第十四章整式的乘法与因式分解
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标：1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
重点：掌握平方差公式的结构特征.
难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题.
一、知识链接多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项另一个多项式的每一项再把所得的积．
2计算：
(1)(x＋1)(x＋3)＝；(2)(x＋3)(x－3)＝；
(3)(m＋n)(m－n)＝
二、新知预习
算一算：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①（x＋1)(x－1）=_______________；②（m＋2)(m－2）=_______________；
③（2m＋1)(2m－1）=_______________；④（5y＋z)(5y－z）=_______________.
想一想：这些计算结果有什么特点？
要点归纳：(a+b)(a?b)=_________,即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.
试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？
剩余部分的面积为：____________新长方形的面积为：____________
自学自测
1.填一填：
(a-b)(a+b) a b a2-b2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x) 2.下列各式的计算对不对？如果不对应当怎样改正？
(1)(x＋3)(x－3)＝x－3；(2)(－3a－2)(3a－2)＝9a－4.
要点探究
探究点：:应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
例2：计算:
(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
方法总结:(1)中应根据平方差公式的特征，合理变形后，利用平方差公式，简化运算.
(2)中不符合平方差公式条件的乘法运算，应按照多项式乘以多项式的乘法法则进行计算.
例3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
方法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
针对训练
1.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式进行计算的是()
A．(x＋1)(1＋x)B．(a＋b)(b－a)C．(－a＋b)(a－b)D．(x2－y)(x＋y2)
2.对于任意正整数n，能整除式子(m＋3)(m－3)－(m＋2)(m－2)的整数是()
A．2B．3C．4D．5
计算：
(l)(-a+b)(a+b)=_________.(2)(a-b)(b+a)=__________.
(3)(-a-b)(-a+b)=________.(4)(a-b)(-a-b)=_________.
4.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是________________________．
图1图2
5.计算：
(1)(a－1)(a＋1)；(2)(2m＋3n)(2m－3n)．
6.先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝.
二、课堂小结
下列运算中，可用平方差公式计算的是()
A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)
计算（2x+1）（2x-1）等于（）
A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1
8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
自主学习
教学备注
配套PPT讲授
1.复习引入
（见幻灯片3）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片4-20）
课堂探究
教学备注
配套PPT讲授
3.课堂小结
相同为a
(a+b)(a-b)=a2-b2
互为相反数的为b
教学备注
配套PPT讲授
4.当堂检测
（见幻灯片21-27）
当堂检测
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