【考点突破】相似三角形
2017年中考
1．（2017?安徽23）已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．求证：BE=CF；求证：BE2=BC?CE．（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC?CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tanCBF的值．
【解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，∴∠ABG+∠CBF=90°，∵∠AGB=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠BAG=∠CBF，∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，∴MG=MA=MB，∴∠GAM=∠AGM，又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，∴∠CGE=∠CBG，又∠ECG=∠GCB，∴△CGE∽△CBG，∴=，即CG2=BC?CE，由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，由①知BE=CF，∴BE=CG，∴BE2=BC?CE；（2）延长AE、DC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠N=∠EAB，又∵∠CEN=∠BEA，∴△CEN∽△BEA，∴=，即BE?CN=AB?CE，∵AB=BC，BE2=BC?CE，∴CN=BE，∵AB∥DN，∴==，∵AM=MB，∴FC=CN=BE，不妨设正方形的边长为1，BE=x，由BE2=BC?CE可得x2=1?（1-x），解得：x1=，x2=（舍），∴=，则tan∠CBF===．
2016年中考
1．（2016?安徽8）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（B）
A．4B．4C．6D．4
．（2016?安徽）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCEEDQ；（2）延长PC，QD交于点R．如图2，若MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；如图3，若△ARBPEQ，求MON大小和的值．
【解】（1）证明：点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，DE=OC，DEOC，CE=OD，CEOD，四边形ODEC是平行四边形，OCE=∠ODE，OAP，△OBQ是等腰直角三角形，PCO=∠QDO=90°，PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠EDO=∠EDQ，PC=AO=OC=ED，CE=OD=OB=DQ，在△PCE与△EDQ中，，PCE≌△EDQ；（2）如图2，连接RO，PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，AR=OR=RB，ARC=∠ORC，ORQ=∠BRO，RCO=∠RDO=90°，COD=150°，CRD=30°，ARB=60°，ARB是等边三角形；由（1）得，EQ=EP，DEQ=∠CPE，PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=90°，PEQ是等腰直角三角形，ARB∽△PEQ，ARB=∠PEQ=90°，OCR=∠ODR=90°，CRD=∠ARB=45°，MON=135°，此时P，O，B在一条直线上，△PAB为直角三角形，且APB=90°，AB=2PE=2×PQ=PQ，=．
2015年中考
1．（2015?安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．
（1）求证：AD=BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．
【解】（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB，同理：GD=GC，在△AGD和△BGC中，，∴△AGD≌△BGC（SAS），∴AD=BC；（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，∴∠AGB=∠DGC，在△AGB和△DGC中，＝，∴△AGB∽△DGC，∴＝，又∵∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF；（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：则AH⊥BH，∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD=∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，∴∠AGB=∠AHB=90°，∴∠AGE=∠AGB=45°，∴＝，又∵△AGD∽△EGF，∴==．
考点一、
1．（2017?兰州）已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（A）A．=B．=C．=D．=2．湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是5500千米（结果精确到1千米）．
3．（2017?六盘水）矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（D）A．a=4，b=+2B．a=4，b=-2C．a=2，b=+1D．a=2，b=-1
．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为6．
5．如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4，则BC的长是10．
6．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（A）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1考点、相似三角形
．（2017?枣庄）如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（C）
A．．．．
．（2017?包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（A）A．B．C．D．
．（2017?重庆）若△ABCDEF，相似比为3：2，则对应高的比为（A）A．3：2B．3：5C．9：4D．4：9
．（2017?连云港）如图，已知△ABCDEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（D）A．=B．=C．=D．=
12．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．
13．（2017?绵阳）如图，直角△ABC中，B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EFAB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（D）A．．．．
14．（2017?永州）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（）A．1B．2C．3D．4
15．（2017?青海）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交DB于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．1：3B．3：4C．1：9D．9：16
16．（2017?深圳）如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：AQ⊥DP；OA2=OE?OP；S△AOD=S四边形OECF；当BP=1时，tanOAE=，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4
17．（2017?泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，MEAM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（B）A．18B．C．D．
18．（2017?随州）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：①AM=AD+MC；②AM=DE+BM；③DE2=AD?CM；④点N为△ABM的外心．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个
19．2=2BM2+2DN2；⑤图中只有4对相似三角形．其中正确结论的个数是（B）
A．．．．
20．（2017?东营）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC．其中正确的是（）A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
．（2017?淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A．B．C．D．
22．（2017?眉山）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（B）A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺
．（2017?绥化）如图，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：=；S△BCE=36；S△ABE=12；AEF～△ACD，其中一定正确的是（D）A．①②③④B．①④C．②③④D．①②③
2．（2017?朝阳）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF=DP；④DP?DE=DH?DC，其中一定正确的是（D）A．①②B．②③C．①④D．③④
25．（2017?云南）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DEBC，=，则=．
．（2017?湘潭）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE：S△ABC=1：4．
．（2017?深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=3．
．（2017?柳州）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，BE交CD于点O，连接DE．有下列结论：DE=BC；△BOD∽△COE；BO=2EO；AO的延长线经过BC的中点．其中正确的是（填写所有正确结论的编号）
．（2017?鞍山）如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE=4，则BE?DE=．
．（2017?杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78．
．（2017?绵阳）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+的最小值为．
．（2017?绵阳）如图，过锐角△ABC的顶点A作DEBC，AB恰好平分DAC，AF平分EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是．
．（2017?六盘水）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=．
．（2017?随州）在△ABC中，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE=或时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
．（2017?桂林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EACA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则的值为．
．（2017?莱芜）如图，在矩形ABCD中，BEAC分别交AC、AD于点F、E，若AD=1，AB=CF，则AE=．
．（2017?内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且DFE=45°．若PF=，则CE=．
．（2017?阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB-AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．②当点E在BA延长线上时，BE=3．
∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．综上所述，PB的长为或．
．（2017?绥化）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3B．3：2C．4：5D．4：9
40．（2017?成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（A）A．4：9B．2：5C．2：3D．：
41．（2017?兰州）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，=，则=．
．（2017?阿坝州）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=4.5．
．如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B′的坐标为（3，2）或（-9，-2）．
44．（2017?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，-4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出A2C2B2的正弦值．
【解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，A2C2B2=∠ACB，过点A作ADBC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，-4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==2，sin∠ACB===，即sinA2C2B2=．
一、选择题（每小题4分满分40分）
1．（2017?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝
．（2016?山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GHAD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
3．（2017?通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（C）A．540元B．1080元C．1620元D．1800元4．（2017?贺州）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比为（C）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
5．（2017?哈尔滨）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=
6．（2017?恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（C）A．6B．8C．10D．12
7．（2017?遵义）如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（C）A．11B．12C．13D．14
8．．（2017?常州）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（A）A．（2，7）B．（3，7）C．（3，8）D．（4，8）
．（2017?仙桃）如图，矩形ABCD中，AEBD于点E，CF平分BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：BAE=∠CAD；DBC=30°；AE=；AF=2，其中正确结论的个数有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2017?贵港）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CNDM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：△CNB≌△DMC；△CON≌△DOM；△OMN∽△OAD；AN2+CM2=MN2；若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（D）A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S△CMN=1，则S四边形ABNM
12．（2017?长沙）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），O（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是（3，0），则点A′的坐标是（1，2）．
13．（2017?攀枝花）如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E、F分别在边AC和BC上，则=．
14．（2017?广元）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEAC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：△AEF∽△CAB；tan∠CAD=；DF=DC；CF=2AF，正确的是．
（2017?十堰）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AFBG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是．
三、计算题（每小题8分，满分16分）
1．如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．求证：△ABC∽△AED．
【解答】证明：AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．==1.2，==1.2，=，BAC=∠EAD，ABC∽△AED．
15．（2017?雅安）如图，△ABC中，A（-4，4），B（-4，-2），C（-2，2）．（1）请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；（2）求出∠A1BlC1的余弦值；（3）以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2．
【解】（1）如图所示：△A1BlC1，即为所求；
（2）∠A1BlC1的余弦值为：==；（3）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（2017?毕节市）如图，在?ABCD中?过点A作AEDC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且AFE=∠D．（1）求证：△ABFBEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．
【解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，ADBC，AD=BC，D+∠C=180°，ABF=∠BEC，AFB+∠AFE=180°，C=∠AFB，ABF∽△BEC；（2）解：AE⊥DC，ABDC，AED=∠BAE=90°，在Rt△ADE中，AE=AD?sinD=5×=4，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，＝，即＝，解得：AF=2．
18．（2017?宿迁）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
【解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB，∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴＝，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴＝，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△ECF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．
五、（每小题10分，满分20分）
19．（2017?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
【解】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，
∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1-=．
20．（2017?来宾）如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至F，使AH=3FH，过F作FG⊥CD，垂足为G，过F作BC的垂线交BC的延长线于点E．（1）求证：△ADH∽△FGH；（2）求证：四边形CEFG是正方形．
【解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADH=90°，AD=DC，∵FG⊥CD，∴∠ADH=∠FGH=90°，∵∠AHD=∠FHG，∴△ADH∽△FGH；（2）证明：∵△ADH∽△FGH，∴==，∵AH=3FH，∴==3，∵GF=AD，∵DH=CH，∴CG=2GH，∴CD=6GH，∴CG=CD，∴GF=CG，∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，∴四边形CEFG是正方形．
六、（本题满分12分）
21．（2017?天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
【解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵
BE＝CE
∠B＝∠C
BP＝CQ
，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．
七、（本题满分12分）
22．（2017?绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形，AB∥CD，DCE=∠CEB，EC平分DEB，DEC=∠CEB，DCE=∠DEC，DE=DC；（2）如图，连接DF，DE=DC，F为CE的中点，DF⊥EC，DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，ABC=90°，BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，
BF＝CF
∠ABF＝∠DCF
AB＝DC
，ABF≌△DCF（SAS），AFB=∠DFC=90°，AF⊥BF；（3）CE=4．理由如下：AF⊥BF，BAF+∠ABF=90°，EH∥BC，ABC=90°，BEH=90°，FEH+∠CEB=90°，ABF=∠CEB，BAF=∠FEH，EFG=∠AFE，EFG∽△AFE，=，即EF2=AF?GF，AF?GF=28，EF=2，CE=2EF=4．
八、（本题满分14分）
23．（2017?常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC．
【解】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△DBE中，
BA＝BD
BE＝BE
，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，
∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴==，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴=，∵AB=2AG，∴=，∴2CN?AG=AF?AC，∴AG2=AF?AC．
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