单元综合测试二
时间：90分钟分值：120分
第卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(C)
A．B．C．D．
解析：利用平行四边形法则作出向量＋，平移即可发现＋＝.
2．已知O(0,0)，A(2,0)，B(3,1)，则(－)·＝(A)
A．4 B．2C．－2 D．－4
解析：由已知得＝(2,0)，＝(3,1)，－＝(1,1)，则(－)·＝(1,1)·(3,1)＝3＋1＝4.
3．已知向量|a|＝4，e为单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影与e在a方向上的投影分别为(B)
A．2， B．2，
C．，2 D．，2
解析：a在e方向上的投影为|a|cos＝4×＝2，e在a方向上的投影为|e|cos＝1×＝.
4．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是(C)
A．a·b＝1 B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b D．ab
解析：a·b＝2，所以A不正确；|a|＝2，|b|＝，则|a|≠|b|，所以B不正确；a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)b，所以C正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，所以D不正确．故选C．
5．设P是ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(B)
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
解析：由＋＝2，可得P是边AC的中点，从而＋＝0.
6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(C)
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．菱形
解析：＝＋＋＝－8a－2b＝2，
四边形ABCD为梯形．
7．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是(C)
A． B．C． D．
解析：记a与b的夹角是θ，则a·(b－a)＝a·b－a2＝6cosθ－1＝2，cosθ＝.又θ[0，π]，所以θ＝.故选C．
8．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于(A)
A．－ B．C．－2 D．2
解析：由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，得＝.
所以＝－.
9．向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，(a＋b)(2a－b)，则向量a，b的夹角为(C)
A．45° B．60°C．90° D．120°
解析：(a＋b)·(2a－b)＝0，
2|a|2＋a·b－|b|2＝0，
a·b＝0，a，b的夹角为90°.
10．已知a＝(－1，)，＝a－b，＝a＋b，若AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB的面积是(D)
A．B．2C．2D．4
解析：由题意||＝||且，
所以(a－b)2＝(a＋b)2且(a－b)·(a＋b)＝0，
所以a·b＝0且a2＝b2，所以|a|＝|b|＝2，
所以SAOB＝||·||＝
＝＝4.选D．
11．已知菱形ABCD的边长为2，BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC．若·＝1，·＝－，则λ＋μ的值为(C)
A． B．C． D．
解析：由于菱形边长为2，所以BE＝λBC＝2λ，DF＝μDC＝2μ，从而CE＝2－2λ，CF＝2－2μ.
由·＝1，得(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝2×2×cos120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos120°
＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，
所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.
由·＝－，得(2－2λ)(2－2μ)＝－，
所以λμ＝λ＋μ－，
因此有4(λ＋μ)－2(λ＋μ)＋＝3，
解得λ＋μ＝.
12．已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且ABBC，若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为(B)
A．6 B．7C．8 D．9
解析：由题意知A，C关于圆心(0,0)对称．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，－y1)，于是＋＋＝(x1－2，y1)＋(x2－2，y2)＋(－x1－2，－y1)＝(x2－6，y2)，由于点B在圆上，所以|＋＋|即是圆x2＋y2＝1上任一点到点(6,0)的距离，其最大值为7，故选B．
第卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝(，1＋sinθ)，若ab，则锐角θ＝45°.
解析：由ab，得(1－sinθ)(1＋sinθ)－1×＝0，即sin2θ＝，故|sinθ|＝，又θ为锐角，所以θ＝45°.
14．在ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝.
解析：||＝＝＝.
15．如图所示，在ABCD中，APBD，垂足为P，且AP＝3，则·＝18.
解析：根据向量加法的几何意义及数量积运算律求解．
·＝·(＋)＝·＋·＝·＋·(＋)＝·＋2·，APBD，·＝0.
·＝||||cosBAP＝||2，
·＝2||2＝2×9＝18.
16．给出下列四个命题，其中正确的序号是.
①非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°；若(＋)·(－)＝0，则ABC为等腰三角形；若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(xR)取最小值时x＝1；若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>－.
解析：中，若|a|＝|b|＝|a－b|.
由向量减法的几何意义知a与b的夹角为60°，
由平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，故正确．
中，由(＋)·(－)＝0知||＝||，
故ABC为等腰三角形，故正确．
中，(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2
＝4＋4xcos120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故正确．
中，＝－＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，
＝－＝(5－m，－3－m)－(6，－3)
＝(－1－m，－m)，
又ABC为锐角，·>0，即3＋3m＋m>0.
m>－.又当与同向共线时，m＝，
故当ABC为锐角时，m的取值范围是m>－且m≠.故不正确．
三、解答题(本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，F使BF＝BC．
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)连接AF，由已知得＝＋＝a＋B．
＝＋＝a＋b，
＝＋＝－b＋(a＋b)＝a－B．
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×(－)＝－6，
从而·＝(a＋b)·(a－b)
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×32＋×(－6)－×42＝－.
18．(10分)如图，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
解：(1)连接OB，设B(xB，yB)，则xB＝||＋||·cos(π－OAB)＝，
yB＝||·sin(π－OAB)＝，
＝＋＝(，)＋(－1，)＝(，)，
B(，)，C(，)．
(2)证明：＝(，)，＝(，)，
＝3，∥.
又易知OA与BC不平行，||＝||＝2，
四边形OABC为等腰梯形．
19．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，且点A(4,0)，C(1，)．
(1)求ABC的大小；
(2)设点M是OA的中点，点P在线段BC上运动(包括端点)，求·的取值范围．
解：(1)由题意得＝(4,0)，＝(1，)．
四边形OABC是平行四边形，
cos∠ABC＝cosAOC＝＝＝，
ABC＝.
(2)设P(t，)，其中1≤t≤5，则＝(t，)．
＝(2,0)－(1，)＝(1，－)，
·＝(t，)·(1，－)＝t－3，
故·的取值范围是[－2,2]．
20．(10分)已知四边形ABCD中，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若，求y＝f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，若，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．
解：(1)＝－(＋＋)＝(－x－4,2－y)，
∥，x(2－y)－(－x－4)y＝0，
整理得x＋2y＝0，y＝－x.
(2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
且，·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
由(1)知x＝－2y，将其代入上式，整理得y2－2y－3＝0，解得y1＝3，y2＝－1，
当y＝3时，x＝－6，于是＝(－6,3)，＝(0,4)，
＝(－8,0)，||＝4，||＝8，
S四边形ABCD＝||||＝×4×8＝16.
当y＝－1时，x＝2，于是＝(2，－1)，＝(8,0)，
＝(0，－4)，||＝8，||＝4，
S四边形ABCD＝||||＝×8×4＝16.
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