高考真题-理科数学-2014
假设n?k时结论成立，即0?a?1
k
易知f(x)在(??,1]上为减函数，从而
0?f(1)?f(a)?f(0)?2?1?1
k
即0?a?1，这就是说，当n?k?1时结论成立，故①成立。
k?1
再证：a?a(n?N)②
2n2n?1
当n?1时，a?f(1)?0，a?f(a)?f(0)?2?1，有a?a，即n?1时②成立。
23223
假设n?k时，结论成立，即a?a
2k2k?1
由①及f(x)在(??,1]上为减函数，得
a?f(a)?f(a)?a，
2k?12k2k?12k?2
a?f(a)?f(a)?a，
2(k?1)2k?12k?22(k?1)?1
这就是说，当n?k?1时②成立，所以②对一切n?N成立
2
由②得，
a?a?2a?2?1
2n2n2n
22
即(a?1)?a?2a?2，
2n2n2n
1
因此a?③
2n
4
又由①、②及f(x)在(??,1]上为减函数得f(a)?f(a)，
2n2n?1
即a?a
2n?12n?2
1
2
所以，解得a?④
a?a?2a?2?1
2n?12n?12n?12n?1
4
1
综上，由②③④知存在c?使a?c?a对一切(n?N)成立
2n2n?1
4
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