专题16解析几何大题部分
【训练目标】
理解斜率、倾斜角的概念，会利用多种方法计算斜率，掌握斜率与倾斜角之间的变化关系；
掌握直线方程的5种形式，熟练两直线的位置关系的充要条件，并且能够熟练使用点到直线的距离，两点间的距离，两平行间的距离公式；
识记圆的标准方程和一般方程，掌握两个方程的求法；
掌握直线与圆的位置关系的判断，圆与圆的位置关系判断；
掌握圆的切线求法，弦长求法，切线长的求法。
掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义及简单几何性质；
掌握椭圆，双曲线的离心率求法；
掌握直线与圆锥曲线的位置关系；
掌握圆锥曲线中的定值问题，定点问题，最值与范围问题求法；
【温馨小提示】
本专题在高考中属于压轴题，文科相对简单，只需掌握常见的方法，有一定的计算能力即可；对于理科生来讲，思维难度加大，计算量加大，因此在复习时应该多总结，对于常见的一些小结论加以识记，并采用一些诸如特殊值法，特殊点法加以验证求解。
【名校试题荟萃】
1、已知圆和圆.
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
设平面上的点满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标。
（2）或
【解析】
（1）设直线的方程为：，即
由垂径定理，得：圆心到直线的距离，
点到直线距离公式，得：
求直线的方程为：或，即或；
故有：，
化简得：
关于的方程有无穷多解，有：,或
解之得：点P坐标为或。
2、已知椭圆与抛物线共交点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（2）过抛物线上的点做抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．
【答案】
（1），
（2）
（2），，由，消去，得，
由题意知，得，
由，消去，得，
其中，化简得，
又，得，解得．
设，，则．
由，得．∴的取值范围是．
3、已知椭圆：的离心率，点，点分别为椭圆的上顶点和左焦点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过定点的直线与椭圆交于两点（在之间）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围？如果不存在，请说明理由．
【答案】
（1）（2）
（Ⅱ）设直线的方程为，
设，则，
，
，
由于菱形对角线垂直，则，
解得，
即，，（当且仅当时，等号成立）.
所以存在满足条件的实数，的取值范围为.
4、已知椭圆．
（1）若椭圆的离心率为，求的值；
（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）（2）（-1，0）
5、在平面直角坐标系中，椭圆：的短轴长为，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．
【答案】
（1）（2）
【解析】
（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，
所以解得，所以椭圆的方程为．
在直角中，由，得，
所以，解得，所以点的坐标为．
6、已知点F是椭圆＋y2＝1（a>0）M（m0）N（0n）x轴，y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2＋（O）
（）P的轨迹C的方程；
（）F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线x＝－a分别交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由．
【答案】
（1）y2＝4ax（2）经过
【解析】
（）＋y2＝1（a>0）F的坐标为（a0）＝（an）＝（m，n）
∴由·＝0，得n2＋am＝0.
设点P的坐标为（xy）＝2＋，有（m0）2（0n）（x，－y）
代入n2＋am＝0，得y2＝4ax.即点P的轨迹C的方程为y2＝4ax.
解法二：①当AB⊥x时，A（a2a）B（a2a）lOA：y＝2x，lOB：y＝－2x.
由得点S的坐标为S（a，－2a）＝（2a，－2a）
由得点T的坐标为T（a，2a）＝（2a，2a）
∴·＝（2a）（2a）（2a）2a＝0.
②当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y＝k（xa）（k0）A，B，
同解法一，得·＝4a2＋.
由得ky2－4ay－4ka2＝0，∴y1y2＝－4a2.
则·＝4a2＋＝4a2－4a2＝0.
因此，以线段ST为直径的圆经过点F.
7、如图，已知抛物线C：y2＝x和⊙M：（x4）2y2＝1，过抛物线C上一点H（x0y0）（y01）M分别相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点．
（1）AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（2）AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．
【答案】
（1）－（2）-11
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（42）
∴∠AHB＝60°，可得kHA＝，kHB＝－，∴直线HA的方程为y＝x－4＋2，
联立方程组得y2－y－4＋2＝0，
∵yE＋2＝，∴yE＝，xE＝.
同理可得yF＝，xF＝，∴kEF＝－.
（2）
设点H（m2m）（m1）HM2＝m4－7m2＋16，HA2＝m4－7m2＋15.
以H为圆心，HA为半径的圆方程为：（xm2）2（ym）2m4－7m2＋15，①
⊙M方程：（x4）2y2＝1.②
①－②得：直线AB的方程为（2xm2－4）（4m2）（2ym）mm4－7m2＋14.
当x＝0时，直线AB在y轴上的截距t＝4m－（m1）
∵t关于m的函数在[1，＋∞）tmin＝－11.
法二：设A（x1y1）B（x2y2）kMA＝，∴kHA＝，
可得，直线HA的方程为（4x1）xy1y＋4x1－15＝0，
同理，直线HB的方程为（4x2）xy2y＋4x2－15＝0，
∴（4x1）yy1y0＋4x1－15＝0，（4x2）yy2y0＋4x2－15＝0，
∴直线AB的方程为（4y）xy0y＋4y－15＝0，
令x＝0，可得t＝4y0－（y01）
∵t关于y0的函数在[1，＋∞）tmin＝－11.
8、已知椭圆的一个焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线平行于直线（坐标原点），且与椭圆交于，两个不同的点，若为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围．
【答案】
（1）（2）
（2）由直线平行于得直线的斜率为，又在轴上的截距，
故的方程为．
由得，又线与椭圆交于，两个不同的点，
设，，则，．
所以，于是．
为钝角等价于，且，则，
即，又，所以的取值范围为．
9、椭圆:（）的离心率为,其左焦点到点的距离为不过原点的直线与椭圆相交于两点,且线段被直线平分.（1）求椭圆的方程（2）求的面积取最大时直线的方程.
（2）
（2）易得直线的方程,设,,,其中
在椭圆上,,,相减得,即
,
故,
,其中且.
令,,
令得,（因和不满足且,舍去）
当时,,当时,,所以,当时,直线的方程.
10、已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．（1）求抛物线的方程；（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且．求直线与抛物线的交点个数，并说明理由．（2）1个
【解析】
（1）抛物线的准线方程为，
所以点到焦点的距离为．解得．
所以抛物线的方程为．
故直线的斜率 ．
故直线的方程为，即．①又抛物线的方程，②
联立消去得 ，故，且．
故直线与抛物线只有一个交点．
已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．
（1）求圆的方程；
（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．
（x﹣4）2（y﹣3）2=16
【解析】
（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，
即y=x﹣1．
由题意可得，圆心在直线y=3上，
联立，解得圆心坐标为（4，3），
故圆C1的半径为4．
则圆C1的方程为（x﹣4）2（y﹣3）2=16；
12、已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线与圆C相切.求圆C的方程;过点Q（0,-3）的直线与圆C交于不同的两点A、B当时,求△AOB的面积.
（2）
【解析】
（1）设圆心为,
因为圆C与相切,
所以,
解得（舍去）,
所以圆C的方程为
设,则,???①,
将①代入并整理得,
解得k=1或k=-5（舍去）,
所以直线l的方程为??
圆心C到l的距离,
13、已知是椭圆C：上两点，点的坐标为.
当两点关于轴对称，且为等边三角形时，求的长；
当两点不关于轴对称时，证明：不可能为等边三角形.
（2）见解析
⑵根据题意可知，直线AB斜率存在.
设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为N（x0，y0），联立
，消去y得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-9=0，
由△＞0得2m2-9k2-6＜0，①所以x1+x2=-,y1+y2=k（x1+x2）+2m=,所以N（-，），又M（1，0），
假设△MAB为等边三角形，则有MN⊥AB，所以kMN×k=-1，即×k=-1，
化简得3k2+2+km=0，②由②得m=-，代入①得2-3（3k2+2）＜0，化简得3k2+4＜0，矛盾，所以原假设不成立，故△MAB不可能为等边三角形.已知圆，点为圆上的一个动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹曲线的方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.
（2）
（2）当直线的斜率不存在时，因以为直径的圆过坐标原点，故可设直线为，联立解得同理求得所以；
当直线的斜率存在时，设其方程为，设
联立，可得
由求根公式得（）
∵以为直径的圆过坐标原点，即
即化简可得，
将（）代入可得，即即，
又将代入，可得
∴当且仅当，即时等号成立．又由，，；
综上，得．经过点A（0，-1），且离心率为。
（1）求椭圆E的方程；
（2）若经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的亮点P,Q（均异于点A），
证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值。
【答案】（1）（2）见解析
由已知，设则
从而直线的斜率之和为
16、如图，抛物线的焦点为，准线与x轴的交点为A，点C在抛物线E上，以C为圆心，为半径作圆，设圆C与准线交于不同的两点M，N.
（1）若点C的纵坐标为2，求；
（2）若，求圆C的半径.
【答案】（1）2（2）
由x=-1，得.设，则
由，得，所以，解得，此时.
所以圆心C的坐标为或，从而，，即圆C的半径为.
17、已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．
（1）求和的标准方程；
（2）过点的直线与交于，与交于，求证：．
【答案】（1）（2）见解析
所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．
所以．
所以，即．
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