参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．两个不相等的实数m，n满足m2+n2＝40．
（1）若m+n＝﹣4，求mn的值；
（2）若m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，求m+n和k的值．
【考点】4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】（1）将m+n＝﹣4，两侧同时平方，结合已知条件可得40+2mn＝16，求出mn即可；
（2）将已知的两个式子相减即可得到m+n＝6，再将两个式子相加得到k＝20﹣3（m+n），将所求m+n的值代入即可．
【解答】解：（1）∵m+n＝﹣4，
∴（m+n）2＝16，
m2+2mn+n2＝16，
∵m2+n2＝40，
∴40+2mn＝16，
∴mn＝﹣12；
（2）∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m+n2﹣6n＝2k，
m2+n2﹣6（m+n）＝[（m+n）﹣3]2﹣2mn﹣9＝2k，
∵m2+n2＝40，
∴（m+n）2﹣2mn＝40，
∴k＝20﹣3（m+n），
∵m2﹣6m＝k，n2﹣6n＝k，
∴m2﹣6m﹣n2+6n＝0，则（m+n）（m﹣n）﹣6（m﹣n）＝0，
∵m、n不相等，
∴m+n＝6，
∴k＝2．
【点评】本题考查完全平方公式；熟练掌握完全平方公式的变形形式，灵活应用公式是解题的关键．
2．先化简，再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（﹣x），其中x＝﹣2，y＝．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．
【解答】解：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷（﹣）
＝[x2+4xy+4y2﹣（3x2﹣xy+3xy﹣y2）﹣5y2]÷（﹣）
＝（x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2）÷（﹣）
＝（﹣2x2+2xy）÷（﹣）
＝4x﹣4y
当x＝﹣2，y＝时，
原式＝4×（﹣2）﹣4×＝﹣8﹣2＝﹣10．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
3．已知（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝7，求下列各式的值：
（1）a2+b2；
（2）ab．
【考点】33：代数式求值；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝7的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；
（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝13，（a﹣b）2＝7的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7，
∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（13+7）÷2＝10；
（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝7，
∴．
【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够应用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．
4．先化简，再求值：[（5m﹣n）2﹣（5m+n）（5m﹣n）]÷（2n），其中m＝﹣，n＝2019．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】直接利用乘法公式化简，再利用整式的混合运算法则计算，再把已知数据代入求出答案．
【解答】解：[（5m﹣n）2﹣（5m+n）（5m﹣n）]÷（2n）
＝（25m2﹣10mn+n2﹣25m2+n2）÷（2n）
＝（﹣10mn+2n2）÷（2n）
＝﹣5m+n
当，n＝2019时，
原式＝﹣5×（﹣）+2019＝2020．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
5．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x?y＝，则x﹣y＝4或﹣4；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
【考点】4B：多项式乘多项式；4D：完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）由面积公式和同一个图形面积相等列出等式即可；
（2）由（1）可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4×＝16，求出x﹣y即可；
（3）将式子变形为（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），代入已知即可求解．
【解答】解：（1）由题可得，大正方形的面积＝（a+b）2，
大正方形的面积＝（a﹣b）2+4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25﹣4×＝16，
∴x﹣y＝4或x﹣y＝﹣4，
故答案为：4，﹣4；
（3）∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，
又（2019﹣m+m﹣2020）2＝（2019﹣m）2+（m﹣2020）2+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴1＝7+2（2019﹣m）（m﹣2020），
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣3．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
6．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年1月份的日历．如图所选择的两组四个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，12×14﹣6×20＝48，不难发现，结果都是48．
（1）请将上面三个空补充完整；
（2）请你利用整式的运算对以上规律进行证明．
【考点】1G：有理数的混合运算；4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）设四个数围起来的中间的数为x，则四个数依次为x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，利用整式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）9×11﹣3×17＝48，12×14﹣6×20＝48，不难发现，结果都是：48；
故答案为：48，48，48；
（2）设四个数围起来的中间的数为x，则四个数依次为x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，
则（x﹣1）?（x+1）﹣（x﹣7）?（x+7）
＝（x2﹣1）﹣（x2﹣49）
＝x2﹣1﹣x2+49
＝48．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．
7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是：A（请选择正确的一个）．
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2+ab＝a（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
（2）应用：利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4x2﹣9y2＝24，2x+3y＝8，求2x﹣3y的值；
②计算：．
【考点】4G：平方差公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
②先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【解答】解：（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是A，
故答案为：A；
（2）①∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝24，2x+3y＝8，
∴2x﹣3y＝24÷8＝3；
②．
＝，
＝×，
＝，
＝．
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
8．化简求值：（2x+y）2﹣3x（x+y）﹣（x﹣2y）（x+2y），其中x＝，y＝﹣2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】先根据整式的乘法法则和乘法公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2﹣3x2﹣3xy﹣x2+4y2
＝xy+5y2；
将x＝，y＝﹣2代入，原式＝×（﹣2）+5×（﹣2）2＝19．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
9．试说明：代数式（2x+2）（3x+5）﹣2x（3x+6）﹣4（x﹣2）的值与x的取值无关．
【考点】4A：单项式乘多项式；4B：多项式乘多项式．菁优网版权所有
【分析】将代数式利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式的法则计算，去括号合并得到结果为一个常数，可得出代数式的值与x的取值无关．
【解答】解析：∵（2x+2）（3x+5）﹣2x（3x+6）﹣4（x﹣2）
＝6x2+10x+6x+10﹣6x2﹣12x﹣4x+8
＝18，
∴代数式的值与x的取值无关．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．若（4x﹣y）2＝9，（4x+y）2＝81，求xy的值．
【考点】4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，计算即可求出所求．
【解答】解：∵（4x﹣y）2＝9①，（4x+y）2＝81②，
∴②﹣①得：（4x+y）2﹣（4x﹣y）2＝72，
∴4×4x×y＝72，
整理得：xy＝．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．如图，傅家堰中学新修了一个运动场，运动场的两端为半圆形，中间区域为足球场，外面铺设有塑胶环形跑道，四条跑道的宽均为1米．
（1）用含a、b的代数式表示塑胶环形跑道的总面积；
（2）若a＝60米，b＝20米，每铺1平方米塑胶需120元，求四条跑道铺设塑胶共花费多少元？（π＝3）
【考点】33：代数式求值；4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用圆的面积公式计算进而得出答案；
（2）利用a，b的值代入求出答案．
【解答】解：（1）π（）2﹣π（）2+2×4a
＝π（b2+4b+16）﹣πb2+8a
＝πb2+4πb+16π﹣πb2+8a
＝4πb+16π+8a；
（2）当a＝60，b＝20时，
原式＝4×3×20+16×3+8×60＝768
768×120＝92160（元），
答：四条跑道铺设塑胶共花费92160元．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确表示出圆的面积是解题关键．
12．观察下列式：
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1；
（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1．
（1）（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1；
（2）根据（1）的结果，求1+2+22+23+24+25+26+27的值．
【考点】1G：有理数的混合运算；4H：整式的除法．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利益已知中式子变化规律得出答案；
（2）结合（1）中规律得出原式＝（x8﹣1）÷（2﹣1），进而得出答案．
【解答】解：（1）（x7﹣1）÷（x﹣1）＝x6+x5+x4+x3+x2+x+1；
（2）1+2+22+23+24+25+26+27＝（28﹣1）÷（2﹣1）＝28﹣1＝255
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．计算﹣4（a+1）2﹣（5+2a）（5﹣2a）
【考点】4C：完全平方公式；4F：平方差公式．菁优网版权所有
【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后，再根据去括号法则以及合并同类项法则化简即可．
【解答】解：原式＝﹣4（a2+2a+1）﹣（25﹣4a2）
＝﹣4a2﹣8a﹣4﹣25+4a2
＝﹣8a﹣29．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟记平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．
14．计算：
（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）
（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2
（3）先化简再求值：（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2，其中x＝﹣，y＝3
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】（1）根据多项式乘多项式和合并同类项的方法可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；
（3）根据多项式除以单项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）
＝﹣4x2﹣8x+2﹣16x2+4x
＝﹣20x2﹣4x+2；
（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2
＝4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2
＝﹣2y2﹣4xy；
（3）（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2
＝﹣6xy+y2﹣4x2+8xy﹣4y2
＝2xy﹣4x2﹣y2﹣，
当，y＝3时，
原式＝2×（﹣）×3﹣4×（﹣）2﹣×32﹣＝﹣36．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
15．已知2a＝4，2b＝6，2c＝12
（1）求证：a+b﹣c＝1；
（2）求22a+b﹣c的值．
【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．菁优网版权所有
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法法则进行证明即可；
（2）根据同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵2a＝4，2b＝6，2c＝12，
∴2a×2b÷2＝4×6÷2＝12＝2c，
∴a+b﹣1＝c，
即a+b﹣c＝1；
（2）解：∵2a＝4，2b＝6，2c＝12，
∴22a+b﹣c＝（2a）2×2b÷2c
＝16×6÷12
＝8．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
16．定义＝ad﹣bc，若＝10，求x的值．
【考点】1G：有理数的混合运算；4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据＝ad﹣bc和＝10，可以得到相应的方程，从而可以得到x的值．
【解答】解：∵＝ad﹣bc，＝10，
∴（x﹣1）（x﹣1）﹣（x﹣3）（x+7）＝10
∴x2﹣2x+1﹣x2﹣7x+3x+21＝10
∴﹣6x+22＝10，
解得，x＝2．
【点评】本题考查整式的混合运算、新定义、解方程，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法、会解答方程．
17．日历上某些数满足一定的规律．小政同学任意选择2020年1月份的日历中所示的方框部分（阴影显示），将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7×13﹣6×14＝7，17×23﹣16×24＝7，小政发现，结果都是7．
（1）请在选择两个类似的部分试一试，看看是否符合“小政发现”的规律；
（2）请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
【考点】1G：有理数的混合运算；37：规律型：数字的变化类；4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）利用规定的方法计算，比较结果得出规律即可；
（2）设最小的一个数为x，其他三个分别为x+1，x+7，x+8，利用交叉相乘计算证明即可．
【解答】解：（1）例如11×17﹣10×18＝7；3×9﹣2×10＝7；
（2）设最小的一个数为x，其他三个分别为x+1，x+7，x+8，则
（x+1）（x+7）﹣x（x+8）
＝x2+8x+7﹣x2﹣8x
＝7．
【点评】此题考查了整式的混合运算，数字的变化规律，由特殊到一般，得出一般性结论解决问题．
18．甲、乙两人共同计算一﹣道整式乘法题：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的结果为6x2﹣5x﹣6；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2+7x+6．
（1）求正确的a、b的值．
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【考点】4B：多项式乘多项式．菁优网版权所有
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可；
【解答】解：（1）∵（2x﹣a）?（3x+b）
＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab
＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab，
∴2b﹣3a＝﹣5①，
∵（2x+a）?（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab，
∴2b+a＝7②，
由①和②组成方程组：，
解得：；
（2）（2x+3）?（3x+2）＝6x2+13x+6．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，合并同类项，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
19．探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表示），即乘法公式中的平方差公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
【考点】4G：平方差公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；平方差公式；
（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差．
（2）①原式＝（10+0.3）（10﹣0.3）＝102﹣0.32＝100﹣0.09＝99.91；
②原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
20．计算：（x﹣1﹣y﹣1）2÷（x﹣2﹣y﹣2）．
【考点】4H：整式的除法；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】根据负整数指数幂的意义先对式子进行整理，再根据整式的除法法则进行计算即可．
【解答】解：（x﹣1﹣y﹣1）2÷（x﹣2﹣y﹣2）＝（﹣）2÷（﹣）＝（）2×（）＝．
【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握整式的除法法则和负整数指数幂的意义是解题的关键．
21．观察下列各式发现规律，完成后面的问题：2×4＝32﹣1，3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，5×7＝62﹣1．
（1）12×14＝132﹣1，99×101＝1002﹣1；
（2）n（n+2）＝（n+1）2﹣1（n为整数）．
（3）童威家现有一个用篱笆围成的长方形菜园，其长比宽多4米（长、宽均为整数），为了扩大菜园面积，童威用原来的篱笆围成一个正方形，童威的做法对吗？面积是否扩大了？如果扩大了，扩大了多少？试说明理由．
【考点】4A：单项式乘多项式；4D：完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）根据等式的变化，直接写出后面两个等式的结果即可；
（2）由（1）找规律可得结论；
（3）设原长方形菜园的宽为x米，则长为（x+4）米，分别计算原长方形和现在正方形的面积，作对比可得结论．
【解答】解：（1）12×14＝（13﹣1）（13+1）＝132﹣1；
99×101═（100﹣1）（100+1）═1002﹣1；
故答案为：132﹣1，1002﹣1；
（2）n（n+2）＝（n+1﹣1）（n+1+1）＝（n+1）2﹣1；
故答案为：n+1；
（3）童威的做法对，面积扩大了，扩大了4平方米；理由如下：
设原长方形菜园的宽为x米，则长为（x+4）米，
原长方形面积为：x（x+4）＝（x+2）2﹣4；现正方形面积为（x+2）2；
∴现面积比原面积增加了4平方米．
【点评】本题考查了实数以及规律型中数字的变化类，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．
22．计算：（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）．
【考点】4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】首先计算整式的乘法，然后再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣4﹣m2﹣4mn，
＝m2+2mn+n2﹣4﹣m2﹣4mn，
＝n2﹣2mn﹣4．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算顺序．
23．先化简，再求值：[（2a+b）（2a﹣b）﹣（2a﹣b）2﹣b（a﹣2b）]÷（2a），其中a＝，b＝．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】原式中括号中利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（4a2﹣b2﹣4a2+4ab﹣b2﹣ab+2b2）÷2a＝3ab÷2a＝b，
当b＝时，原式＝1．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．计算：（﹣）﹣2+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0
【考点】1G：有理数的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝（﹣3）2+4×（﹣1）﹣8+1
＝9﹣4﹣8+1
＝﹣2
【点评】本题考查实数运算，解题的关键是正确理解负整数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
25．已知a+b＝1，ab＝﹣1．设S1＝a+b，S2＝a2+b2，S3＝a3+b3，…，Sn＝an+bn
（1）计算S2；
（2）请阅读下面计算S3的过程：a3+b3＝a3+b3+（b2a﹣b2a）+（a2b﹣a2b）
∵a+b＝1，ab＝﹣1，
∴S3＝a3+b3＝（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）＝1×S2﹣（﹣1）×1＝S2+1＝4．
你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S3的计算结果；再计算S4；
（3）猜想并写出Sn﹣2，Sn﹣1，Sn三者之间的数量关系（不要求证明，且n是不小于2的自然数），根据得出的数量关系计算S8．
【考点】37：规律型：数字的变化类；44：整式的加减；4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出S2；
（2）根据得出的结论，代入即可求出S3；根据完全平方公式即可求出S4；
（3）根据（1）（2）求出的结果得出规律，即可求出答案．
【解答】解：（1）S2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝12﹣2×（﹣1）＝3．
（2）S3＝a3+b3＝（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）＝1×S2﹣（﹣1）×1＝S2+1＝4．
∵S4＝a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，
又∵a2+b2＝3，ab＝﹣1，
∴S4＝7．
（3）∵S1＝1，S2＝3，S3＝4，S4＝7，∴S1+S2＝S3，S2+S3＝S4
猜想：Sn﹣2+Sn﹣1＝Sn．
∵S3＝4，S4＝7，∴S5＝S3+S4＝4+7＝11，
∴S6＝S4+S5＝7+11＝18，S7＝S5+S6＝11+18＝29，
∴S8＝S6+S7＝18+29＝47．
故答案为：4．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是Sn﹣2+Sn﹣1＝Sn．
26．如图①，一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中的虚线用剪刀均匀的分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②，请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1：（a﹣b）2（只列式，不化简）
方法2：（a+b）2﹣4ab（只列式，不化简）
（2）请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三个式子之间的等量关系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝2，xy＝，求x﹣y的值．
【考点】4D：完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意采用两种方法表示出阴影部分面积即可；
（2）根据阴影部分面积相等列出关系式即可；
（3）利用得出的等量关系，求出所求即可．
【解答】解：（1）方法1：（a﹣b）2；
方法2：（a+b）2﹣4ab；
（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（1）（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）根据题意得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝4﹣3＝1，
则x﹣y＝±1．
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
27．探究应用：
（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是C．
A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）
C．（3+n）（9﹣3n+n2）D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）
【考点】4B：多项式乘多项式．菁优网版权所有
【分析】根据多项式乘以多项式的法则即可计算出答案．
【解答】解：（1）（x+1）（x2﹣x+1）＝x3﹣x2+x+x2﹣x+1＝x3+1，
（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3﹣4x2y+2xy2+4x2y﹣2xy2+y3＝8x3+y3，
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（3）由（2）可知选（C）；
故答案为：（1）x3+1；8x3+y3；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（3）（C）
【点评】本题考查多项式乘以多项式，同时考查学生的观察归纳能力，属于基础题型．
28．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
【考点】4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】（1）直接根据图示规律写出图中的数字，再写出（a+b）5的展开式；
（2）发现这一组式子中是2与﹣1的和的5次幂，由（1）中的结论得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，计算出结果．
【解答】解：（1）如图，
则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
＝25+5×24×（﹣1）+10×23×（﹣1）2+10×22×（﹣1）3+5×2×（﹣1）4+（﹣1）5．
＝（2﹣1）5，
＝1．
【点评】本题考查了完全式的n次方，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．
29．（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8．
（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3﹣y3．
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式（请用含a，b的字母表示）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3．
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是C．
A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）
B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）
C．（4﹣x）（16+4x+x2）
D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
【考点】4B：多项式乘多项式．菁优网版权所有
【分析】（1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的公式判断即可．
【解答】解：（1）原式＝a3﹣8；原式＝8x3﹣y3；
（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（3）能用发现的乘法公式计算的是（4﹣x）（16+4x+x2）．
故答案为：（1）a3﹣8；8x3﹣y3；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）C．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
30．如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（GeometricSequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．
（1）观察一个等比列数1，，，，，…，它的公比q＝；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝，an＝；
（2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：
令S＝1+2+4+8+16+…+230…①
等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…②
由②式减去①式，得2S﹣S＝231﹣1
即（2﹣1）S＝231﹣1
所以
请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值；
（3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an．
【考点】4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）÷1即可求出q，根据已知数的特点求出a18和an即可；
（2）根据已知先求出3S，再相减，即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出规律即可．
【解答】解：（1）÷1＝，
a18＝1×（）17＝，an＝1×（）n﹣1＝，
故答案为：，，；
（2）设S＝3+32+33+…+323，
则3S＝32+33+…+323+324，
∴2S＝324﹣3，
∴S＝；
（3）an＝a1?qn﹣1，a1+a2+a3+…+an＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和阅读能力，题目是一道比较好的题目，有一定的难度．
31．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣x（x﹣4y）﹣8xy]÷4y，其中x＝﹣1，y＝2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有
【分析】原式中括号中第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+4xy﹣8xy）÷4y＝（4y2﹣8xy）÷4y＝y﹣2x，
当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2+2＝4．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
32．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
【考点】4C：完全平方公式．菁优网版权所有
【分析】本题考查学生的观察归纳的能力．仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论．
【解答】解：第n个式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2，
证明：因为左边＝n2+[n（n+1）]2+（n+1）2，
＝n2+（n2+n）2+（n+1）2，
＝（n2+n）2+2n2+2n+1，
＝（n2+n）2+2（n2+n）+1，
＝（n2+n+1）2，
而右边＝（n2+n+1）2，
所以，左边＝右边，等式成立．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是凑成（n2+n）2+2（n2+n）+1的形式，考查了学生对完全平方公式的变形应用能力．
33．如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn
（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．
【考点】4D：完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）观察图形很容易得出图b中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；
（2）观察图形可知大正方形的面积（m+n）2，减去阴影部分的正方形的面积（m﹣n）2等于四块小长方形的面积4mn，即（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（3）由（2）很快可求出（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．
【解答】解：（1）m﹣n．（2分）
（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（6分）
（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．（10分）
【点评】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起．要学会观察．
34．如图，为建设美丽农村，村委会打算在正方形地块甲和长方形地块乙上进行绿化．在两地块内分别建造一个边长为a的大正方形花坛和四个边长为b的小正方形花坛（阴影部分），空白区域铺设草坪，记S1表示地块甲中空白处铺设草坪的面积，S2表示地块乙中空白处铺设草坪的面积．
（1）S1＝4ab，S2＝6ab+4b2；（用含a，b的代数式表示并化简）
（2）若a＝2b，求的值；
（3）若＝，求的值．
【考点】32：列代数式；33：代数式求值；4I：整式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）甲：空白部分的面积＝4个矩形的面积；
乙：空白部分的面积＝总面积﹣阴影部分的面积；
（2）将a＝2b代入（1）中的代数式，化简即可；
（3）将（2）中的比值代入．
【解答】解：（1）由题意知，S1＝4ab，
S2＝（2b+a）（4b+4）﹣2b2﹣a2﹣2b2＝6ab+4b2．
故答案是：4ab；6ab+4b2．
（2）∵a＝2b，
∴＝＝＝；
（3）∵＝，＝，
∴6ab+4b2＝12ab，即4b2＝6ab．
∴＝．
【点评】考查了整式的混合运算，列代数，代数式求值等知识点，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
35．【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展应用】
（2）利用（1）中的等式计算：
已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；
②已知（2021﹣a）（a﹣2019）＝﹣2020，求（2021﹣a）2+（a﹣2019）2的值．
【考点】4D：完全平方公式的几何背景．菁优网版权所有
【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分面积x2+y2，方法二是间接求出阴影部分面积，即（x+y）为边的正方形面积减去两个x为宽、y为长的矩形面积，即（x+y）2﹣2xy；
（2）①将a2+b2＝10，a+b＝6代入上题所得的等量关系式求值；
②可以将2021﹣a看作A，将a﹣2019看作B，代入（1）题的等量关系式求值即可．
【解答】解：
（1）由题意得：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
（2）①由题意得：ab＝
把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，
ab＝＝13
答：ab的值是13．
②由题意得：
（2021﹣a）2+（a﹣2019）2
＝（2021﹣a+a﹣2019）2﹣2（2021﹣a）（a﹣2019）
＝22﹣2×2020
＝﹣4036
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景及应用．此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，难度不大，熟练掌握完全平方公式并能够灵活应用是解决此题的关键．
36．小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用X，Y表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为1877X817Y52（手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍．
（1）求X+Y的值；
（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】（1）设这11个数字之和是20的a倍，先根据题意列出X+Y和a之间的等量关系，再求解即可得出答案；
（2）由（1）得出X，Y的可能值，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）设这11个数字之和是20的a倍，
根据题意，得1+8+7+7+X+8+1+7+Y+5+2＝20a，
即X+Y＝20a﹣46，
∵0≤X+Y≤18，
∴0≤20a﹣46≤18，
解得2.3≤a≤3.2，
∵a是整数，
∴a＝3，
∴X+Y＝20a﹣46＝60﹣46＝14；
（2）X、Y的可能值为9和5，8和6，7和7，6和8，5和9，
小王一次拨对小李手机号码的概率．
【点评】此题主要考查了不等式组和方程的综合运用以及概率的求法．解题的关键是根据实际意义得到所需要的相等关系和不等关系利用未知数的整数值求解．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
37．迎宾超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小颖购此新商品花了85元
（1）她获得奖品的概率是多少？
（2）她得到一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔的概率分别是多少？
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】（1）她获得奖品为必然事件，从而得到概率为1；
（2）根据概率公式分别计算她得到一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔的概率．
【解答】解：（1）她获得奖品的概率是为1；
（2）她得到一把雨伞的概率为＝；
她得到一个文具盒的概率为＝；
她得到一支铅笔的概率为＝．
【点评】本题考查了概率公式：概率公式＝某随机事件所占有的结果数除以所有可能的等结果数．P（必然事件）＝1；P（不可能事件）＝0．
38．织金县某学校团支部书记暑假带领该校“优等生”去旅游，甲旅游社说：“若团支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括团支部书记在内都6折优惠”．若全票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
（3）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
【考点】8A：一元一次方程的应用；E3：函数关系式．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费关系式即可；
（2）利用（1）中所求进而得出两关系式相等时的学生数；
（3）分别利用y甲＞y乙时，故当x＜4时，得出答案即可．
【解答】解：（1）设学生人数为x人，由题意，得
y甲＝0.5×1200x+1200＝600x+1200，
y乙＝0.6×1200x+0.6×1200＝720x+720；
（2）当y甲＝y乙时，
600x+1200＝720x+720，
解得：x＝4，
故当x＝4时，两旅行社一样优惠；
（3）y甲＞y乙时，
600x+1200＞720x+720，
解得：x＜4
故当x＜4时，乙旅行社优惠．
当y甲＜y乙时，
600x+1200＜720x+720，
解得：x＞4，
故当x＞4时，甲旅行社优惠．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确得出函数关系式是解题关键．
39．张华上午8点骑自行车外出办事，如图表示他离家的距离S（千米）与所用时间（时）之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题：
（1）在这个过程中自变量、因变量各指什么？
（2）张华何时体息？休息了多少时间？这时离家多远？
（3）他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？
（4）他何时返回？何时到家？返回的平均速度是多少？
【考点】E1：常量与变量；E6：函数的图象．菁优网版权所有
【分析】通过函数图象判读即可求解．
【解答】解：（1）时间是自变量、距离是因变量；
（2）9：30﹣10：00休息了30分钟，这时离家15千米；
（3）11：00到达目的地，逗留了1个小时，目的地离家30千米；
（4）12：00开始返回，14：00到家，速度为30÷（14﹣12）＝15（千米/小时），
即返回的平均速度为每小时15千米．
【点评】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
40．下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．根据图象回答下列问题：
①菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？
②小明给菜地浇水用了多少时间？
③玉米地离菜地、小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？
【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有
【分析】①根据函数图象可以直接写出菜地离小明家多远，小明走到菜地用了多少时间；
②根据函数图象中的数据可以得到小明给菜地浇水用了多少时间；
③根据函数图象中的数据可以得到玉米地离菜地、小明家多远，小明从玉米地走回家平均速度是多少．
【解答】解：①由图象可得，
菜地离小明家1.1千米，小明走到菜地用了15分钟；
②25﹣15＝10（分钟），
即小明给菜地浇水用了10分钟；
③2﹣1.1＝0.9（千米）
玉米地离菜地、小明家的距离分别为0.9千米，2千米，
小明从玉米地走回家平均速度是2÷（80﹣55）＝0.08千米/分钟．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/3/3111:32:34；用户：13690108185；邮箱：13690108185；学号：22722289
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