???C5-001?在一张小方格达长都是1的方格纸上放有一个凸32边形，若它的顶点都在方格的结点上．问它的最小周长是多少？
【题说】?第九届（1975年）全苏数学奥林匹克八年级题3．
【解】?设凸32边形的顶点分别为A1，A2，…，A32，则有
于是问题可以归结为；求出满足以下条件的32个向量：
（a）每个向量的起点和终点位于方格纸的结点上；
（b）任意两个向量有不同的方向；
（c）所有向量的和等于；
（d）当满足（a）—（c）时，所有向量的长度之和最小．
为此，从一点出发引出所有的向量，如图所示．在这32个向量中4
足条件（a）—（d），故所求的最小周长为
?
边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点和八线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中点，是一个正十二边形的十二个顶点．
【题说】?第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题1．本题由荷兰提供．
【证】?如图，以已知正方形的中心O为原点，以正方形边长之半为长度单位建立直角坐标系．则正方形四个顶点的坐标分别为：
A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）
因为所作的四个等边三角形分别对称于x轴或y轴，所以K、L、M、N四点在X轴和y轴上，它们的坐标分别为
CL、NK、CM的中点分别为
利用距离公式可得
所以?????????????????????????????????????????|OP1|=|OP2|=|OP3|
且????????????????????????????????????????????|P1P2|=|P2P3|
又由对称性可知，这十二条线段的中点，即图中的点P1、P2、P3、…、P11、P12，与O点的距离都相等，即它们都在以O为圆心，
【别证】?充分利用对称性，我们只需证明
P2P3=P3P4，∠P2P3P4=150°
因△P2QN、△QP4N都是直角三角形．且∠QNP4=∠P3P4N=60°，故P3为QN的中点，P3P4=P3Q=P2P3，再由∠P2NP3=15°得
∠P2P3P4=∠P2P3Q+∠QP3P4
=30°+120°=150°
C5-003?A、B为定二次曲线ax2+bxy+cy2+ex+fy+g=0（a≠0）上的两个定点，过A、B任作一圆，设该圆与定二次曲线交于另外两点C、D，求证直线CD有定向．
【题说】?1978年上海市赛二试题8．
【证】?取A点为坐标原点，AB为x轴，设B点坐标为（l，0）．不妨假定a=1，于是原二次曲线的方程化为
x2+bxy+cy2-lx+fy=0?????????????????????????????（1）
过A、B的圆的方程为
x2+y2-lx+ky=0??????????????????????????????????????（2）
（1）-（2）得y[bx+（c-1）y+（f-k）]=0，这是C、D坐标必须满足的方程．
因为C、D不在AB线（即x轴）上，所以它们的纵坐标y≠0，从而直线CD的方程是
bx+（c-1）y+（f-k）=0
其中x、y的系数b、c-1，都是定值，所以，直线CD有定向．?
C5-004?有一条光线从点A（-3，5）射到直线l：3x-4y+4=0以后，再反射到一点B（2，15），求这条光线从A到B的长度．
【题说】?1978年北京市赛二试题1．
【解】?直线
l：3x-4y+4=0（1）
的斜率是3/4．
过A作直线p⊥l，p的方程是
4x+3y-3=0??????????????????????????????????????????????（2）
联立（1）、（2），解得l与p的交点C（0，1）．
设点A′关于l与A对称，则C为AA′的中点，由中点公式求得点A′的坐标（3，-3）．
如果光线在l上的反射点是E，那么光线之长=AE+EB=A′E+EB=
?
C5-005?如图，二杆各绕点A（a，0）和B（-a，0）旋转，且它们在y轴上的截距的乘积bb1=a2（常数），试求旋转杆交点的轨迹方程．
【题说】?1978年广西省赛二试题4．
【解】?设M（x，y）是两杆交点，则
y=-b（x-a）/a
y=b1（x+a）/a
相乘，得
y2=-bb1（x2-a2）/a2
将bb1=a2代入上式并整理，得
x2+y2=a2
由bb1=a2（常数），得b、b1不为0，因而y≠0，x≠±a．
故所求轨迹方程为
x2+y2=a2（-a＜x＜a＝?
C5-006?设椭圆的中心为原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端
圆方程．
【题说】?1978年全国联赛一试题3．
【解】?如图，设所求椭圆方程为
所求方程为???????????????????????????????x2/10+y2/5=1
C5-007?已知直线l1：y=4x和P（6，4）在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与l1，以及x轴，在第Ⅰ象限内围成的三角形的面积最小．
【题说】?1978年全国联赛一试题9．
【解】?设Q点坐标为（x1，y1），y1=4x1，则直线的方程为
要使方程（1）有实根，则S2-40S≥0．即
S≥40
把S=40代入（1），解得x1=2．这就是说，当x1=2时，S达到最小．故所求点Q的坐标为（2，8）．
?
C5-008?设R为平面上以A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2）三点为顶点的三角形区域（包括三角形内部及周界）．试求当（x，y）在R上变动时，函数4x-3y的极大值和极小值（须证明你的论断）．
【题说】?1978年全国联赛二试题3．
【解】?令λ=4x-3y，当λ固定，（x，y）变动时，我们得平面上一条直线，令λ变动，则得一系列相互平行的直线，在其中每一条直线上，4x-3y的值都相同．极值必在三角区域的顶点上达到．
因为λ（A）=13，λ（B）=14，λ（C）=-18．所以，函数4x-3y在△ABC上最大值是14，最小值是-18．
?
C5-009?已知△ABC是边长为1的正三角形，O为其中心．试问：过O点且两端落在△ABC边上的线段中，哪几条最长？哪几条最短？它们各为多长？证
明你的论断．
【题说】1979年天津市赛二试题3．
【解】如图，以A为原点建立直角坐标系xAy，则直线AB的方程
不失一般性，我们可以只考虑0≤k≤k0，其中k0表示OB的斜率，于是得D、E的坐标分别为
由图形的对称性，最长与最短的线段都各有三条．
C5－010给定一点P（3，1）及两条直线
l1∶x＋2y＋3＝0
l2∶x＋2y－7＝0
试求过P点且与11，l2都相切的圆的方程．
【题说】1979年全国联赛一试题9．
【解】如图，由于l1∥l2，圆心在直线l3∶x＋2y－2＝0上，
设圆心坐标为（a，b），则a＋2b－2＝0．将P点坐标代入圆方程
（x－a）2＋（y－b）2＝5
得??????????????????????????????（a－3）2＋（b－1）2＝5
从而
＝5．?
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