2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
1.已知集合，若，则实数a的值为________
2.已知复数，其中i是虚数单位，则z的模是______
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件
4.右图是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的的值是
5.若，则
6.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是
7.记函数的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则xD的概率是
8.在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是，则四边形的面积是
9.等比数列的各项均为实数，其前n项的和为，已知，则
10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x的值是
11.已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是。
12.如图，在同一个平面内，向量的模分别为1,1，，与的夹角为，且，与的夹角为45°。若，则
13.在平面直角坐标系中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆：上，若，则点P的横坐标的取值范围是
14.设是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1）上，其中集合，则方程的解的个数是.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）
D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD。
求证：（1）平面；（2）
16.（本小题满分14分）
已知向量.
（1）若，求的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的值17.（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线
的垂线过点作直线的垂线.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线的交点Q在椭圆上，求点P的坐标.
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为，容器Ⅱ的两底面对角线的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度.
19.（本小题满分6分）
对于给定的正整数,若数列满足，对任意正整数，则称数列是“数列
（1）证明：等差数列是“数列”；
若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列0.（本小题满分16分）
已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：；
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围。
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学II（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，
P为垂足。
求证：（1）；（2）
B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，.
（1）求；
（2）若曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为（t为参数），曲线的参数方程为（s为参数）。设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值
D．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）
已知为实数，且，证明.
22.（本小题满分10分）
如图，在平行六面体中，⊥平面，且，，.
（1)求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值。
23.（本小题满分10）
已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n,n2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.
1 2 3 ...... m+n （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明：
2017年高考江苏卷数学参考答案
一、填空题
118 -2 32 30 3 8
二、解答题
15.证明：（1）在平面内，AB⊥AD，
又因为平面，平面平面
（2）因为平面⊥平面，平面平面，
平面，⊥,又平面平面，所以⊥平面又因为平面，所以
16.解：（1）因为，所以
若，则，与矛盾，故，
于是又，所以
（2）因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值，即时，取到最值
17.解：（1）设椭圆因为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8解得，于是，
因此椭圆的标准方程.
（2）由（1）知，设，因为为第一象限的点，故，
当时，与相交于，与题设不符，当时，直线的斜率为，直线的斜率为因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程： ①
直线的方程： ②由①②，解得，所以
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或
又在椭圆上，故，由解得；无解因此点的坐标.
18.解：
（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，
记玻璃棒上点处因为，
所以，从而
记与水面的交点为，过作为垂足，
则平面，故，从而
答：玻璃棒没入水中部分的长度为
（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm）
如图，是正棱台的两底面中心，由正棱台的定义，
平面，所以平面平面，
同理，平面平面，
记玻璃棒的另一端落在上点N处，过G作为垂足，则
因为，所以，从而
设，则
因为，所以，在中，由正弦定理可得，
解得，因为，所以
于
记与水面的交点为，过作为垂足，则平面，
故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为20cm
（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm）
19.证明：（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
所以因此等差数列是“数列”
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时， ①
当时， ②
由①知， ③ ④
将③④代入②，得，其中，所以是等差数列，设其公差为
在①中，取，则，所以
在①中，取，则，所以，所以数列是等差数列
20.解：（1）由，得
当时，有极小值，因为的极值点是的零点，
所以，又，故
因为有极值，故有实根，从而，即
当时，，故在上是增函数，没有极值；
当，有两个相异的实根
列表如下：
+ 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 故的极值点是，，从而，因此，定义域为
（2）由（1）知，，设，则
当时，，从而在上单调递增
因为，所以，故，即因此
（3）由（1）知，的极值点是，，且
从而
记所有极值之和为，因为的极值为，所以，因为，于是在上单调递减
因为，于是，故，因此的取值范围为
21.A.证明：（1）因为切半圆于点，所以
所以为半圆的直径，所以
因为，所以，因此
（2）由（1）可得∽，故，
B.解：（1）因为，所以
（2）设为曲线上的任意一点，它在矩阵对应的变换作用下变，
则，即所以，因为点在曲线上，
则，从而，即
因此曲线在矩阵对应的变换作用下得到曲线
C.解：直线的普通方程为，因为点在曲线上，设到直线的的距离时，因此当点的坐标为（4,4）时，曲线上点到直线的距离取到最小值
D.证明：由柯西不等式可得：，因为
所以，因此
22.解：在平面内，过点作，交于点
因为平面，所以
如图，以为正交基底，
建立空间直角坐标系,因为，
则
（1）则
,因此异面直线与所成角的余弦值为
（2）平面的一个法向量为,设为平面的一个法向量，又则即
不妨取，则，所以为平面的一个法向量，
从而
设二面角的大小为，则因为，所以,因此二面角的正弦值为
23.解（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：
（2）随机变量的概率分布为：
... ... ... ... 随机变量的的期望为：
所以
，即
1
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