2020届高三好教育精准培优专练培优点十五平行垂直关系的证明一、直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定例1：如图，已知四边形为矩形，平
面，下列结论中正确的是________．(把正确结论的序号都填上)①；②平面；③；④平面．二、直线与平面垂直的判断，二面角例2：如
图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，、分别是、中点．（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的值．对点增分集训一、选择题1
．如图，在三棱锥中，，，，分别是，，，的中点，与交于点，与交于点，连接，则与的关系是（）A．平行B．垂直C．异面D．平行或垂直2
．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则下列说法错误的是（）A．B．平面C．D．平面3．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正
三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A．与是异面直线B．平面C．D．平面4．在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结
论正确的是（）A．直线直线B．直线直线C．直线直线D．直线直线5．如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的
点，于，于，则下列不正确的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面6．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线
交点为，为的中点，给出下列五个结论：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面．其中正确结论的个数为（）A．B．C．D．7．在正方体中，
点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（）A．B．C．平面D．平面8．如图，四棱柱中，，分别是，的中点．下列结论中，正确的
是（）A．B．平面C．D．平面二、填空题9．如图所示，在几何体中，四边形是平行四边形，分别是的中点，则___________平面
．10．如图，在正方体中，有以下结论：①平面；②平面；③；④异面直线与所成的角为．则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论
的序号）．三、解答题11．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，点，分别是，的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．1
2．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为线段上的点（点与点不重合）．（1）证明：面；（2）若是的中点，求与平面所成的角的正弦值；（3
）若满足面，求二面角正弦值．培优点十五平行垂直关系的证明答案例1：【答案】①③④【解析】对于①，因为，，，所以平面，所以，则①
正确；对于②，，当时，平面，但与不一定垂直，故②不正确；对于③，因为，，，所以平面，所以，则③正确；对于④，因为，平面，平面，所以
平面，则④正确．故填①③④．例2：【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）∵平面，∴，又，，为平面上相交直线，∴平面，∴，
而等腰三角形中有，∴平面，而平面，∴．（2）易知，，两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系，则，，，，，求得平面的一个法向量，平
面的一个法向量，∴，∴平面与平面所成锐二面角为．一、选择题1．【答案】A【解析】因为，，，分别是，，，的中点，所以，，所以，又因为
平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，又因为，所以，故选A．2．【答案】C【解析】∵在正方体中，、分别是、的中点，∴以
为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中，棱长为，则，，，，，，，，∴，∴，故A正确；，，，∴，又，，∴平面，故B
成立；∵，，∴和不平行，故C错误；平面的法向量，，又平面，∴平面，故D正确．故选C．3．【答案】C【解析】对于A，与均在侧面内，又
两直线不平行，故相交，A错误；对于B，与平面所成的角为，所以不垂直于平面，故B错误；对于C，，，所以，故C正确；对于D，与平面有公
共点，，所以与平面相交，故D错误．故选C．4．【答案】D【解析】由题意，如图所示，因为，，∴，得，取中点，连接，，则，，又∵，∴平
面，则，∵，分别为棱，的中点，∴，则．故选D．5．【答案】B【解析】平面，可得平面平面，平面，，由为圆的直径，得，，平面，，，得到
平面，平面平面，平面平面，所以选项ACD正确；对于选项B，与一定不会平行，所以选项B一定不成立．6．【答案】C【解析】矩形的对角线
与交于点，所以为的中点．在中，是的中点，所以，所以平面，且平面．因为，所以与平面、平面相交．所以①②③正确．7．【答案】C【解析】
选项A，连接，则，因为与相交，所以A错；选项B，取中点，连接、，则，在中，，所以与不垂直，所以与不垂直，所以B错；选项C，设，连接
，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，C正确；选项D，连接，垂直于，垂直于，进而得到垂直于面，故垂直于
，同理可证，垂直于，进而得到平面，所以与平面不垂直，D错．8．【答案】B【解析】如图所示，取的中点，连接，，延长交于，延长交于，∵
，分别是，的中点，∴是的中点，是的中点，从而可得是的中点，是的中点，∴．又平面，平面，∴平面．其余结论明显错误．本题选择B选项．二
、填空题9．【答案】平行【解析】取的中点，连接，又是的中点，所以，且．又是的中点，所以．由四边形是平行四边形，得，，所以，且，从而
四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．故答案为：平行．10．【答案】①③【解析】①：∵，平面，平面，∴平面，故本结论是
正确的；②：在正方形中，，显然、不垂直，而，所以、不互相垂直，要是平面，则必有、互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：∵
平面，平面，∴，在正方形中，，、平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中
，，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③．三、解答题11．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）取中点，
连接，．在中，，分别为，中点，则且，又四边形为矩形，为中点，且，所以且，故四边形为平行四边形，从而，又面，面，所以直线面．（2）因
为矩形，所以，又平面面，面面，面，所以面，又面，则，又，，所以面，又面，所以平面平面．12．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3
）．【解析】（1）取中点，因为，，所以，，∴．因为平面，平面，所以，因为平面，平面，，所以面．（2）以为坐标原点，，，平行于的直线
为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则因为，，所以，，因为，所以，因此，，，，，从而为平面一个法向量，，，，因此与平面所成的角的正弦值为．（3）同（2）建立空间直角坐标系，设，因为面，所以，∴，，，．因为为平面一个法向量，设为平面的法向量，则由，得，所以，因此二面角正弦值为．精准培优专练好教育云平台——教育因你我而变12 |
|
