线线平行由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线
由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化是：
2．立体几何中的垂直问题有三类：一是线线垂直空间两直线垂直有相交垂直和异面垂直两种情形判断的依据是两直线所成的角是直角或者由线面垂直推出线线垂直；二是线面垂垂直关系的转化是：
如图在底面为平行四边形的四棱锥P中平面ABCD且PA＝AB点E是PD的中点．求证：
(1)AC⊥PB；(2)PB∥平面AEC.
[证明](1)∵PA⊥平面ABCD平面ABCD又∵AB⊥AC而AB∩PA＝A平面PAB(2)如图连接BD与AC相交于点O连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形点O是BD的中点．又点E是PD的中点平面AEC平面AEC平面AEC.
把一个平面图形按某种要求折起转化为空间图形进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化这就是折叠问题．在解决这类问题时要求既会由平面图形想象出空间形体又会准确地用空间图形表现空间形体；既会观察、分析平面图形中各点、线、面在折叠前后的相互关系又会对图形进行交换和转化．解决折叠问题要注意折叠前后的变量与不变量折叠前后同一半平面内的数量关系与位置关系均不发生改变．在边长为6的正方形ABCD中分别为BC的中点分别为AB的中点现沿AE折叠使B三点重合构成一个三棱锥(如图所示)．(1)判断MN与平面AEF的位置关系并给出证明；(2)求四棱锥E-AFNM的体积．
[解](1)MN∥平面AEF.证明如下：因为折叠后B重合所以MN应是△ABF的一条中位线因为MN∥AF平面AEF，AF平面AEF所以MN∥平面AEF.(2)由题意知AB⊥BE＝B所以AB⊥平面BEF因为AB＝6＝BF＝3所以V＝9又＝＝所以V＝
空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角(简称线线角、线面角、面面角)．用直接法：求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算空间角的计算步骤：一作二证三计算．(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)．(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)．(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
如图正方体的棱长为1＝O求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
[解](1)∵A′C′∥AC与A′C′所成的角就是∠OAC.平面BC′平面BC′又OC⊥BO＝B平面ABO.又OA平面ABO在中＝＝＝＝＝30即AO与A′C′所成角的度数为30
(2)如图作OE⊥BC于E连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD平面ABCD为OA与平面ABCD所成的角．在中＝AE＝＝
∴tan∠OAE＝＝(3)∵OC⊥平面AOB平面AOC平面AOB⊥平面AOC即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90
割补法是割法与补法的总称．补法是把不熟悉的(或者复杂的)几何体延伸或者补成熟悉的(或者简单的)几何体把不完整的图形补成完整的图形．割法是把复杂的几何体割成简单的几何体．割与补是对立统一的是一个问题的两个相反方面．在三棱锥S-ABC中＝18＝16其余棱长均为17求三棱锥的体积．
[解]如图所示设BC的中点为M连接SM显然且AM∩SM＝M则BC⊥平面SAM.＝SB＝17＝16＝8＝15.同理＝15.
又△SAM的边SA上的高为＝＝12＝V＋V＝(BM＋CM)＝＝×18×12×16＝576.
柱体、锥体、台体的表面积计算公式：柱＝S侧＋2S底S侧＋S底台＝S侧＋S上底＋S下底．柱体、锥体、台体的体积计算公式：柱＝Sh锥＝其中S为底面积为柱体、锥体的高．台＝(S＋＋S′)h其中S′为台体的上底面面积为下底面面积为台体的高球体的表面积与体积计算公式：球＝4为球的半径．
V球＝为球的半径．
1．将立体问题平面化在线、面、体几个元素中体是最复杂的而线是最简单的如果我们能将立体问题转化为平面问题或者将平面问题转化为直线问题去解决便可达到化难为易的目的．
2．等积转化法在求多面体的体积时全面深刻认识图形根据图形的特点适当利用换底法和割补法会优化解题过程使问题快速获得解决．
如图所示在三棱锥A-BCD中分别在AC上连接AQPD，若三棱锥A-BPQ的体积分别为6则三棱锥A-BCD的体积为多少？
[解]设h表示点B到平面AQC的距离则V＝V＝三棱锥B-CPQ的体积可以表示为V＝用h表示点D到平面AQC的距离则三棱锥C-DPQ的体积可以表示为V＝VD-CPQ＝三棱锥A-DPQ的体积可以表示为V＝V＝
由已知可得＝＝＝3所以＝＝＝3.而V＝8所以V＝24所以三棱锥A-BCD的体积为V＝24＋8＋6＋2＝40.
函数与方程思想是最基本、最主要的数学思想之一立体几何中由点的位置变化引起量(如体积、面积)的变化等问题常用函数思想求解．用函数思想解题的一般步骤是：①引入参变量；②建立目标函数；③研究函数的图像与性质；④得到问题的解．而用方程思想处理立体几何问题时是从对问题的数量关系分析入手运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(这种模型可以是方程(组)、不等式(组)或是方程与不等式的混合)然后通过解方程(组)或不等式(组)使问题获解．
[解]设BE＝x(0＜x＜a)＝BF＝BC＝a＝a－x＝BE·BF·B1B＝x·(a－x)＝当x＝时取得最大值此时E分别是AB的中点．取EF的中点G连接B是等腰三角形B和等腰三角形BEF的公共底边为二面角B的平面角．
由题意知BG＝＝＝＝＝2二面角B的正切值为2
[解]设卷成的圆柱的底面半径为r母线长为l如图(1)所示当2＝4＝2时＝＝l＝2圆柱＝＝
②如图(2)所示
当2＝2＝4时＝＝l＝4圆柱＝＝综上可知所求圆柱的体积为或
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