§4.3 三角函数的图象与性质

高考理数(课标专用)§4.3三角函数的图象与性质A组??统一命题·课标卷题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标Ⅰ,9,5
分)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin?,则下面结论正确的是?()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标
不变,再把得到的曲线向右平移?个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
?个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的?,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移?个单位长度,得到曲线C2D.
把C1上各点的横坐标缩短到原来的?,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移?个单位长度,得到曲线C2五年高考答案?D本题主要考查学
生对正(余)弦型三角函数的图象与性质的掌握和对数形结合思想的运用,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.利用诱导公式可知sin?=
cos?=cos?=cos?,由y=cosx的图象得到y=cos2x的图象,需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的?,纵坐标不
变;由y=cos2x的图象得到y=cos?的图象,需将y=cos2x的图象上的各点向左平移?个单位长度,故选D.方法总结(1
)三角函数图象变换:①伸缩变换:将y=sinx图象上的各点的横坐标变为原来的ω倍,纵坐标不变,可得到y=sin?的图象;将y=s
inx图象上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,可得到y=Asinx的图象.②平移变换:函数图象的左右平移变换遵循“左加右
减”的法则,但是要注意平移量是指自变量x的变化量;函数图象的上下平移变换遵循“上加下减”的法则.(2)解决三角函数图象变换问题时,
若两函数异名,则通常利用公式sinx=cos?和cosx=sin?将异名三角函数转化为同名三角函数,然后分析变换过程.2.(2
016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-?cosx的图象可由函数y=sinx+?cosx的图象至少向右平移?个单位长度
得到.解析设f(x)=sinx-?cosx=2sin?,g(x)=sinx+?cosx=2sin?,将g(x)的图象向右
平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin?=2sin?=f(x)的图象,所以x-φ+?=2kπ+x+?,k∈Z,
此时φ=-2kπ-?,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为?.答案??π方法指导先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函
数式,再根据三角函数图象变换遵循的“左加右减”规律求解.答案????A本题主要考查三角函数的性质.f(x)=cosx-sin
x=?cos?,由题意得a>0,故-a+?值是?,故选A.考点二三角函数的性质及其应用1.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是
减函数,则a的最大值是?()A.??B.??C.??D.π易错警示本题易忽略a>0,导致a的范围扩大而失分.答案????D
本题考查余弦函数的图象和性质.f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f?=cos?=cos3π=-1,为f(x)的最小值,故B
正确;∵f(x+π)=cos?=-cos?,∴f?=-cos?=-cos?=0,故C正确;由于f?=cos?=cosπ=-1,
为f(x)的最小值,故f(x)在?上不单调,故D错误.2.(2017课标Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos?,则下列结论错误的是
?()A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=?对称C.f(x+π)的一个零点为x=?D.f(x)在?
单调递减答案????B将函数y=2sin2x的图象向左平移?个单位长度得到函数y=2sin?=2sin?的图象,由2x+?=k
π+?(k∈Z),可得x=?+?(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=?+?(k∈Z),故选B.3.(2016课标Ⅱ,7,5分)若
将函数y=2sin2x的图象向左平移?个单位长度,则平移后图象的对称轴为?()A.x=?-?(k∈Z)????B.x=?+
?(k∈Z)C.x=?-?(k∈Z)????D.x=?+?(k∈Z)易错警示本题易犯的错误是得出平移后图象为函数y=2sin?
的图象.思路分析先得出平移后图象对应的解析式,再利用正弦函数图象的对称轴得平移后图象的对称轴.4.(2015课标Ⅰ,8,5分,0
.698)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为?()?A.?,k∈ZB.?,k∈
ZC.?,k∈ZD.?,k∈Z答案???D不妨令ω>0,由函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,可得函数的周期T=2?
=2,由T=?得ω=π,∴f(x)=cos(πx+φ),再根据函数的图象可得?+φ=?+2kπ,k∈Z,∴φ=?+2kπ(k∈Z)
,∴f(x)=cos?,由2kπ<πx+?<2kπ+π(k∈Z),得2k-?(k∈Z).故选D.一题多解由题图可知?=?-?=1,所以T=2.结合题图可知,在?(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调
递减区间为?.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为?,k∈Z,故选D.思路分析令ω>0,根据函数图象求
出函数f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性求得f(x)的单调递减区间.5.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=si
n(ωx+φ)?,x=-?为f(x)的零点,x=?为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在?单调,则ω的最大值为?()A.11
????B.9????C.7????D.5答案?B由f(x)在?上单调,得?≥?-?,∴ω≤12,依题意,有?(m、n∈Z
),∴?又|φ|≤?,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=?,取n=2,得ω=9,f(x)=sin?符
合题意.当m+n=-1时,φ=-?,ω=4n+3,取n=2,得ω=11,f(x)=sin?,此时,当x∈?时,11x-?∈?,
f(x)不单调,不合题意.故选B.解后反思本题要求ω的最大值,正面入手难度较大,故对ω取特殊值进行检验.评析本题考查三角函数的
图象与性质,对运算能力、逻辑思维能力都有较高的要求.6.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+?cosx-??
的最大值是?.解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可得f(x)=-cos2x+?cosx+?=-?+1.∵x∈?,∴cos
x∈[0,1].∴当cosx=?时,f(x)max=1.答案1B组??自主命题·省(区、市)卷题组答案?A本题主要考查三角
函数的图象变换及三角函数的性质.将y=sin?的图象向右平移?个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin?=sin2x,令2kπ
-?≤2x≤2kπ+?(k∈Z),得kπ-?≤x≤kπ+?(k∈Z).所以y=sin2x的递增区间为?(k∈Z),当k=1时,y
=sin2x在?上单调递增,故选A.考点一三角函数的图象及其变换1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin?的图象向右平移
?个单位长度,所得图象对应的函数?()A.在区间?上单调递增????B.在区间?上单调递减C.在区间?上单调递增????D
.在区间?上单调递减易错警示进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是对自变量本身而言;还要注意平移前后两个函数的
名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数.答案?D?y=sin?可变形为y=sin?,所以将y=sin2x的图象向右
平行移动?个单位长度即可,故选D.2.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin?的图象,只需把函数y=sin2x的图象上
所有的点?()A.向左平行移动?个单位长度B.向右平行移动?个单位长度C.向左平行移动?个单位长度D.向右平行移动?个单位长度
答案??A点P?在函数y=sin?的图象上,∴t=sin?=?.所以P?.将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P''?.因为P''
在函数y=sin2x的图象上,所以sin2?=?,即cos2s=?,所以2s=2kπ+?或2s=2kπ+?π,即s=kπ+?
或s=kπ+?(k∈Z),又s>0,所以s的最小值为?.3.(2016北京,7,5分)将函数y=sin?图象上的点P?向左平移s(
s>0)个单位长度得到点P''.若P''位于函数y=sin2x的图象上,则?()A.t=?,s的最小值为??B.t=?,s的最小
值为?C.t=?,s的最小值为??D.t=?,s的最小值为?答案?D?g(x)=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ).∵|
f(x)|≤1,|g(x)|≤1,∴|f(x1)-g(x2)|≤2,当且仅当f(x1)=1,g(x2)=-1或f(x1)=-1,g
(x2)=1时,满足|f(x1)-g(x2)|=2.不妨设A(x1,-1)是函数f(x)图象的一个最低点,B(x2,1)是函数g(
x)图象的一个最高点,于是x1=k1π+?(k1∈Z),x2=k2π+?+φ(k2∈Z),∴|x1-x2|≥?=?.∵φ∈?,∴|
x1-x2|≥?-φ.又∵|x1-x2|min=?,∴?-φ=?,即φ=?,故选D.4.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=
sin2x的图象向右平移φ?个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|
min=?,则φ=?()A.??B.??C.??D.?评析本题考查三角函数的图象与性质,对逻辑思维能力与数形结合能力要求较
高,要求考生能准确地画图并理解题意.属中等难度题.5.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图
象与y=cosx的图象的交点个数是?.解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=cosx在区间[0,3π]上的
图象(如图).由图象可知,共有7个交点.?答案7思路分析解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数
图象是解题的关键.6.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)?在某一个周期内的图象时
,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ0?π?2πx??Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接
写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x
)图象的一个对称中心为?,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-?.数据补全如下表:ωx+φ0?
π?2πx?????πAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin?.(2)由(1)知f(x)=5sin?,
得g(x)=5sin?.因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-?=kπ,k∈Z,解得x=?+?-θ,k
∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点?中心对称,令?+?-θ=?,k∈Z,解得θ=?-?,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取
得最小值?.考点二三角函数的性质及其应用1.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的
最小正周期?()A.与b有关,且与c有关????B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关????D.与b无关,但与
c有关2.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(?sinx+cosx)(?cosx-sinx)的最小正周期是?()
A.??B.πC.??D.2π答案??B∵f(x)=(?sinx+cosx)(?cosx-sinx)=4sin?·c
os?=2sin?,∴T=?=π,故选B.答案???B?f(x)=sin2x+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin2x+
c=?(1-cos2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周期为2π,所以选B.评析本题主要考查辅助角公式及
三角恒等变换,属中档题.答案????A本题考查三角函数的图象和性质.∵f?=2,f?=0,f(x)的最小正周期大于2π,∴?
=?-?=?,得T=3π,则ω=?=?,又f?=2sin?=2,∴sin?=1.∴?+φ=2kπ+?,k∈Z,∴φ=2kπ+?,k
∈Z.∵|φ|<π,∴φ=?,故选A.易错警示根据f(x)的最小正周期T>2π,可知?T=?-?=?,得T=3π.若不注意已知条
件,则容易出现?T=?,得T=π,从而造成错误.3.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω
>0,|φ|<π.若f?=2,f?=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则?()A.ω=?,φ=??B.ω=?,φ=-?
C.ω=?,φ=-??D.ω=?,φ=?答案???解析本题主要考查三角函数的性质及其应用.∵f(x)≤f?对任意的实数x都
成立,∴f?=1,∴?·ω-?=2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+?,k∈Z.又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值?.导师点睛由题
意知函数f(x)在x=?处取得最大值,从而得出答案.4.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cos?(ω>0).若f(x)
≤f?对任意的实数x都成立,则ω的最小值为?.答案-?解析本题考查正弦函数的图象和性质.∵函数y=sin(2x+φ)的图象关
于直线x=?对称,∴x=?时,函数取得最大值或最小值,∴sin?=±1.∴?+φ=kπ+?(k∈Z),∴φ=kπ-?(k∈Z),又
-?<φ.答案π;?(k∈Z)解析f(x)=sin2x+sinxcosx+1=?+?sin2x+1=?(sin2x-cos2x)
+?=?sin?+?.易知最小正周期T=?=π.当?+2kπ≤2x-?≤?+2kπ(k∈Z),即?+kπ≤x≤?+kπ(k∈Z)时
,f(x)单调递减,所以f(x)的单调递减区间为?(k∈Z).6.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin
xcosx+1的最小正周期是?,单调递减区间是??.7.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,
ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间?上具有单调性,且f?=f?=-f?,则f(x)的最小正周期为?.解析记f(x)
的最小正周期为T.由题意知?≥?-?=?,又f?=f?=-f?,且?-?=?,可作出示意图如图所示(一种情况):∴x1=?×?=?
,x2=?×?=?,∴?=x2-x1=?-?=?,∴T=π.答案?π解析(1)因为f(x)=?sinx-?(1-cosx)=
sin?-?,所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-?≤x+?≤?.当x+?=-?,即x=-?时,f(x
)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f?=-1-?.8.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=?si
n?cos?-?sin2?.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.9.(2017浙江,18,
14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2?sinxcosx(x∈R).(1)求f?的值;(2)求f(x)的最小正
周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin?=?,cos?=-?
,f?=?-?-2?×?×?,得f?=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(
x)=-cos2x-?sin2x=-2sin?.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得?+2kπ≤2x+?≤?+2k
π,k∈Z,解得?+kπ≤x≤?+kπ,k∈Z.所以,f(x)的单调递增区间是?(k∈Z).10.(2017山东,16,12分)
设函数f(x)=sin?+sin?,其中0<ω<3.已知f?=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为
原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移?个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在?上的最小值.解析本题考查了y
=Asin(ωx+φ)的图象和性质.(1)因为f(x)=sin?+sin?,所以f(x)=?sinωx-?cosωx-cos
ωx=?sinωx-?cosωx=??=?sin?.由题设知f?=0,所以?-?=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<
ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=?sin?,所以g(x)=?sin?=?sin?.因为x∈?,所以x-?∈?,当x-
?=-?,即x=-?时,g(x)取得最小值-?.解析(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-?),a∥b,所以-?
cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=
-?.又x∈[0,π],所以x=?.(2)f(x)=a·b=(cosx,sinx)·(3,-?)=3cosx-?sinx=
2?cos?.因为x∈[0,π],所以x+?∈?,从而-1≤cos?≤?.于是,当x+?=?,即x=0时,f(x)取到最大值3;
当x+?=π,即x=?时,f(x)取到最小值-2?.11.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cosx,sinx),
b=(3,-?),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
12.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-?c
os?t-sin?t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需
要降温?解析(1)f(t)=10-2?=10-2sin?,因为0≤t<24,所以?≤?t+?)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.(2)依题意知
,当f(t)>11时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin?,故有10-2sin?>11,即sin?<-?.又0≤t
<24,因此?x)=?sin(ωx+φ)?的图象关于直线x=?对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f?=??,求
cos?的值.解析(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=?=2.又因为f(x)
的图象关于直线x=?对称,所以2·?+φ=kπ+?,k=0,±1,±2,….由-?≤φ(1)得f?=?sin?=?,所以sin?=?.由?<αsin?=sin?cos?+cos?sin?=?×?+?×?=?.C组????教师专用题组答案????C?y=sin3x+cos
3x=?cos?,要得到函数y=?cos?的图象,可以将函数y=?cos3x的图象向右平移?个单位,故选C.考点一三角函数的
图象及其变换1.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=?cos3x的图象?(
????)A.向右平移?个单位????B.向左平移?个单位C.向右平移?个单位????D.向左平移?个单位答案?B函数y=
3sin?的图象向右平移?个单位长度所得图象对应的函数为y=3sin?=3sin?.由2kπ-?≤2x-?≤2kπ+?,k∈Z得k
π+?≤x≤kπ+?,k∈Z,故单调递增区间为?kπ+?,kπ+??(k∈Z).故选B.评析?本题主要考查三角函数图象变换及正弦函
数性质,难度适宜.2.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin?的图象向右平移?个单位长度,所得图象对应的函数?()A.在
区间?上单调递减B.在区间?上单调递增C.在区间?上单调递减D.在区间?上单调递增答案??解析根据题意设g(x)=f(x-φ)
=sin?,则g(x)的图象关于y轴对称,∴g(0)=±1,即sin?=±1,∴-2φ+?=kπ+?(k∈Z),∴φ=-?-?(k
∈Z).∴当k=-1时,φ取最小正值,为?.3.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin?的图象向右平移φ个单位,所得
图象关于y轴对称,则φ的最小正值是?.考点二三角函数的性质及其应用1.(2015陕西,3,5分)答案?C?因为函数y=3sin?
+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.如图,某港口一天6时到18时的水深变
化曲线近似满足函数y=3sin?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为?()A.5????B.6?C.8?
???D.10答案?A∵ω>0,∴T=?=π,∴ω=2.又A>0,∴f?=-A,即sin?=-1,得φ+?=2kπ+?,k∈Z,
即φ=2kπ+?,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin?,∴f(2)=Asin?,f(-2)=Asin?,f(0)=A
sin?.∵π<4+?,且sin?>sin(-π)=0,从而有0性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+?与-4+?的范围是解题的关键.2.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x
)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=?时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是?(
)A.f(2))????D.f(2)0),∴0<ω≤2,又由?<π得?+?<ωx+?<ωπ+?,∴当x∈?时,?<ωx+?故选A.评析????本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.3.(2012课标,9,5分)已知ω>0,
函数f(x)=sin?在?单调递减,则ω的取值范围是?(????)A.??B.??C.??D.(0,2]答案?A?f(x)=si
n(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=?sin?ωx+φ+??,∵T=?=π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,
∴φ+?=kπ+?,φ=kπ+?,k∈Z.又|φ|减,故选A.错因分析一是不知道将f(x)化成f(x)=Asin(ax+b)的形式,二是由f(x)为偶函数求φ时得φ+?=kπ(k
∈Z),进而得φ=-?导致错选.评析?本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数的单调性、周期,属中等难度题.4.(2011课标,1
1,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则?()A.f(x
)在?单调递减????B.f(x)在?单调递减C.f(x)在?单调递增????D.f(x)在?单调递增答案??解析?y=1-
2cos2(2x)=1-2×?=-cos4x,则最小正周期为?.5.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最
小正周期是?.解析(1)由已知,有f(x)=?-?=??-?cos2x=?sin2x-?cos2x=?sin?.所以,f
(x)的最小正周期T=?=π.(2)因为f(x)在区间?上是减函数,在区间?上是增函数,f?=-?,f?=-?,f?=
?,所以,f(x)在区间?上的最大值为?,最小值为-?.6.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2
?,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间?上的最大值和最小值.解析(1)由题意知f(x)=?-?=?-?
=sin2x-?.由-?+2kπ≤2x≤?+2kπ,k∈Z,可得-?+kπ≤x≤?+kπ,k∈Z;由?+2kπ≤2x≤?+2kπ
,k∈Z,可得?+kπ≤x≤?+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是?(k∈Z);单调递减区间是?(k∈Z).7.(2015
山东,16,12分)设f(x)=sinxcosx-cos2?.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C
的对边分别为a,b,c.若f?=0,a=1,求△ABC面积的最大值.(2)由f?=sinA-?=0,得sinA=?,由题意知A
为锐角,所以cosA=?.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得1+?bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+?,且当
b=c时等号成立.因此?bcsinA≤?.所以△ABC面积的最大值为?.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解
三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.答案???B将函数y=sin?的图象上所有的点向左平移?个单位长
度,可得y=sin?=sin?的图象,再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin?的图象,故选B.A
组2016—2018年高考模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018河南周口二模,5)将函数y=sin?的图象
上所有的点向左平移?个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的解析式为?()A.y=sin
??B.y=sin?C.y=sin??D.y=sin?三年模拟2.(2017山东日照一模,5)函数f(x)=Acos(ωx+φ)
(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asinωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象?()
A.向左平移?个单位长度B.向左平移?个单位长度C.向右平移?个单位长度D.向右平移?个单位长度答案?B由题图知A=2,?=?-
?=?,∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=2cos(2x+φ),将?代入得cos?=1,∵-π<φ<0,∴-?=0,∴φ=-?,∴f(x)=2cos?=2sin?,故将函数y=f(x)的图象向左平移?个单位长度可得到g(x)的图象.答案?A
将f(x)的图象向右平移?个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y=2sin?-1=2sin?ωx-?+??-1,由题意知?=2
kπ,k∈Z,所以ω=3k,k∈Z,因为ω>0,所以ω的最小值为3,故选A.3.(2016湖北武昌调研,8)已知函数f(x)=2s
in?-1(ω>0)的图象向右平移?个单位后与原图象重合,则ω的最小值是()A.3????B.??C.??D.?答案-?
解析由图象可知A=?,?=?π-?=?,即T=π,又知T=?,∴ω=2,即函数f(x)=?sin(2x+φ).由题意知f?=-
?,即?sin?=-?,∴sin?=-1,∴?π+φ=2kπ+?π,k∈Z.∴φ=2kπ+?(k∈Z),∴f(x)=?sin?=?
sin?.∴f?=?sin?=-?.4.(2018广东肇庆二模,14)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0
,ω>0)的部分图象如图所示,则f?的值是?.答案?D因为f(x)+2f(-x)=3cosx-sinx,所以f(-x)+2f
(x)=3cosx+sinx.解得f(x)=cosx+sinx=?sin?,所以f(2x)=?sin?.令2x+?=kπ(
k∈Z),得x=?-?(k∈Z).所以f(2x)图象的对称中心为?(k∈Z).考点二三角函数的性质及其应用1.(2018河北、河
南重点中学第三次联考,7)若对于任意x∈R都有f(x)+2f(-x)=3cosx-sinx,则函数f(2x)图象的对称中心为?
()A.?(k∈Z)????B.?(k∈Z)C.?(k∈Z)????D.?(k∈Z)答案?A∵曲线y=f(x)向左平移?
个单位后所得曲线的解析式为y=sin?=sin?,∴由题意知?+φ=2kπ+?(k∈Z),∴φ=2kπ-?(k∈Z),又∵|φ|<
?,∴φ=-?,因此函数f(x)=sin?.令2kπ-?≤2x-?≤2kπ+?(k∈Z),得kπ-?≤x≤kπ+?π(k∈Z).∴
函数f(x)的单调增区间为?(k∈Z).令k=0,得函数f(x)的一个单调递增区间为?,结合选项可知???,故选A.2.(2018
安徽滁州二模,10)已知函数f(x)=sin(2x+φ)?的最小正周期为T,将曲线y=f(x)向左平移?个单位之后,得到曲线y=s
in?,则函数f(x)的一个单调递增区间为?()A.??B.??C.??D.?答案?A由题意可知f(x)=2sin?,∵函
数f(x)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象,∴g(x)=2sin?=2sin?.∵函数f(x)=2sin?为偶函数,∴
θ+?=kπ+?(k∈Z),θ=kπ+?(k∈Z).又∵0<θ<π,∴θ=?.∴g(x)=2sin?.∵x∈?,∴2x-?∈?,∴
sin?∈?.∴g(x)∈[-2,1],∴函数g(x)在?上的最小值为-2,故选A.3.(2018广东汕头二模,8)将偶函数f(x
)=?sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象,则g(x)在?上的最小值是
?()A.-2????B.-1????C.-??D.-?答案?B∵sin(2x+θ)∈[-1,1],且f(x)∈[-2
,2],∴2|a|=2,∴a=±1.当a=1时,f(x)=2sin(2x+θ),其最小正周期T=?=π,∵f(x)在区间?内单调
递减,且?-?=?,为半个周期,∴f(x)max=f?=2sin?=2,∴θ-?π=2kπ+?(k∈Z),∴θ=2kπ+?π(k∈
Z).又0<θ<π,∴a=1不符合题意,舍去.当a=-1时,f(x)=-2sin(2x+θ)在?上单调递减,∴f(x)max=f
?=-2sin?=2,∴sin?=-1,∴θ-?π=2kπ-?(k∈Z),θ=2kπ+?(k∈Z).又∵0<θ<π,∴当k=0时,
θ=?,∴a=-1,θ=?.故选B.4.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,6)若函数f(x)=2asin(2x+θ)(
0<θ<π),a是不为零的常数,f(x)在R上的值域为[-2,2],且在区间?上是单调减函数,则a和θ的值是?()A.a=1,
θ=??B.a=-1,θ=?C.a=1,θ=??D.a=-1,θ=?答案????C?y=cos2x+2sinx=1-2sin
2x+2sinx=-2?+?,因为-1≤sinx≤1,所以当sinx=?时,函数取最大值,故ymax=?.6.(2017福建
泉州二模,6)已知函数f(x)=2sin?·cos??,且对于任意的x∈R,f(x)≤f?,则?()A.f(x)=f(x+π
)????B.f(x)=f? C.f(x)=f??D.f(x)=f?答案????C?f(x)=2sin?·cos?=sin(x
+φ),因对任意的x∈R,f(x)≤f?,故f?为函数的最大值,即?+φ=2kπ+?,k∈Z,则φ=2kπ+?,k∈Z,又|φ|
∴C正确,D错误.故选C.5.(2017广东惠州三调,8)函数y=cos2x+2sinx的最大值为?()A.??B.1?
???C.??D.2答案????B|AB|=5,|yA-yB|=4,∴|xA-xB|=3,即?=3,∴T=?=6,∴ω=?.∵f
(x)=2sin?的图象过点(2,-2),即2sin?=-2,∴sin?=-1,又∵0≤φ≤π,∴?≤?+φ≤?,∴?+φ=?,解
得φ=?,∴f(x)=2sin?,由2kπ-?≤?x+?≤2kπ+?(k∈Z),得6k-4≤x≤6k-1(k∈Z),故f(x)的单
调递增区间为[6k-4,6k-1](k∈Z).故选B.7.(2016湖南长沙一模,9)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,
0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的单调递增区间是?()?A.[6k-1,6k+2](k
∈Z)????B.[6k-4,6k-1](k∈Z)C.[3k-1,3k+2](k∈Z)????D.[3k-4,3k-1](k
∈Z)答案???解析因为x∈?,所以tanx>0,y=?=?=?=?≤?=?,当且仅当3tanx=?时等号成立,故最大值为
?.8.(2017广州五校联考,14)设x∈?,则函数y=?的最大值为?.一、选择题(每题5分,共40分)1.(2018河南郑州一
模,6)若将函数f(x)=3sin(2x+φ)(0<φ<π)图象上的每一个点都向左平移?个单位长度,得到g(x)的图象,若函数g(
x)是奇函数,则函数g(x)的单调递增区间为?()A.?(k∈Z)????B.?(k∈Z)C.?(k∈Z)????D.?(
k∈Z)B组2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:40分钟分值:55分)答案????B由题意知g(x)=3sin?
=3sin?,因为g(x)是奇函数,所以?+φ=kπ(k∈Z),即φ=-?+kπ(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=?,所以g(x)
=3sin(2x+π)=-3sin2x.由?+2kπ≤2x≤?+2kπ(k∈Z),解得kπ+?≤x≤kπ+?(k∈Z),所以函数
g(x)的单调递增区间为?(k∈Z).故选B.思路分析先利用图象的平移规律得函数g(x)的解析式,进而利用奇函数的性质求得φ值,
最后利用整体思想求单调递增区间.规律总结?函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性主要是由φ值决定的.答案?C易知函数f(x)=si
nωx(ω>0)的图象向右平移?个单位得到函数g(x)=sin?=sin?的图象,由函数g(x)在区间?上单调递增,在区间?上单
调递减,可得?≥?,且当x=?时,g(x)取得最大值,则?≥?,ω×?-?=?+2kπ,k∈Z,则ω≤6且ω=2+8k,k∈Z,结
合ω>0得ω=2.故选C.思路分析根据平移变换的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间?上单调递增,在区间?上单调递减可得?
≥?,且x=?时,g(x)取得最大值,由此可求得正实数ω的值.2.(2018福建福州四校联考,8)函数f(x)=sinωx(ω>
0)的图象向右平移?个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间?上单调递增,在区间?上单调递减,则实数ω的值为?(?
???)A.??B.??C.2????D.?答案?B?f(x)=sinx+?cosx=2sin?,将其图象上所有点的横坐
标缩短到原来的?(纵坐标不变),得y=2sin?的图象,再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度,得y=2sin?=
2sin?3x-3θ+??的图象,由y=2sin?的图象关于y轴对称得?-3θ=kπ+?(k∈Z),即θ=-?π(k∈Z).又θ>
0,故当k=-1时,θ取得最小值?π,故选B.3.(2018清华大学自主招生3月能力测试,9)已知函数f(x)=sinx+?co
sx(x∈R),先将y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的?(纵坐标不变),再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)
个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则θ的最小值为?()A.??B.??C.??D.?规律总结对于y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω≠0)的图象,要使图象关于y轴对称,则只需φ=kπ+?,k∈Z即可;要使图象关于原点对称,则只需φ=kπ,k∈Z即可.
思路分析先化简f(x),再利用图象的平移变换规律得变换后的函数解析式,最后利用函数图象的对称性求得θ的表达式,从而结合θ的范围得
θ的最小值.4.(2018河北五个一联盟4月联考,10)已知函数f(x)=1+2cosxcos(x+3φ)是偶函数,其中φ∈?,
则下列关于函数g(x)=cos(2x-φ)的描述正确的是?()A.g(x)在区间?上的最小值为-1B.g(x)的图象可由函数f
(x)的图象向上平移2个单位长度,再向右平移?个单位长度得到C.g(x)的图象的一个对称中心是?D.g(x)的一个单调递减区间是?
答案?C∵函数f(x)=1+2cosxcos(x+3φ)是偶函数,y=1,y=2cosx都是偶函数,∴y=cos(x+3φ
)是偶函数,∴3φ=kπ,k∈Z,∴φ=?,k∈Z,又0<φ≤?,cos?∈[0,1],故A错误;f(x)=1+2cosxcos(x+π)=1-2cos2x=-cos2x,显然B错误;
当x=-?时,g(x)=cos?=0,故C正确;由2kπ≤2x-?≤2kπ+π(k∈Z)得kπ+?≤x≤kπ+?π(k∈Z),当k
=0时,x∈?,即g(x)在?上单调递减,故D错误.综上,选C.思路分析利用偶函数的性质求得φ值,从而确定函数g(x)的解析式,
然后按各选项讨论g(x)的相应性质得答案.解题关键利用偶函数的性质正确求得φ的值是解决本题的关键.5.(2016福建漳州三校联考
,6)设函数f(x)=3sin(ωx+φ)?ω>0,-?<φ(x)的图象过点?B.f(x)图象的一个对称中心是?C.f(x)在?上是减函数D.将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=
3sinωx的图象答案?B?因为函数的最小正周期为π,所以ω=2,又函数的图象关于直线x=?π对称,所以2×?π+φ=kπ+?(
k∈Z),即φ=kπ-?(k∈Z),又-?<φ故A不正确;当x=?时,f(x)=0,所以函数f(x)图象的一个对称中心是?,故B正确;当?≤x≤?,即2x+?∈?时,函数f(
x)不是单调减函数,故C不正确;将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin(ωx+φ-ω|φ|)的图象,故D不正确.
故选B.答案?B?f(x)=?sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin?,则由题意,知f?=2sin?=0,又因为0<θ<
π,所以?<π+θ+?以函数f(x)在?上的最小值为f?=-2sin?=-?,故选B.6.(2017河北石家庄一模,7)若函数f(x)=?sin(2x+
θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于点?对称,则函数f(x)在?上的最小值是?()A.-1????B.-??C.
-??D.-?7.(2017湖北七市(州)3月联考,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)?的部分图象如图所示,若x1,x2∈?
,x1≠x2且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=?()A.1????B.??C.??D.?思路分析先求出f(x
)的解析式,进而得出函数f(x)在?上的图象关于x=?对称,再由f(x1)=f(x2)可得x1+x2=?,代入f(x)的解析式即可
求出f(x1+x2)的值.答案??D由题图知A=1,函数f(x)的最小正周期T=2?=π,所以?=π,即ω=2,所以f(x)=s
in(2x+φ),又因为点?在图象的上升段上,所以-?+φ=2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+?(k∈Z),又|φ|?,故f(x)=sin?,可知在?上,函数f(x)的图象关于x=?对称,因为x1,x2∈?,f(x1)=f(x2),所以x1+x
2=?,所以f(x1+x2)=f?=sin?=?.故选D.方法点拨根据三角函数的图象求y=Asin(ωx+φ)+B的解析式,主要
是求四个数值A,ω,φ和B,其中A和B是由函数图象的最高点和最低点确定的,ω是由函数的周期确定的,φ是由图象的具体位置确定的.答案
?A由f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为4π,得ω=?.因为f(x)≤f?恒成立,所以f(x)max=f?,则?×?+φ=?+2kπ(k∈Z),∴φ=?+2kπ(k∈Z),由|φ|