6.4数列求和2022年高考一轮复习1.掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.2.掌握一般数列求和的几种常见的方法.考试说明教学参考
考点考查方向考查热度分组求和法分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求和★★☆错位相减法等差数列与等比数列对应项之积构成的数列的
求和★☆☆裂项相消法裂项后能消去大部分项★★☆考情分析课前双基巩固知识聚焦na1课前双基巩固若干个等差或等比或可求和同一个常数课前
双基巩固并项法两项之差积课前双基巩固题组一常识题对点演练课前双基巩固课前双基巩固题组二常错题课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩
固课前双基巩固探究点一分组求和法求和课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点二错位相减法求和课堂考点探究课堂考点
探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点三裂项相消法求和课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考
点探究强化演练课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课后巩固作业请完成配套课后作业再见na1+1.公式法(1)公式法①
等差数列的前n项和公式:Sn==.(其中a1为首项,d为公差)?②等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=;?当q
≠1时,Sn==.(其中a1为首项,q为公比).?(2)分组求和法一个数列的通项是由的数列的通项组成的,则求和时
可用分组求和法,分别求和后再相加减.?2.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列中,到首末两端等“距离”的两项的和相等
或等于,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.?(2)并项求和法数列{an}满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用
求其前n项和.如通项公式形如an=(-1)nf(n)的数列.?3.裂项相消法把数列的通项拆成,在求和时中间的一些项可以相互抵消
,从而求得其和.?4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之构成的,那么求这个数列的前n项和时即可
用错位相减法.?[解析]Sn=+=2n+.[答案]2n+1.若数列的通项公式为an=2n-1+n,则数列的前n项和Sn=
.?[答案][解析]∵an=-,∴S20=1-+-+…+-=1-=.2.若数列的通项公式为an=,则数列的前20项和为.
?[答案](n-2)·2n+2[解析]Sn=0+1×21+2×22+…+(n-2)×2n-2+(n-1)×2n-1①,则2S
n=0+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1+(n-1)×2n②,由①-②,得-Sn=2+22+23+…
+2n-1-(n-1)×2n=-(n-1)×2n=-(n-2)×2n-2,即Sn=(n-2)·2n+2.3.若数列的通项
公式为an=(n-1)×2n-1,则数列的前n项和Sn=.?[答案]4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=4n2-1(n
∈N),则数列的前n项和为.?[解析]因为Sn=4n2-1,则===-,则数列的前n项和为-+-+…+-=1-=.[答案]
4-5.3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=.?[解析]设S=3×+4×+5×+…+(n+2)×,则S
=3×+4×+5×+…+(n+2)×.两式相减得S=3×+++…+-,∴S=3+++…+-=3+-=4-.[答案]9906.在数
列{an}中,a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N,则S60的值为.?[解析]当n为奇数时,an+2-
an=0,则an=2;当n为偶数时,an+2-an=2,则an=n.故S60=2×30+(2+4+…+60)=990.[答案]7
.已知数列{an}满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2018项的和等于.?[解析]因为a1=,an+1=+,所以a2=1
,a3=,a4=1,…,可得an=故该数列的前2018项的和S2018=1009×1+=.[思路点拨](1)将数列中的项用a2和
d表示,根据等比数列的性质可得到关于d的一元二次方程,求得d的值后,即可得到数列的通项公式;(2)根据(1)可求得的通项公式,用分
组求和法可得其前n项和Tn.例1在公差不为零的等差数列中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若
bn=an+,求数列的前n项和Tn.解:(1)设等差数列的公差为d,因为a2=4,且a1,a3,a9成等比数列,即4-d,4+d,
4+7d成等比数列,所以有(4-d)(4+7d)=(4+d)2,即8d2-16d=0,解得d=2或d=0(舍去),所以a1=2,数
列的通项公式为an=2n.(2)由(1)知bn=2n+22n=2n+4n,所以Tn=2×(1+2+3+…+n)+(4+42+43
+…+4n)=2×+=n+-.[总结反思]某些数列在求和时是将数列的通项转化为若干个等差或等比或可求和的数列通项的和或差,从
而间接求得原数列的和.注意在含有字母的数列中要对字母进行讨论.解:(1)当n=1时,a1=S1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn
-1=-=n.又a1=1满足上式,所以数列的通项公式为an=n(n∈N).(2)由(1)知,bn=2n+·n.记数列的前2n项
和为T2n,则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n)=+n=22n+1-2+n.故数列的前2n项和T2
n=22n+1+n-2(n∈N).变式题已知数列的前n项和Sn=(n∈N).(1)求数列的通项公式;(2)设bn=2n+(-
1)nan,求数列的前2n项和.[思路点拨](1)对于可根据条件建立关于首项a1与公差d的方程,求得首项和公差即可求得数列的通项
公式,对于bn,利用递推关系求解数列的通项公式即可;(2)根据数列的特点利用错位相减法求解数列的前n项和.例2在等差数列中,
a2=2,a3+a5=8,在数列中,b1=2,其前n项和Sn满足bn+1=Sn+2(n∈N).(1)求数列,的通项公式;(2)设
cn=,求数列的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a2=2,a3+a5=8,∴a1+d=2,2a1+6d=8
,解得a1=1,d=1,∴an=n.∵bn+1=Sn+2(n∈N)①,∴bn=Sn-1+2(n∈N,n≥2)②.-②得,b
n+1-bn=Sn-Sn-1=bn(n∈N,n≥2),∴bn+1=2bn(n∈N,n≥2).∵b1=2,b2=2+2=4=2
b1,∴是以2为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n.(2)cn==,则Tn=+++…++①,则Tn=+++…++②,①-②得
,Tn=++…+-=-=1-,∴Tn=2-.[总结反思]错位相减法求和,主要用于求{an·bn}的前n项和,其中,{bn}分别为
等差数列和等比数列.解:(1)当n≥2时,由an+1=2Sn+3,得an=2Sn-1+3,两式相减,得an+1-an=2Sn-2S
n-1=2an,∴an+1=3an,∴=3.当n=1时,a2=2S1+3=2a1+3=9,则=3.∴数列是首项a1=3,公比为3的
等比数列.∴an=3×3n-1=3n.变式题设Sn是数列的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N).(1)求数
列的通项公式;(2)令bn=(2n-1)an,求数列的前n项和Tn.(2)由(1)得bn=(2n-1)an=(2n-1)·3n,∴
Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)·3n①,3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)·3n+1②,①
-②得-2Tn=1×3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)·3n+1=3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)·
3n+1=3+2×-(2n-1)·3n+1=-6-(2n-2)·3n+1.∴Tn=(n-1)·3n+1+3.变式题设Sn是数列
的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N).(1)求数列的通项公式;(2)令bn=(2n-1)an,求数列的前n项
和Tn.[思路点拨]首先根据条件判断数列为等差数列,其次求得an,然后求出bn的表达式,最后根据其结构利用裂项相消法求解.考向1
形如an=例3已知正项数列满足a1=1,+-=4,数列满足=+,记的前n项和为Tn,则T20的值为.?[答案]2[解析]由
条件知-=4,则是首项为1,公差为4的等差数列,所以=4n-3.又为正项数列,所以=,所以=+,所以bn==(-),故T20=b1
+b2+…+b20=[(-1)+(-)+…+(-)]=(-1)=2.[总结反思]数列的通项公式形如an=时,可转化为an=(-)
,此类数列适合使用裂项相消法求和.[思路点拨](1)将已知条件转化为关于首项a1与公差d的方程组,进而得到数列的通项公式;(2)
首先由(1)确定数列的通项公式,然后根据其结构利用裂项相消法求得Tn.例4在公差不为0的等差数列中,=a3+a6,且a3为a1
与a11的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)设bn=,求数列的前n项和Tn.考向2形如an=解:(1)设等差数列的公差为d
.∵=a3+a6,∴(a1+d)2=a1+2d+a1+5d①,∵=a1·a11,∴(a1+2d)2=a1·(a1+10d)②
.∵d≠0,∴由①②解得a1=2,d=3.∴数列的通项公式为an=3n-1.(2)由题意知bn==··+=··+,∴Tn=-++
+-++…++=-1+.[总结反思](1)数列的通项公式形如an=时,可转化为an=-,此类数列适合使用裂项相消法求和.(2)裂
项相消法求和的基本思路是变换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项.[答案]B1.【考向1】数列的通项公式
为an=,若该数列的前k项之和等于9,则k=()A.98B.99C.96D.97[解析]an==-,故Sn=-,令Sk=-=
9,解得k=99,故选B.[答案]D2.【考向1】数列{an}的通项公式为an=(n∈N),若该数列的前n项和为Sn,则Sn
=()A.-1B.+--1C.D.[解析]∵an==(-),∴Sn=(-1+-+-+-+…+-+-+-)=(-1-++)=(+
--1),故选D.[答案]A3.【考向2】若数列满足a1=1,且对任意的m,n∈N都有am+n=am+an+mn,则++…+=
()A.B.C.D.[解析]令m=1,则an+1-an=n+1,将1,2,3,…,n-1分别代入上式,累加得(an-an-1
)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=-1,所以an-a1=-1,即an=,所以=2-,则++…+=21-+-+…+-=,故选A.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,因为a3a5==4(a4-1),所以a4=2,又因为a1=,所以=q3=8,则q=2,所以an=×2n-1=2n-3.(2)证明:bn=log2(16an)=log22n+1=n+1,==-.则Sn=-+-+-+…+-=-<.4.【考向2】已知等比数列满足a1=,a3a5=4(a4-1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列满足bn=log2(16·an),求证:数列的前n项和Sn<. |
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