2020届高三好教育精准培优专练培优点十五平行垂直关系的证明一、直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定例1:如图,已知四边形为矩形,平 面,下列结论中正确的是________.(把正确结论的序号都填上)①;②平面;③;④平面.二、直线与平面垂直的判断,二面角例2:如 图,在四棱锥中,平面,四边形为正方形,,、分别是、中点.(1)证明:;(2)求平面与平面所成锐二面角的值.对点增分集训一、选择题1 .如图,在三棱锥中,,,,分别是,,,的中点,与交于点,与交于点,连接,则与的关系是()A.平行B.垂直C.异面D.平行或垂直2 .如图,在正方体中,、分别是、的中点,则下列说法错误的是()A.B.平面C.D.平面3.如图,三棱柱中,侧棱底面,底面三角形是正 三角形,是中点,则下列叙述正确的是()A.与是异面直线B.平面C.D.平面4.在三棱锥中,已知,,点,分别为棱,的中点,则下列结 论正确的是()A.直线直线B.直线直线C.直线直线D.直线直线5.如图,为圆的直径,,垂直于圆所在的平面,为圆周上不与点、重合的 点,于,于,则下列不正确的是()A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面6.如图所示,为矩形所在平面外一点,矩形对角线 交点为,为的中点,给出下列五个结论:①;②平面;③平面;④平面;⑤平面.其中正确结论的个数为()A.B.C.D.7.在正方体中, 点是四边形的中心,关于直线,下列说法正确的是()A.B.C.平面D.平面8.如图,四棱柱中,,分别是,的中点.下列结论中,正确的 是()A.B.平面C.D.平面二、填空题9.如图所示,在几何体中,四边形是平行四边形,分别是的中点,则___________平面 .10.如图,在正方体中,有以下结论:①平面;②平面;③;④异面直线与所成的角为.则其中正确结论的序号是____(写出所有正确结论 的序号).三、解答题11.如图,在四棱锥中,平面平面,四边形为矩形,,点,分别是,的中点.求证:(1)直线平面;(2)平面平面.1 2.如图,在四棱锥中,平面,,,,.为线段上的点(点与点不重合).(1)证明:面;(2)若是的中点,求与平面所成的角的正弦值;(3 )若满足面,求二面角正弦值.培优点十五平行垂直关系的证明答案例1:【答案】①③④【解析】对于①,因为,,,所以平面,所以,则① 正确;对于②,,当时,平面,但与不一定垂直,故②不正确;对于③,因为,,,所以平面,所以,则③正确;对于④,因为,平面,平面,所以 平面,则④正确.故填①③④.例2:【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)∵平面,∴,又,,为平面上相交直线,∴平面,∴, 而等腰三角形中有,∴平面,而平面,∴.(2)易知,,两两垂直,故分别以其所在直线为坐标轴建系,则,,,,,求得平面的一个法向量,平 面的一个法向量,∴,∴平面与平面所成锐二面角为.一、选择题1.【答案】A【解析】因为,,,分别是,,,的中点,所以,,所以,又因为 平面,平面,所以平面,又因为平面,平面平面,所以,又因为,所以,故选A.2.【答案】C【解析】∵在正方体中,、分别是、的中点,∴以 为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设正方体中,棱长为,则,,,,,,,,∴,∴,故A正确;,,,∴,又,,∴平面,故B 成立;∵,,∴和不平行,故C错误;平面的法向量,,又平面,∴平面,故D正确.故选C.3.【答案】C【解析】对于A,与均在侧面内,又 两直线不平行,故相交,A错误;对于B,与平面所成的角为,所以不垂直于平面,故B错误;对于C,,,所以,故C正确;对于D,与平面有公 共点,,所以与平面相交,故D错误.故选C.4.【答案】D【解析】由题意,如图所示,因为,,∴,得,取中点,连接,,则,,又∵,∴平 面,则,∵,分别为棱,的中点,∴,则.故选D.5.【答案】B【解析】平面,可得平面平面,平面,,由为圆的直径,得,,平面,,,得到 平面,平面平面,平面平面,所以选项ACD正确;对于选项B,与一定不会平行,所以选项B一定不成立.6.【答案】C【解析】矩形的对角线 与交于点,所以为的中点.在中,是的中点,所以,所以平面,且平面.因为,所以与平面、平面相交.所以①②③正确.7.【答案】C【解析】 选项A,连接,则,因为与相交,所以A错;选项B,取中点,连接、,则,在中,,所以与不垂直,所以与不垂直,所以B错;选项C,设,连接 ,则且,所以四边形是平行四边形,所以,又因为平面,平面,所以平面,C正确;选项D,连接,垂直于,垂直于,进而得到垂直于面,故垂直于 ,同理可证,垂直于,进而得到平面,所以与平面不垂直,D错.8.【答案】B【解析】如图所示,取的中点,连接,,延长交于,延长交于,∵ ,分别是,的中点,∴是的中点,是的中点,从而可得是的中点,是的中点,∴.又平面,平面,∴平面.其余结论明显错误.本题选择B选项.二 、填空题9.【答案】平行【解析】取的中点,连接,又是的中点,所以,且.又是的中点,所以.由四边形是平行四边形,得,,所以,且,从而 四边形是平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.故答案为:平行.10.【答案】①③【解析】①:∵,平面,平面,∴平面,故本结论是 正确的;②:在正方形中,,显然、不垂直,而,所以、不互相垂直,要是平面,则必有、互相垂直,显然是不可能的,故本结论是错误的;③:∵ 平面,平面,∴,在正方形中,,、平面,,所以平面,而平面,故,因此本结论是正确的;④:因为,所以异面直线与所成的角为,在正方形中 ,,故本结论是错误的,因此正确结论的序号是①③.三、解答题11.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)取中点, 连接,.在中,,分别为,中点,则且,又四边形为矩形,为中点,且,所以且,故四边形为平行四边形,从而,又面,面,所以直线面.(2)因 为矩形,所以,又平面面,面面,面,所以面,又面,则,又,,所以面,又面,所以平面平面.12.【答案】(1)证明见解析;(2);(3 ).【解析】(1)取中点,因为,,所以,,∴.因为平面,平面,所以,因为平面,平面,,所以面.(2)以为坐标原点,,,平行于的直线 为,,轴,建立如图所示空间直角坐标系,则因为,,所以,,因为,所以,因此,,,,,从而为平面一个法向量,,,,因此与平面所成的角的正弦值为.(3)同(2)建立空间直角坐标系,设,因为面,所以,∴,,,.因为为平面一个法向量,设为平面的法向量,则由,得,所以,因此二面角正弦值为.精准培优专练好教育云平台——教育因你我而变12 |
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