2018-2019数学新学案同步必修二人教B版全国通用版课件：第一章+立体几何初步1.2.3+第2课时

第一章1.2.3空间中的垂直关系第2课时平面与平面垂直学习目标1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形.2.掌握面面垂直的判定定
理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化.3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学
知识点一平面与平面垂直的定义1.条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直
.2.结论：两个平面互相垂直.3.记法：平面α，β互相垂直，记作α⊥β.知识点二平面与平面垂直的判定定理思考建筑工人常在一根细
线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面
什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直.梳理平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的，则这两个平
面互相垂直图形语言符号语言a⊥α，?α⊥β垂线a?β知识点三平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能
否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则
所画直线必与地面垂直.梳理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内__________垂直于另一个平面α
⊥β，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，B为垂足?BA⊥β垂直于它们交线的直线[思考辨析判断正误]1.若l⊥α，则过l有无数
个平面与α垂直.()2.若平面α⊥平面β，任取直线l?α，则必有l⊥β.()3.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线
的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.()√××题型探究类型一面面垂直的判定例1如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥
底面ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC⊥平面PDB.证明设AC∩BD＝O，连接OE，∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD
为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.证明反思与感悟应用判定定理证明平
面与平面垂直的基本步骤跟踪训练1如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA
1的中点.证明：平面BDC1⊥平面BDC.证明由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又
DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC
∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1?平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.证明类型二面面垂直的性质定理及应用例2
如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明证明如图，在平面PAB内，作AD⊥
PB于D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA
⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.反思与感悟
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理
.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂
直于它们的交线.跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为
正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：(1)BG⊥平面PAD；证明平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD
∩平面ABCD＝AD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.∴BG⊥平面PAD.证明(2
)AD⊥PB.证明由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，∴AD⊥PB.证
明类型三垂直关系的综合应用例3如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M，N分别是A
E，AC的中点，求证：(1)DE＝DA；解答解取CE的中点F，连接DF，易知DF∥BC，因为CE⊥平面ABC，所以CE⊥BC，所
以CE⊥DF.因为BD∥CE，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥AB.在Rt△EFD和Rt△DBA中，所以Rt△EFD≌Rt△DBA
，所以DE＝DA.(2)平面BDMN⊥平面ECA；解因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，因为△ABC为正三角形，所以BN⊥AC
.因为EC∩AC＝C，所以BN⊥平面ECA.又因为BN?平面BDMN，所以平面BDMN⊥平面ECA.解答(3)平面DEA⊥平面EC
A.解因为M，N分别是AE，AC的中点，所以四边形MNBD是平行四边形，所以DM∥BN，由(2)知BN⊥平面ECA，所以DM⊥平
面ECA.又因为DM?平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.解答反思与感悟在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面
垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：跟踪训练3如图，在四棱锥P－ABC
D中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥
底面ABCD；证明∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平
面ABCD.证明(2)BE∥平面PAD；证明∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABE
D为平行四边形，故有BE∥AD.又AD?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.证明(3)平面BEF⊥平面PCD.证明
在平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD.①由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可
得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF.②而EF和
BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.证明达标检测1.下列四个命
题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个
平面的两个平面相互平行.其中错误的命题有A.1个 B.2个C.3个 D.4个√12345解析答案解析①垂直于同一条直线的
两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确
；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻
的三个面就不成立.故选B.123452.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PA
D的位置关系是A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平
面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直√12345解析答案解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A
，∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.123453.如图，在四面体ABCD
中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的正投影H必在A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部
√解析在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平
面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在面ABC内的射影H必在AB上.故选A.12345解析答案4.如图所示，已知AF⊥平面A
BCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝___.6解析∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE
.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.12345解析答案5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形
ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明连接AC与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO?平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.12345证明1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：规律与方法2.运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.因为EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，所以MN綊CF綊BD，