高考理数(课标专用)§10.4直线与圆锥曲线的位置关系答案????D本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算.设M
(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y=?(x+2),即x=?y-2,由?得y2-6y+8=0.由根与系数的关
系可得y1+y2=6,y1y2=8,∴x1+x2=?(y1+y2)-4=5,x1x2=?=4,∵F(1,0),∴?·?=(x1-1
)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8,故选D.A组??统一命题·课标卷题组考点
直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为?的直线与C交于
M,N两点,则?·?=?()A.5????B.6????C.7????D.8五年高考2.(2017课标Ⅰ,10,5分)已
知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|
AB|+|DE|的最小值为?()A.16????B.14????C.12????D.10答案????A本题考查抛物线的
方程与几何性质以及最值的求解,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力以及数形结合思想的应用.解法一:由抛物线的方程可知焦点F的坐标为
(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),过点F的直线l1的方程为x=my+1(m≠0
),由?得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,所以|y1-y2|=?=4?,所以|AB|=?|y1-y2|
=4(1+m2);同理可得|DE|=4?,因此|AB|+|DE|=4(1+m2)+4?≥16,当且仅当m=±1时,等号成立.所以|
AB|+|DE|的最小值为16,故选A.解法二:由题意知焦点F的坐标为(1,0),直线l1,l2的斜率不存在时,不合题意.设A(x
1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),过F的直线l1的方程为y=k1(x-1),直线l2的方程为y=k
2(x-1),则k1k2=-1,联立直线l1的方程与抛物线方程,得?,消去y,得?x2-2?x-4x+?=0,所以x1+x2=?.
同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=?.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=?+?+4=?+
?+8≥2?+8=16,当且仅当k1=-k2=1或-1时,取得等号.所以|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.解法三:不妨设A
在第一象限,如图所示,设直线AB的倾斜角为θ,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A1,B1,?则|AF|=|AA1|,|BF|=|B
B1|,过点F向AA1引垂线FG,得?=?=cosθ,则|AF|=?,同理,|BF|=?,则|AB|=|AF|+|BF|=?,即
|AB|=?,方法总结利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y2=2px(p>0)中,AB为焦点弦,若AF与抛物线对称轴的
夹角为θ,?则在△FEA中,cosθ=cos∠EAF=?=?,则可得到焦半径|AF|=?,同理,|BF|=?,熟悉这种求抛物线焦
半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:?+?=?等的帮助很大.因l1与l2垂直,故直线DE的倾斜角为θ+?或θ-
?,则|DE|=?,则|AB|+|DE|=?+?=?=?=?,则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A.答案????D易知
直线AB的方程为y=??,与y2=3x联立并消去x得4y2-12?y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=
3?,y1y2=-?.S△OAB=?|OF|·|y1-y2|=?×??=??=?.故选D.3.(2014课标Ⅱ,10,5分,0.2
62)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为?()A.
??B.??C.??D.?一题多解利用抛物线焦点弦的相关结论可得|AB|=|AF|+|BF|=?+?=?=?=12.又点O到直
线AB的距离d=|OF|·sin30°=?p=?,∴S△AOB=?|AB|·d=?×12×?=?,故选D.思路分析根据已知条件
写出直线方程,与抛物线方程联立,消元后利用韦达定理得等量关系,进而求解面积.答案?D易知p=4,直线AB的斜率存在,抛物线方程为
y2=8x,与直线AB的方程y-3=k(x+2)联立,消去x整理得ky2-8y+16k+24=0,由题意知Δ=64-4k(16k+
24)=0,解得k=-2或k=?.因为直线与抛物线相切于第一象限,故舍去k=-2,故k=?,可得B(8,8),又F(2,0),故k
BF=?=?,故选D.B组????自主命题·省(区、市)卷题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2014辽宁,10,5分)已知点
A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为?()
A.??B.??C.??D.?解析本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质
.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有?=?,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由已知可得,|FB|=a,|AB|=?b,由|FB|·|AB|=6?,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为?+?=
1.2.(2018天津,19,14分)设椭圆?+?=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为?,点A的坐标为(
b,0),且|FB|·|AB|=6?.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线
AB交于点Q.若?=?sin∠AOQ(O为原点),求k的值.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组?消去x,可得y2=?.由
5y1=9y2,可得5(k+1)=3?,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=?,或k=?.所以,k的值为?或?.(
2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为
|AQ|=?,而∠OAB=?,故|AQ|=?y2.由?=?sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组?消去x,可得y1=?.解题
关键利用平面几何知识将?=?sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第(2)问的关键.方法归纳求椭圆标准方程的基本方法(
1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①
根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的
应用;④解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程.3.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点
?,焦点F1(-?,0),F2(?,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的
点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为?,求直线l的方程.?
解析本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力
和运算求解能力.解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-?,0),F2(?,0),所以可设椭圆C的方程为?+?=1(a>b>0).
又点?在椭圆C上,所以?解得?因此,椭圆C的方程为?+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直
线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则?+?=3.所以直线l的方程为y=-?(x-x0)+y0,即y=-?x+
?.由?消去y,得(4?+?)x2-24x0x+36-4?=0.()因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)
2-4(4?+?)(36-4?)=48?(?-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=?,y0=1.因此,点P的坐标为(?,1).
②因为三角形OAB的面积为?,所以?AB·OP=?,从而AB=?.设A(x1,y1),B(x2,y2),由()得x1,2=?,所
以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=?·?.因为?+?=3,所以AB2=?=?,即2?-45?+100=0.解得?=?(
?=20舍去),则?=?,因此P的坐标为?.则直线l的方程为y=-?x+3?.解法二:(1)由题意知c=?,所以圆O的方程为x2+
y2=3,因为点?在椭圆上,所以2a=?+?=4,所以a=2.因为a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为?+y2=1.(
2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,设直线l的方程为y=kx+m(k<0,
m>0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线l与圆
O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得?+(kx
+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(
4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-?,则m=3,将k=-?,m=3代入(
k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-2?x+2=0,解得x1=x2=?,将x=?代入x2+y2=3,解得y=1(y
=-1舍去),所以点P的坐标为(?,1).即直线l的方程为y=-?x+3?.②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由
①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-?,将直线l的方程和
椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=?,所以|x1-x2|=?,因为AB=?=|x1-
x2|?=?·?,O到l的距离d=?=?,所以S△OAB=?·?·?·?=?·?·?·?=?,解得k2=5,因为k<0,所以k=-
?,则m=3?,解后反思(1)常用待定系数法求圆锥曲线方程.(2)①直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与
椭圆相切,因此也可设出直线方程求解.②因为△AOB的面积为?,而△AOB的高为?,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式AB=?
=?·?=?·|x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.解析本题主要考查椭圆、抛物线的标准方程和几何性质,直线方程等
基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设F的坐标为(-c,0).依题意
,?=?,?=a,a-c=?,解得a=1,c=?,p=2,于是b2=a2-c2=?.所以,椭圆的方程为x2+?=1,抛物线的方程为
y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P?,故Q?.将x=my+1与x2+
?=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=?.由点B异于点A,可4.(2017天津,19,14分)
设椭圆?+?=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为?.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l
的距离为?.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ
与x轴相交于点D.若△APD的面积为?,求直线AP的方程.方法总结1.利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤:(1)作判断:
根据焦点位置设方程;(2)找等量关系;(3)解方程得结果.得点B?.由Q?,可得直线BQ的方程为?(x+1)-??=0,令y=0,
解得x=?,故D?.所以|AD|=1-?=?.又因为△APD的面积为?,故?×?×?=?,整理得3m2-2?|m|+2=0,解得|
m|=?,所以m=±?.所以,直线AP的方程为3x+?y-3=0或3x-?y-3=0.2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略
:(1)巧设直线方程:当已知直线与x轴交点固定时,常设为x=my+b的形式,这样可避免对斜率是否存在的讨论;(2)注意整体代入思想
的应用,利用根与系数的关系可以简化运算,提高运算的效率和正确率.5.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,
已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C
上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.?解析(1)抛物线C:y
2=2px(p>0)的焦点为?,由点?在直线l:x-y-2=0上,得?-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2
)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于
是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①由?消去x得y2+2py-2pb=0.?()因为P和Q是抛物线C上的相异两
点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程()的两根为y1,2=-p±?,从而y0=
?=-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在
直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以pp的取值范围是?.评析本小题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力及推理论证能力.6.(2015湖
南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:?+?=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2?
.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且?与?同向.(i)若|AC|=|BD|
,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解析(1)由C
1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2?,C
1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为?,所以?+?=1.②联立①,②得a2=9,b
2=8.故C2的方程为?+?=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).?(i)因
?与?同向,且|AC|=|BD|,所以?=?,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x
2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由?得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方
程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由?得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以
x3+x4=-?,x3x4=-?.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=?+?,即16(k2+1)=?,所以(9+8k2)2=16
×9,解得k=±?,即直线l的斜率为±?.(ii)由x2=4y得y''=?,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=?(x-x1),即
y=?-?.令y=0,得x=?,即M?,所以?=?.而?=(x1,y1-1),于是?·?=?-y1+1=?+1>0,因此∠AFM是
锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.C组????教师专用题组考点直线与圆
锥曲线的位置关系1.(2013课标Ⅰ,10,5分,0.589)已知椭圆E:?+?=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的
直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为?()A.?+?=1????B.?+?=1C.?+?=1
????D.?+?=1答案????D解法一:直线AB的斜率k=?=?,设A(x1,y1),B(x2,y2),则?①-②得?=-?
·?.则k=-?×?,∴?=?.③又a2-b2=c2=9,④由③④得a2=18,b2=9.所以椭圆E的方程为?+
?=1,故选D.解法二:由题意可知直线的斜率不为0,所以设直线的方程为x=my+3.由?消去x,得(b2m2+a2)y2+6mb2
y+9b2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-?=-2,()x1+x2=m(y1+y2)+6=
-2m+6=2,∴m=2,则由()得a2=2b2,∴c2=a2-b2=b2=9,∴a2=18,∴椭圆E的方程为?+?=1,故选D
.思路分析根据题意利用点差法或韦达定理法构造出关于a2与b2的方程,结合a2-b2=c2=9可解得a2、b2的值,进而得椭圆E的
方程.方法点拨在解决有关圆锥曲线的弦中点问题时,常采用的方法为点差法和韦达定理法.答案??解析双曲线x2-y2=1的一条渐近
线为直线y=x,显然直线y=x与直线x-y+1=0平行,且两直线之间的距离为?=?.因为点P为双曲线x2-y2=1的右支上一点,所
以点P到直线y=x的距离恒大于0,结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于?,结合已知可得c的最大值为?.2.(2015江
苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,
则实数c的最大值为?.3.(2015天津,19,14分)已知椭圆?+?=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为?,点M
在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=?截得的线段的长为c,|FM|=?.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(
3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于?,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有?=?,又由a2=b2+
c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有?+?=?,解
得k=?.(2)由(1)得椭圆方程为?+?=1,直线FM的方程为y=?(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c
2=0,解得x=-?c或x=c.由点M在第一象限,可得M的坐标为?.由|FM|=?=?,解得c=1,所以椭圆的方程为?+?=1.(
3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=?,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得?消去y,整理得2x2
+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=?>?,解得-?x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=?-?.①当x∈?时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=?,得m∈?.②当x∈(
-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-?,得m∈?.综上,直线OP的斜率的取值范围是?∪?.评析本小题主要
考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.
考查运算求解能力以及用函数与方程思想解决问题的能力.4.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0
)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹
C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即?=|
x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=?(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0
(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组?可得ky2-4y+4(2k+1)=0.?①(i)当k=0时,
此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=?.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点?.(ii)当k≠0时,方程①的判别式
为Δ=-16(2k2+k-1).?②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-?.?③1°
若?由②③解得k<-1或k>?.即当k∈(-∞,-1)∪?时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好
有一个公共点.2°若?或?则由②③解得k∈?或-?≤k<0.即当k∈?时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈?
时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈?∪?时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.3°若?则由②③解得-1?或0ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪?∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈?∪?时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当
k∈?∪?时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.评析本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了数形结合的方法,灵活地利用判别式是求解的
关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线y=0(x<0)就会造成错解而失分.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0
,y0),则?+?=1,?+?=1,?=-1,由此可得?=-?=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,?=?,所以a2=
2b2.又由题意知,M的右焦点为(?,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为?+?=1.5.(2013课标
Ⅱ,20,12分,0.14)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:?+?=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-?=0交M于A,B两点,
P为AB的中点,且OP的斜率为?.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面
积的最大值.由题意可设直线CD的方程为y=x+n?,设C(x3,y3),D(x4,y4).由?得3x2+4nx+2n2-6=0.于
是x3,4=?.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=?|x4-x3|=??.由已知得,四边形ACBD的面积S=?|CD|·|AB
|=??.当n=0时,S取得最大值,最大值为?.所以四边形ACBD面积的最大值为?.(2)由?解得?或?因此|AB|=?.思路分析
(1)采用点差法得出a2与b2的关系,结合a2-b2=c2=3解得a2、b2的值,进而得椭圆M的方程;(2)由题知四边形ACBD
的面积S=?|CD||AB|,分别联立相关直线与椭圆方程可求得|AB|和|CD|,进而利用函数思想求出四边形ACBD面积的最大值.
名师点拨本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了解析几何中的中点问题和最值问题,计算量大,综合性较强.应充分重视方程思想和函数思想
在解题中的作用.答案????D设A(x1,y1),B(x2,y2),则有?①-②得?-?=4(x1-x2),由题可知x1≠x2.
∴?=?=?=2,即kAB=2,∴直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.故选D.A组2016—2018年高考
模拟·基础题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018山东聊城二模,6)已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线
段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为?()A.y=x-1????B.y=-2x+5????C.y=-x+3????
D.y=2x-3三年模拟答案????D由题意知k>0,联立?整理得(1-k2)x2+2kx-5=0,因为直线y=kx-1与双曲线
x2-y2=4的右支有两个交点,则联立所得方程有两个不同的正实数根x1,x2,所以?解得18湖北武汉4月调研,7)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两个交点,则k的取值范围为?()A.??B.?C.?
?D.?答案????D由题意可知,直线OA的方程为y=2x,与抛物线方程y2=2px联立得?得?即A?,则直线AB的方程为y-
p=6?,即y=6x-2p,与抛物线方程y2=2px联立得?得?或?所以B?,所以直线OB的斜率为kOB=?=-3.故选D.3.(
2018湖北武汉2月调研,6)已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A,B两点,若OA,AB的斜率分别为kOA=2,kAB=6
,则OB的斜率为?()A.3????B.2????C.-2????D.-3答案????D不妨设点A在第一象限,B在第四
象限,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my+?.由y2=4x得p=2,因为|BF|=3=x2+?=x2+
1,所以x2=2,则?=4x2=4×2=8,所以y2=-2?,由?得y2-4my-4?=0,由根与系数的关系,得y1y2=-4?,
所以y1=?,由?=4x1,得x1=?.过点A作AA''垂直于准线x=-1,垂足为A'',过点B作BB''垂直于准线x=-1,垂足为B''
,易知△CBB''∽△CAA'',所以?=?=?.又|BB''|=|BF|=3,|AA''|=x1+?=?+1=?,所以?=?=?.故选D
.4.(2018河南郑州一模,10)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(?,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相
交于C点,|BF|=3,则△BCF与△ACF的面积之比?=?()A.??B.??C.??D.?5.(2018湖南益阳、湘潭调
研,10)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4
,则线段AB的长为?()?A.5????B.6????C.??D.?解法三:因为?+?=?,|AF|=4,所以|BF|=
?,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+?=?.故选C.答案????C如图,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l交l于点D,由
抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程
为y2=4x.解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+?=x1+1=4,所以x1=3,可得y1=2?,所以
A(3,2?),又F(1,0),所以直线AF的斜率k=?=?,所以直线AF的方程为y=?(x-1),代入抛物线方程y2=4x得3x
2-10x+3=0,所以x1+x2=?,|AB|=x1+x2+p=?.故选C.?解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|
AF|=x1+?=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2=?=1,所以x2=?,所以|AB|=x1+x2+p=?.故选C.答案??
??A由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有a?+b?=0①,
a?+b?=0②,由①-②得a(?-?)=-b(?-?),整理得?·?=-?,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM=?=?=?
=-?,又知kAB=-1,∴-?×(-1)=-?,∴?=-?,故选A.6.(2016江西五市八校二模,10)已知直线y=1-x与双
曲线ax2+by2=1(a>0,b<0)的渐近线交于A、B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-?,则?的值为?()A.
-??B.-??C.-??D.-?答案?±?解析抛物线C的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0),∴设直线l的方程为y=
k(x-1),由?消去x得?y2-y-k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则?①∵|AF|=4|BF|,∴y1+4y2=
0,可得y1=-4y2,代入①得-3y2=?,且-4?=-4,∴?=1,即y2=±1,∴k=±?.7.(2017福建龙岩二模,14
)过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B,若|AF|=4|BF|,则直线l的斜率是?.8.(2017福建四地六校
4月模拟,15)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F与抛物线C交于A,B两点,且|AB|=6,若AB的垂直平分线交x轴
于P点,则P点的坐标为?.解析由抛物线y2=4x,得p=2,易知直线l的斜率存在,设经过点F的直线l:y=k(x-1),A(x1
,y1),B(x2,y2),将y=k(x-1)代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1+x2=2+?,利用抛
物线定义得,x1+x2=|AB|-p=6-2=4,即2+?=4,∴k=±?,∵AB中点坐标为(2,k),∴AB的垂直平分线方程为y
-k=-?·(x-2),令y=0,得x=4,即P点的坐标为(4,0).答案(4,0)9.(2018河北衡水中学4月调研,20)已
知椭圆?+?=1(a>b>0)经过点(0,?),离心率为?,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:y=-?x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足?=?,求直线l的方程.?由?=
?得?=1,解得m=±?,满足().∴直线l的方程为y=-?x+?或y=-?x-?.解析(1)由题设知?解得a=2,b=?,c
=1,∴椭圆的方程为?+?=1.(2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,∴圆心到直线l的距离d=?,由d<1
得|m|的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.∴|AB|=?=??.B组??2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:40分钟
分值:60分)一、选择题(每题5分,共20分)答案????B由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得?∴(b2+a
2)y2+2b2cy-b4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则?又?=2?,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2)
,∴-y1=2y2,可得?∴?=?,∴e=?,故选B.1.(2018河北石家庄二模,11)倾斜角为?的直线经过椭圆?+?=1(a>
b>0)的右焦点F,与椭圆交于A、B两点,且?=2?,则该椭圆的离心率为?()A.??B.??C.??D.?2.(2018河
南郑州二模,11)如图,已知抛物线C1的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(2,4),圆C2:x2+y2-4x+3=0,过圆心C
2的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则|PN|+4|QM|的最小值为?()?A.23????B.42????C.
12????D.52答案????A由题意可设抛物线C1的方程为y2=2px(p>0),因为抛物线C1过点(2,4),所以16=
2p×2,得p=4,所以y2=8x.圆C2:x2+y2-4x+3=0,整理得(x-2)2+y2=1,可得圆心C2(2,0)恰好是抛
物线y2=8x的焦点,设P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线l的斜率不存在时,l:x=2,所以P(2,4),Q(2,-4),
所以|PN|+4|QM|=|PC2|+|C2N|+4|QC2|+4|C2M|=|PC2|+4|QC2|+5=4+4×4+5=25.
当直线l的斜率存在且不为零时,可设l的方程为y=k(x-2),联立?可得k2(x-2)2=8x,整理得k2x2-(4k2+8)x+
4k2=0,Δ>0,则x1x2=4,故x2=?,所以|PN|+4|QM|=|PC2|+4|QC2|+5=x1+?+4x2+4×?+
5=x1+4x2+15=x1+?+15≥2?+15=8+15=23?当且仅当x1=?,即x1=4时取“=”?.因为23<25,所以
|PN|+4|QM|的最小值为23.故选A.一题多解由抛物线过定点(2,4),得抛物线方程为y2=8x,焦点为F(2,0).因为
圆的标准方程为(x-2)2+y2=1,所以圆心为(2,0),半径r=1.由于直线过焦点,所以有?+?=?=?,又|PN|+4|QM
|=(|PF|+1)+(4|QF|+4)=|PF|+4|QF|+5=2(|PF|+4|QF|)?+5=2?5+?+??+5≥23,
当且仅当|PF|=2|QF|时,等号成立,故选A.思路分析首先求出抛物线C1的方程,从而可得圆C2的圆心与C1的焦点重合,设出直
线方程与抛物线方程,联立得出交点横坐标之间的关系,从而将|PN|+4|QM|表示成点P横坐标的函数,最后利用基本不等式求其最小值,
注意对直线斜率不存在情况的讨论.3.(2017山西太原一模,10)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A、B两
点,O为坐标原点,若△AOB的面积为?,则|AB|=?()A.6????B.8????C.12????D.16答案???
?A解法一:由题意知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),易知当直线AB垂直于x轴时,△AOB的面积为2,不满足题意,所以
可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0,设A(x1,y1),B(x2,y
2),所以y1+y2=?,y1y2=-4,所以|y1-y2|=?,所以△AOB的面积为?×1×?=?,解得k=±?,所以|AB|=
?|y1-y2|=6,故选A.解法二:设过焦点F的直线AB的倾斜角为θ,不妨设A点在x轴上方,由抛物线焦点弦的性质可知|AF|=?
,|BF|=?,∴|AB|=|AF|+|BF|=?,如图,过O作OM⊥AB,在Rt△OMF中,OM=1·sinθ=sinθ,∴
S△AOB=?·|AB|·|OM|=?·?·sinθ=?,由题知S△AOB=?,即?=?,∴sinθ=?.∴|AB|=?=?=
6,故选A.答案????C设A(x1,y1),B(x2,y2),因为?=3?,所以y1=-3y2,设直线l的方程为x=my+1,
由?消去x得y2-4my-4=0,∴y1y2=-4,∴?∴y1+y2=4m=?,∴m=?,∴x1+x2=?,AB的中点坐标为?,过
AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-?=-??,令y=0,可得x=?,所以S△ABG=?×?×?=?.4.(2017河北百校联盟
2月联考,11)已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),?=3?,过AB的中点且垂直
于l的直线与x轴交于点G,则三角形ABG的面积为?()A.??B.??C.??D.?思路分析设A(x1,y1),B(x2,
y2).由?=3?得y1=-3y2.设出直线l的方程,与抛物线方程联立,进而得出y1、y2的值,从而求出AB的中点坐标,然后写出过
AB中点且垂直于直线l的直线的方程,求出其与x轴的交点G的横坐标,利用三角形面积公式求得结果.举一反三直线与圆锥曲线的位置关系问
题常转化为方程组问题,最终转化为一元二次方程问题,进而用根与系数的关系及判别式求解,该方法是解决圆锥曲线问题的重要方法之一,尤其是
弦中点、弦长问题.二、填空题(每题5分,共15分)5.(2018湖南六校4月联考,15)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点P(
-1,0)作直线l与抛物线C交于A、B两点.若S△ABF=?,且|AF|<|BF|,则?=?.解析设直线l的方程为x=my-1,
将直线方程代入抛物线C:y2=4x的方程得y2-4my+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则0m,y1·y2=4,又S△ABF=?,所以S△BPF-S△APF=|y2-y1|=?,因此?+?=10,所以?=?=?,从而?=?
,又由抛物线的定义与相似三角形可知?=?=?,∴?=?=?.思路分析由题意设出直线l的方程,与抛物线方程联立,得出y1+y2与y
1y2,利用S△ABF=?得?+?=10,结合y1y2=4求得?的值,进而利用相似关系求得?.答案??6.(2018河南洛阳二模
,16)已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2(a>0)交于P,Q两点,过线段PQ的中点作x轴的垂线,交抛物线于点A,若|?+?|
=|?-?|,则a=?.解析由?得ax2-2x-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=?,x1x2=-?,
设PQ的中点为M,则xM=xA=?,yA=a?=?,由|?+?|=|?-?|可得?·?=0,即AP⊥AQ,又M是线段PQ的中点,∴
2|AM|=|PQ|,由于MA⊥x轴,∴|MA|=?=?+2,又|PQ|=?|x1-x2|=?·?=?·?,∴4?=5?,解得a=
2,此时满足Δ>0成立.故a=2.思路分析将直线方程与抛物线方程联立消y得x的一元二次方程,由|?+?|=|?-?|得AP⊥AQ
,从而利用根与系数的关系及|PQ|=2|AM|列出关于a的方程,解方程求得a值.解题关键根据|?+?|=|?-?|得AP⊥AQ,
从而得出|PQ|=2|AM|是求解本题的关键.答案2答案???解析由题意可设直线AB的方程为y=-x+b,代入y=2x2得2
x2+x-b=0,∴x1+x2=-?,x1x2=?=-?,∴b=1,即直线AB的方程为y=-x+1.设AB的中点为M(x0,y0)
,则x0=?=-?,代入y0=-x0+1,得y0=?,则M?,又M?在直线y=x+m上,∴?=-?+m.∴m=?.7.(2016湖
南四地3月联考,14)若抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-?,则实数m
的值为?.思路分析设出直线AB的方程,代入抛物线方程,利用x1x2=-?确定直线AB方程中的参数,进而得出直线AB的具体方程,再
利用对称知识求解.方法总结在解决点关于直线对称问题时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直,二是两对称点的中点在对称轴
上,即抓住“垂直”与“平分”,由此可列方程(组)求解.三、解答题(共25分)8.(2018湖北武汉4月调研,19)已知椭圆Γ:?+
?=1,过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2,设l1与椭圆Γ交于A、B两点,l2与椭圆Γ交于C,D两点.(1)若P
(1,1)为线段AB的中点,求直线AB的方程;(2)若直线l1与l2的斜率都存在,记λ=?,求λ的取值范围.解析(1)解法一(点
差法):由题意可知直线AB的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),则?两式作差得?=-?·?=-?·?=-?,∴直线AB
的方程为y-1=-?(x-1),即x+2y-3=0.解法二:由题意可知直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,则其方程为y-1=
k(x-1),代入x2+2y2=4中,得x2+2[kx-(k-1)]2-4=0.∴(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2(k-1
)2-4=0.Δ=[-4(k-1)k]2-4(2k2+1)[2(k-1)2-4]=8(3k2+2k+1)>0.设A(x1,y1),
B(x2,y2),则?∵AB中点为(1,1),∴?(x1+x2)=?=1,则k=-?.∴直线AB的方程为y-1=-?(x-1),即x+2y-3=0.(2)由(1)可知|AB|=?|x1-x2|=?·?=?.设直线CD的方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).同理可得|CD|=?.∴λ=?=?(k≠0),λ>0.∴λ2=1+?=1+?.思路分析(1)解法一:利用点差法得直线AB的斜率,进而得直线AB的方程.解法二:设出直线AB的方程,与椭圆方程联立并消元,利用根与系数的关系及AB中点的坐标建立斜率k的方程,从而求得k,得直线AB方程.(2)利用弦长公式求得|AB|与|CD|,进而将λ=?表示成关于k的函数,结合函数特征及函数性质求得λ的取值范围.令t=3k+?,则t∈(-∞,-2?]∪[2?,+∞),令g(t)=1+?,t∈(-∞,-2?]∪[2?,+∞),∵g(t)在(-∞,-2?],[2?,+∞)上单调递减,∴2-?≤g(t)<1或10得-?b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P是E上一点,PF1⊥PF2,△PF1F2内切圆的半径为?-1.(1)求E的方程;(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2上,A、B在椭圆E上,若矩形ABCD的周长为?,求直线AB的方程.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-?,x1x2=?.?(6分)|AB|=?|x2-x1|=?.?(7分)易知|BC|=?,则由-?
|
|
