一、选择题1.（2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为A．B．C．D．5【答案
】．【思路分析】设，，所以，易证，利用相似三角形的性质可求出的长度，以及，再证明，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出的长
度．【解题过程】解：设，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，故选：．【知识点】相似三角形的判定与性质2.（2019贵州省毕
节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E
在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．1
50cm2C．170cm2D．200cm2【答案】A．【思路分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽
△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设
AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在R
t△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×
12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3.（2019贵州黔西南州，10，4分）
如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC
上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2
D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥
BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余
部分的面积612（4）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4.．(2019海南,12题,3分
)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中
点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为()A.B.C.D.第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,
作DE⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP长度.【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90
°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD
,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝x,∴AC＝x＝3,∴x＝,AP＝3x＝,故选B.E第12题答
图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5.（2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角
线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（）。A、B、C、D、【答案】D
【解析】解：∵在?ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项
错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的性质6.(2019内蒙古包头市，4题，3分)
一个圆柱体的三视图如图2所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱体的体积为（）A.24B.24πC.96D.96π【答案】B.【解析
】解：由三视图可知，圆柱体的底面圆半径为2，高为6，∴圆柱体体积为πr2·h=π×22×6=24π.故选B.【知识点】三视图，圆柱
体的体积.7.（2019山东东营，10，3分）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别
交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G.给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形
CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+BE2=OG·OC．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③
④【答案】B【思路分析】由正方形的性质易得OD=OC，∠ODC=∠OCB=45°再由∠EOF＝90°，得出∠COE=∠DOF，依据
“ASA”可证△COE≌△DOF，故①正确；再由①得出∠OEF=∠OFE=45°，又∠OGE=∠FGC，∴△OGE∽△FGC，故②
正确；由①将四边形CEOF的面积转化为△ODC的面积，即正方形ABCD面积的，故③正确；由①得CF=BE，将DF2+BE2转化为E
F2，再利用△OGF∽△OFC，得出OG·OC=OF2，可得DF2+BE2≠OG·OC，故④错误．【解题过程】①∵四边形ABCD是
正方形，∴OD=OC，∠COD=90°，∠ODC=∠OCB=45°，又∵∠EOF＝90°，∴∠COE=∠DOF，∴△COE≌△DO
F，故①正确；②∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，∴∠OEF=∠OFE=45°，∴∠OEG=∠FCG，又∠OGE=∠FGC，∴△
OGE∽△FGC，故②正确；③∵△COE≌△DOF，∴S四边形CEOF=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△ODF=S△OCD
=S正方形ABCD，故③正确；④∵△COE≌△DOF，∴DF=CE，∴CF=BE，∴DF2+BE2=CE2+CF2=EF2，∵∠O
FG=∠OCF，∴△OGF∽△OFC，∴=，即OG·OC=OF2，∵EF2≠OF2，∴DF2+BE2≠OG·OC，故④错误．综上所
述，①②③正确．【知识点】勾股定理；三角形内角和定理；特殊角的锐角三角函数值；非负数的性质8.（2019黑龙江省龙东地区，20，
3）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE
，DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO︰BE＝1︰3；③DE＝BC；④S四边形OCEF＝S△AOD
，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4OFDCAEB【答案】D【思路分析】根据条件逐一判断即可.【解题过程】对于①，∵
AB=AC,AF⊥BC，∴BF=CF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，∴△ABF≌△
ECF，∴AB=EC，∴四边形ABEC是平行四边形，又∵AB=AC,∠BAC=90°，∴四边形ABEC是正方形，故①正确；对于②，
∵平行四边形ABCD，∴AD=BC,AD∥BC，∴,∴CO︰AC＝1︰3,∵AC=BE，∴CO︰BE＝1︰3，故②正确；对于③，∵
四边形ABEC是正方形，∴∠AEC=∠ECF=45°，∵AD∥BC，∴∠ADC=45°，∴△AED是等腰直角三角形，∴DE＝AD,
∵AD=BC，∴DE＝BC，故③正确；对于④，∵AB=CE,AB=CD,∴CE=CD,∴S△ACE=S△AED，∵四边形ABEC是
正方形,∴AF=EF，∴S△AFD=S△AED，∴S△ACE=S△AFD，∴S△ACE-S△AOF=S△AFD-S△AOF，即S四
边形OCEF＝S△AOD，故④正确.综上，①②③④均正确，故选D.【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定和性质；等腰直角三角形的
判定和性质；比例线段；三角形的中线；三角形的面积；勾股定理9.（2019·江苏常州，5，2）若△ABC∽△，相似比为1﹕2，则△A
BC与△的周长的比为（）A．2﹕1B．1﹕2C．4﹕1
D．1﹕4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC与△的周长的
比为1﹕2，因此本题选B．【知识点】相似三角形的性质10.（2019·江苏镇江，17，3）如图菱形ABCD的顶点B、C在x轴（B
在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是，点E(－2，0)为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当F(0，6)到
EP所在的直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（）A．B．C．D．3第17题
图【答案】A．【解析】本题考查了菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质等．当F到PE的距离为最大时，P为AB的中
点，则此时EF⊥PE，如答图，连接AC交BD于G，则BG⊥CG，BG＝．第17题答图∵OE＝2，OF＝6，∴EF＝．∵P、E分别为
AB、BC的中点，∴PE∥AC．∴EF∥BG，CG⊥EF，易证△CGB∽FOE．∴，即，解得BC＝．因此本题选A．【知识点】菱形的
性质；直角三角形三边的关系；相似三角形的判定和性质11.（2019广西贺州，7，3分）如图，在中，，分别是，边上的点，，若，，，
则等于A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】解：，，，即，解得，故选：B．【知识点】相似三角形的判定与性质12.（2019
湖南邵阳，8，3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到△，以下说法中错误的是A．△B．点、点、点三点在同一直线上C．
D．【答案】C【解析】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到△，△，点、点、点三点在同一直线上，，，故选项错误，符合题意．故
选：C．【知识点】位似变换13.（2019江苏常州，5，2分）若△ABC～△A′B''C′，相似比为1：2，则△ABC与△A''B′
C''的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【答案】B【解析】解：∵△ABC～△A′B''C′，相似比为1：2，
∴△ABC与△A''B′C''的周长的比为1：2．故选：B．【知识点】相似三角形的性质14.（2019江苏镇江，17，3分）如图，菱
形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好
落在的中点处，则菱形的边长等于A．B．C．D．3【答案】A【解析】解：如图1中，当点是的中点时，作于，连接．，，，，，，，当点与
重合时，的值最大．如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．，，，，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，故选：．【知识点】菱形
的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短15.（2019内蒙古赤峰，12，3分）如图，D、E分别是△ABC边A
B，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】
解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得，AE＝3，故选：C．【知识点】相似三角形的判定与性质16
.（2019四川省雅安市，8，3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（
）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影
三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出右图中的阴影三角形与已知三角形相似，已知的三角形的各边分别为1，，，A中
三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；B中三边分别为：，2，，三边与已知三角形的各边对应成比例
，故两三角形相似；C中三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；D中三边分另为：2，，，三边不能与
已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选：B．【知识点】相似三角形的判定；及勾股定理二、填空题1.（2019广西河池，
T14，F3分）如图，以点为位似中心，将放大后得到，，，则．【答案】．【解析】解：以点为位似中心，将放大后得到，，，．故答案为：
．【知识点】位似变换2.（2019贵州遵义，16，4分）如图，已知O的半径为1，AB，AC是O的两条弦，且AB=AC，延长BO
交AC于点D，连接OA,OC，若,则OD=【答案】【解析】∵AB=AC，∴,∴D为AC的黄金分割点，∴∵AB=AC，∴∠AB
C=∠ACB,∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABO=∠ACO,由于AB=AC,AO=AO,∴△BAO≌△CAO，∴∠BA
O=∠DA0∴∵AB=AC∴∴，∴OD=【知识点】等边对等角，三角形相似，黄金分割，三角形内角平分线定理3.（2019·湖南张家
界，14，3）如图：正方形ABCD的边长为1，点E、F分别为BC、CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD
＝．第14题图【答案】2．【解析】如答图，过点D作DG⊥AE于点G．第14题答图∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，
∠ABC＝∠BCD＝90°．∵点E、F分别为BC、CD边的中点，∴BE＝CF＝AB＝．∴△ABE≌△BCF．∴∠CBF＝∠BAE．
∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝90°即∠APB＝90°．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝．在Rt△AB
E中，BP⊥AE，∴△APB∽△ABE．∴．∴AP＝＝．∴PE＝．∴BP＝．易证△AGD≌△BPA，∴DG＝AP＝，AG＝BP＝．
∴GP＝．在Rt△DGP中，tan∠APD＝＝2．答案为2．【知识点】正方形的性质；线段的中点；全等三角形的性质与判定；勾股定理；
相似三角形的性质与判定；锐角三角函数4.（2019湖南郴州，10，3分）若，则．【答案】【解析】解：∵，∴2x+2y＝3
x，故2y＝x，则．故答案为：．【知识点】比例的性质5.(2019内蒙古包头市，20题，3分)如图10，在Rt△ABC中，∠A
BC=900，BC=3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点(不与点B，C重合)，过点B作BE⊥BD交DF延长线于点E
，连接CE，下列结论：①若BF=CF，则CE2+AD2=DE2；②若∠BDE=∠BAC，AB=4，则CE=；③△ABD与△CBE一
定相似；④若∠A=300，∠BCE=900，则DE=.其中正确的是.(填写所有正确结论的序号)【答案】①②④【思路分析】（1）由
∠ABC=900，D为AC中点可知△BCD是等腰三角形，又因为BF=CF可知DF⊥BC，BF=CF即DF为BC的垂直平分线，从而得
到CE=BE；又因为∠DBE=900，故BD2+BE2=DE2，在根据BD=AD，BE=CE,即可得到结论；（2）由∠BDE=∠B
AC可证明DF∥AB，从而得到DF是△ABC的中位线，故DF=AB=2；再判定△BDF∽△CDB得到，求出DE的长；最后在Rt△B
DE中求出BE的长，由①可知CE=BE即可求出答案；（3）由∠A=300，BD=CD得到△BCD为等边三角形，故∠DBC=600；
由∠DBE=900得到∠CBE=300，由∠BCE=900，BC=3求出BE的的长度；最后在Rt△BDE中，利用勾股定理求出DE的
长.【解题过程】解：对于①，∵∠ABC=900，D为AC中点，∴BD=CD=AD=AC，又∵F为BC的中点，∴DF⊥BC，BF=C
F，∴DF为BC的垂直平分线，∴EB=EC，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，又∵BD=AD，BE=CE,∴AD2+CE2
=DE2.故①正确；对于②，在Rt△ABC中，AC=.由①可知AD=BD=AC=，∴∠A=∠ABD，又∵∠BDE=∠BAC，∴∠B
DE=∠ABD，∴DF∥AB，∴∠DFC=∠ABC=900，即DF⊥BC，∵BD=CD，∴BF=FC，又∵AD=CD，∴DF为△A
BC的中位线，∴DF=AB=2.∵∠DBE=∠DFB，∠BDF=∠EDB，∴△BDF∽△CDB，∴，即DE=.由①可知CE=BE=
.故②正确.对于③，∵△ABD一定是等腰三角形，而△CBE不一定是等腰三角形，∴△ABD和△CBE不一定相似.故③错误；对于④，∵
∠A=300，∠ABC=900,∴∠ACB=600，又∵BD=DC，∴△BCD是等边三角形，∴∠DBC=600，又∵∠DBE=90
0,∴∠CBE=∠DBE-∠DBC=300，在Rt△BCE中，∵∠CBE=300，∴cos∠CBE=,∴BE==.在Rt△BDE中
，DE==.故④正确.故答案为①②④.【知识点】直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，特殊角三角函数.6.（2019年陕
西省，14，3分）如图，在Rt△ABC中，，，BD是△ABC的角平分线，过点D作交边于点E．若，则图中阴影部分面积为．第14题答
图【答案】1【思路分析】利用角平分线的定义求得，所以△DBE是直角三角形，过点D作AB,CD的垂线，然后利用三角形相似得到边的比
例关系，通过勾股定理，即可求出需要的边的长度，利用面积公式，可以求得最终答案．【解题过程】过点D作，垂足为点F，过点D作，垂足为点
G，因为，，所以，因为，，，所以，所以四边形DFBG为矩形，因为BD是△ABC的角平分线，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，,又
因为,所以（等腰三角形三线合一），所以（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），因为四边形DFBG为矩形，，所以矩形DFBG为
正方形，所以，，所以∽，∽所以，，设，则，所以，在Rt△ABC中，由勾股定理得，，即，解得或（舍去），所以，，，所以阴影部分的面积
等于【知识点】角平分线的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、用割补法求不规则几何图形的面积．7.(2019
黑龙江大庆,14题,3分)如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点G,若DG＝1,则AD＝______
__.第14题图【答案】8【解析】过点D作DF∥BE交AC于点F,所以,因为AE＝EC,所以,所以,因为DG＝1,所以AD＝3第1
4题答图【知识点】平行线分线段成比例8.2019黑龙江省龙东地区，9，3）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝
10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的
长为________．【答案】3或.【思路分析】在△BDE中，∠B是锐角，∴有两种可能，∠DEB或∠EDB是直角，由此画出示意图，
逐步求解即可.【解题过程】如图1，∠DEB是直角时，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,设CD=x，则BD=8
-x，由折叠知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;如图2，∠EDB是直角时，E
D∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，综上，CD的长为3或.图1图2【知识点】轴对称；勾股定理；相似三角形9.（201
9吉林省，13，3分）在某一时刻，侧的一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为m
【答案】54【解析】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系可得，∴∴可求得这栋楼的高度为54米.【知识点】由同一时刻阳光下的影子与
物高之间的关系，图形的相似的实际应用10.（2019吉林省，12，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=10，BD⊥AD，若将△
BCD沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为【答案】20【解析】∵BD⊥AD，E为AB的中点，∴BE
=DE==5，∵折叠，∴BC=BE=5,CD=DE=5,∴四边形BCDE的周长为5+5+5+5=20【知识点】直角三角形斜边的中线
等于斜边的一半，折叠的性质11.（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3．点P是AD的中点，点E
在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝__________．第18题图
【答案】6．【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股
定理，求得BD＝10，然后由“AD＝3AB＝3．点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝，CE＝2，这样由tan
∠DEC＝；第四步过点P作PH⊥BD于点H，在BD上依次取点M、N，使MH＝NH＝2PH，于是因此△PMN是所求符合条件的图形；第
五步由△DPH∽△DBA，得，即，得PH＝，于是MN＝4PH＝6，本题答案为6．第18题答图【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质
与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题12.（2019辽宁本溪，13，3分）如果关于x的一元二次方程x2-4x
+k=0有实数根，那么k的取值范围是.【答案】k≤4.【解析】解：根据题意得：△=16-4k≥0，解得：k≤4，故答案为k≤4．
【知识点】根的判别式．14.（2019辽宁本溪，14，3分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以
点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为.【答案】（2，1）或（-2，-1）．【解
析】解：以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（-4×，
-2×），即（2，1）或（-2，-1），故答案为（2，1）或（-2，-1）．【知识点】坐标与图形性质；位似变换．13.（2019
江苏常州，18，2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上
．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝
90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD，BD10，∵点P是AD的中
点，∴PDAD，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴，即，解得：PF，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD
，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90
°，∴△PNF∽△DEC，∴2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；故答案为：6．【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似
三角形的判定与性质；勾股定理14.（2019四川泸州，16，3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边
CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．【答案】9【解析】解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰R
t△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴
∠DHA＝∠DFA＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴，∴DH＝9，∴AD＝
9，故答案为：9．【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质三、解答题1.（2019广西北部湾，25，10分）如
图1，在正方体ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F.（1
）求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；（3）如图3，在（2）的条件下，过点
C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值.【思路分析】本题主要考查全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质以及正方
形的性质.（1）根据BF⊥CE可得∠GCB+∠CBG=90°，根据正方形的性质可得∠CBE=90°=∠A，BC=AB，进而得出∠G
CB=∠FBA，证明出结论；（2）过点D作DQ⊥CE于点H，设CD=BC=2a，首先根据E为AB中点以及勾股定理可得CE的长，根据
等面积法求出BG和CG的长，然后根据正方形的性质可证△CQD≌△BGC，得出GQ=CQ，最后证明出△DGQ≌△DCQ即可；（3）由
（2）可求出CH的长，根据∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°可证△CHD∽△DHM，进而得出HM的长，根据∠N
GH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°可证△NGH∽△GCH，进而得出MN的长，进而求出答案.【解题过程】（1）证明：
∵BF⊥CE，∴∠CGB=90°，∴∠GCB+∠CBG=90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB，∴
∠FBA+∠CBG=90°，∴∠GCB=∠FBA，∴△ABF≌△BCE（ASA）.（2）证明：过点D作DQ⊥CE于点H，设CD=B
C=2a，∵E为AB中点，∴EA=EB=a，CE==,在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG·CE=CB·EB，∴BG=，CG==
.∵∠DCE+∠BCE=90°，∠CBF+∠BCE=90°，∴∠DCE=∠CBF.∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°，∴△C
QD≌△BGC（AAS），∴CQ=BG=，GQ=CG-CH==CQ.∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°，∴△DGQ≌△DCQ
（SAS）∴CD=GD.（3）解：S△CDG=·CG·DQ=·CH·DG，CH====，在Rt△CHD中，CD=2a，DH==.∵
∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°，∴∠MDH=∠HCD，∴△CHD∽△DHM，∴CH:DH=DH:HM=8:
6=4:3,∴HM=，在Rt△CHG中，CG=，CH=，GH==，∵∠NGH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°，∴∠N
GH=∠HCG，∴△NGH∽△GCH，∴=，∴HN===，∴MN=HM-HN==，∴==.【知识点】全等三角形的判定；相似三角形的
判定与性质；正方形的性质.2.(2019黑龙江绥化,23题,9分)如图①,在正方形ABCD中,AB＝6,M为对角线BD上任意一点
(不与B,D重合)连接CM,过点M作MN⊥CM,交线段AB于点N.(1)求证:MN＝MC;(2)若DM:DB＝2:5,求证:AN＝
4BN;(3)如图②,连接NC交BD于点G,若BG:MG＝3:5,求NG·CG的值.第28题图【思路分析】(1)构造全等三角形,通
过证全等得到线段相等;(2)求出相应线段长度,即可得到结论;(3)旋转构造全等三角形,将条件转化,在△BGH中,利用边的比例关系,
结合相似,得到比例式,进而求得结果.【解题过程】(1)如图,过M分别作ME∥AB交BC于点E,MF∥BC交AB于点F,则四边形BE
MF是平行四边形,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC＝90°,∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°,∴ME＝MF,∵CM⊥MN,
∴∠CMN＝90°,∵∠FME＝90°,∴∠CME＝∠FMN,∴△MFN≌△MEC,∴MN＝MC;(2)证明:由(1)得:FM∥A
D,EM∥CD,∴,∴AF＝2.4,CE＝2.4,∵△MFN≌△MEC,∴FN＝EC＝2.4,∴AN＝4.8,BN＝1.2,∴AN
＝4BN;(3)把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC,连接GH,∵△DMC≌△BHC,∠BCD＝90°,∴MC＝HC,DM
＝BH,∠CDM＝∠CBH,∠DCM＝∠BCH＝45°,∴∠MBH＝90°,∠MCH＝90°,MC＝MN,MC⊥MN,△MNC是等
腰直角三角形,∴∠MNC＝45°,∴∠NCH＝45°,∴△MCG≌△HCG,∴MG＝HG,∵BG:MG＝3:5,∴设BG＝3a,则
MG＝GH＝5a,在Rt△BGH中,BH＝4a,则MD＝4a,∵正方形ABCD的边长为6,∴BD＝6,∴DM+MG+BG＝12a＝
6,∴a＝,∴BG＝,MG＝,∵∠MGC＝∠NGB,∠MNG＝∠GBC＝45°,∴△MGC∽△NGB,∴,CG·NG＝BG·MG＝
.第28题答图【知识点】全等三角形,平行线分线段成比例,旋转,相似三角形3.（2019·湖南张家界，17，5）如图，平行四边形A
BCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若B
C＝6，DG＝4，求FG的长．第17题图【思路分析】（1）先由平行四边形的性质，得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
再由平行线性质及等式性质，得∠E＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，BE＝CD，最后利用全等三角形知识锁定答案．（2）利用相似三角形的
判定与性质，证明△AGD∽△CGF，再将相关数据代入即可求出FG的长．【解题过程】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD
，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC．∴∠E＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∴△BEF≌△CDF．∴
BF＝CF．（2）∵BC＝6，BF＝CF，∴CF＝3，AD＝6．∵AD∥BC，∴△AGD∽△CGF．∴．∴FG＝＝＝2．【知识点】
全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．4.（2019湖南郴州，25，10分）如图1，矩形ABCD中，
点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使
点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对
称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DG
F＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【思路分析】（1）由折叠图形的性质可得∠DA1E＝∠EB1H＝90°，∠DEA1+
∠HEB1＝90°从而可得∠DEA1＝∠EHB1，依据两个角对应相等的三角形相似可得△A1DE∽△B1EH；（2）由A1恰好落在直
线MN上可知A1在EF的中点，由SAS易证△A1DE≌△A1DF，即可得∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝30°，（3）将△DGE
逆时针旋转60°到△DG''F位置，由旋转的旋转将DG，EG，FG集中到△G′GF中结合∠DGF＝150°，可得△G′GF为直角三角
形，由勾股定理可得G''G2+GF2＝G''F2，即可证明DG2+GF2＝GE2，【解题过程】解：（1）证明：由折叠的性质可知：∠DA
E＝∠DA1E＝90°，∠EBH＝∠EB1H＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH，∴∠DEA1+∠HEB1＝90°
．又∵∠HEB1+∠EHB1＝90°，∴∠DEA1＝∠EHB1，∴△A1DE∽△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如
下：∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中，∴△A1DE≌△A1DF
（SAS），∴DE＝DF，∠FDA1＝∠EDA1，又∵△ADE≌△A1DE，∠ADF＝90°．∴∠ADE＝∠EDA1＝∠FDA1＝
30°，∴∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可
知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG''F位置，如解图（1），∴G''F＝GE，DG''＝DG，∠GDG''＝60°
，∴△DGG''是等边三角形，∴GG''＝DG，∠DGG''＝60°，∵∠DGF＝150°，∴∠G''GF＝90°，∴G''G2+GF2＝G
''F2，∴DG2+GF2＝GE2，【知识点】翻折变换；相似三角形证明；全等三角形的判定和性质；勾股定理矩形的性质5.(2019内
蒙古包头市，22题，8分)如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，∠BAD=900，AC交BD于点E，∠ABD=30
0，AD=，求线段AC和DE的长.【思路分析】在Rt△ABD中，由∠ABD=300，AD=，计AB和BD的长；在Rt△ABC中，由
BC=AB=3，计算AC的长；利用AD∥BC，得出△ADE∽△CBE，从而，代入数值即可求出DE的长.【解题过程】解：在Rt△AB
D中，∵∠ABD=300，∴BD=2AD=2，∴AB==3.∵AD∥BC，∴∠ABC=1800-∠BAD=900，在Rt△ABC中
，BC=AB=3,∴AC=.∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴，即DE=BE，∴DE=BD==3-.∴线段AC和DE的长分别为
和3-.【知识点】解直角三角形，相似三角形性质，勾股定理.6.(2019内蒙古包头市，25题，12分)如图13，在正方形ABCD中
，AB=6，M是对角线BD上一个动点，0＜DM＜，连接AM，过点M作MN⊥AM交边BC于N.（1）如图13①，求证：MA=MN；（
2）如图13②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；（3）如图13③，过点N作NH⊥BD
于H，当AM=2时，求△HMN的面积.【思路分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，利用正方形的性质判定△AMF≌△
NMG即可得到MA=MN；（2）由条件可判定Rt△AMN∽Rt△BCD，故又因为，可计算出BN的长；在Rt△AMN中，由O为AN中
点可知，OM=AN，算出OM的长；再根据△AOP∽△ABN可知，计算PO的长，最后由PM=PO+OM即可求出PM的长；（3）过点A
作AF⊥BD于F，可判定△AFM≌△MHN，得到AF=MH，HN=FM.由△AFB是等腰直角三角形且AB=6可求出AF的长，从而得
到MH的长；由△BHN是等腰直角三角形，得到BH=HN，从而由S△HMN=HM·HN即可算出答案.【解题过程】解：（1）如图3，过
点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，∴∠MFB=∠BGM=900,∵正方形ABCD，∴∠DAB=900,AD=AB，∴∠ABD
=450，同理可证，∠DBC=450,∴∠ABD=∠DBC，∵MF⊥AB，MG⊥BC，∴MF=MG，∵正方形ABCD，∴∠ABN=
900,∵∠MFB=∠FBG=∠BGM=900，∴∠FMG=900，∴∠FMN+∠NMG=900,∵MN⊥AM，∴∠NMA=900
,∴∠AMF+∠FMN=900，∴∠AMF=∠NMG，∵MF⊥AB，∴∠AFM=900，∴∠AFN=∠NGM=900，∴△AMF≌
△NMG，∴MA=MN.（2）如图4，在Rt△AMN中，∵∠AMN=900，MA=MN,∴∠MAN=450，在Rt△BCD中，∵∠
DBC=450，∴∠MAN=∠DBC，∴Rt△AMN∽Rt△BCD，∴,∵在Rt△ABD中，AB=AD=6，∴BD=.∵，∴，∴A
N=，∴在Rt△ABN中，BN==4,∵在Rt△AMN中，MA=NM，O是AN的中点，∴OM=AO=ON=AN=,OM⊥AN，∴P
M⊥AN，∴∠AOP=900，∴∠AOP=∠ABN=900，又∵∠PAO=∠NAB，∴△AOP∽△ABN，∴，即.∴OP=.∴PM
=PO+OM=.（3）如图5，过点A作AF⊥BD于F，∴∠AFM=900，∴∠FAM+∠AMF=900，∵MN⊥AM，∴∠AMN=
900，∴∠AMF+∠HMN=900,∴∠FAM=∠HMN,∵NH⊥BD，∴∠NHM=900,∴∠NHM=∠AFM，∵MA=MN，
∴△AFM≌△MHN,∴AF=MH，在Rt△ABD中，AB=AD=6，∴BD=.∵AF⊥BD，∴AF=BD=.∴MH=.∵AM=，
∴MN=.在Rt△MNH中，HN=.∴S△HMN=HM·HN=×=3，∴△HMN的面积是3.【知识点】全等三角形的判定、相似三角形
的判定和性质、正方形的性质，勾股定理.7.（2019山东东营，24，10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4
，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当
α=0°时，=____________；②当α=180°时，=____________．（2）拓展探究试判断：当0°≤
α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，
求线段BD的长．【思路分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、
AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．（2）
首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情形：①
如图3﹣1中，当点E在AV的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．【解题过程】解：（1）①当α＝0°时，
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1
﹣1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵
∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝．（3）①如图3﹣1中，当点E在AV的延长线上时，
在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时
，易知BE＝1，AE＝4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，综上所述，满足条件的BD的长为．【知识点】几何变换综合题；旋转的性质；平行线分线
段成比例定理；相似三角形的判定与性质8.（2019年陕西省，17，5分）（本题5分）如图，已知锐角△ABC，点D是AB边上的一定
点，请用尺规在AC边上求作一点E，使△ADE与△ABC相似（作出符合题意得一个点即可，保留作图痕迹，不写作法）．【思路分析】最简
单的作法为过点D，作边BC的平行线，交AC于点E，这时，因为，所以△ADE∽△ABC，即可符合题意，还有一种复杂的作法，过点D，作
，这时，也可使得△ADE与△ABC相似，但是方法复杂，不建议考试的时候学生使用．【解题过程】方法一：过点D，作边BC的平行线，交
AC于点E，（用尺规作图，作平行线的方法）因为，所以△ADE∽△ABC．方法二：过点D，作，（用尺规作图，作一个角等于已知角
的方法）因为，，所以△ADE∽△ACB．【知识点】尺规作图．9.（2019贵州省安顺市，24，12分）（1）如图①，在四边
形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方
法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、
AD、DC之间的等量关系为；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中
点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．【思路分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F
，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB＝FC，根据等腰三角形的判定得到DF＝AD，证明结论；（2）延长AE交DF的
延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；【解题过程】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠
F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠D
AF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD，∴AD＝DC+CF＝DC+AB，故答案为：AD＝AB+DC；3分（2）AB＝AF+
CF，4分证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，5分∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，第24题答图∴∠BAE＝∠
G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC，10分∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG，∵AB∥C
D，∴∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF；12分【知识点】全等三角形的判定和性质、相似三角形
的判定和性质，10.（2019黑龙江省龙东地区，28，10）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB,BC的
长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根（BC>AB），OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，
从点E出发沿折线段ED→DA向点A运动，运动时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S.（1）求点D的坐
标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，
直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【思路分析】对于（1），先解方程，得AB,BC的长，再根据矩形、OA=2OB，可得点D的
坐标；对于（2），显然，要分两种情况讨论，即点P在ED上运动和点P在DA上运动两个阶段，得到两个函数关系式；对于（3），仍然要分情
况讨论，一是PB=PE，二是BE=BP，三是EB=EP.【解题过程】解：（1）∵x2-7x+12=0，∴x1=3，x2=4，………
…………………………………（1分）∵BC＞AB，∴BC=4,AB=3,……………………………………………………………………………（
1分）∵OA=2OB，∴OA=2,OB=1,∵矩形ABCD，∴点D的坐标为（-2,4）.………………………………………………………
………（1分）（2）设EP交y轴于点F，当0≤t≤2时，如图1，PE=x，∵CD∥AB，∴△OBF∽△EPF，∴,∴，∴OF=，∴
S=OF·PE==，……………………………………………………（2分）当2＜t≤6时，如图2，AP=6-t，∵OE∥AD，∴△OBF
∽△ABP，∴,∴，∴OF=，∴S=OF·OA==，……………………………………………（2分）综上所述，.（3）存在，P1(-2,
);…………………………………………………………………………（1分）P2(-2,);…………………………………………………………
…………………………（1分）P3(-2,4-).…………………………………………………………………………………（1分）理由如下：
①如图3，作BE的中垂线，交AD于点P1，连接P1B,P1E，设点P1的坐标为（-2，m），在Rt△ABP1中，由勾股定理得AB2
+AP12=P1B2，即32+m2=P1B2，在Rt△EDP1中，由勾股定理得ED2+DP12=P1E2，即22+(4-m)2=P
1E2，∵P1B=P1E，∴32+m2=22+(4-m)2，解得m=，∴P1(-2,);②如图4，当BE=BP2时，在Rt△BCE
中，由勾股定理得BE==,∴BP2=，在Rt△ABP2中，由勾股定理得AP2==,∴P2(-2,);③如图5，当EB=EP3时,在
Rt△DEP3中，由勾股定理得DP3==,∴AP3=4-,∴P3(-2,4-).综上，点P的坐标为P1(-2,)或P2(-2,)或
P3(-2,4-).【知识点】一元二次方程的解法；矩形的性质；相似三角形的性质与判定；三角形的面积；等腰三角形的定义；勾股定理11
.（2019吉林长春，22，9分）教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.请根据教材提示，结合图①，写出完整
的证明过程.结论应用：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F.如图②，若平行四边形
ABCD为正方形，且AB=6，则OF的长为如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则平行四边形ABCD的面积为
【思路分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据D、E分别是BC、AB的中点可得△DEG∽△ACG，进而得出，进而证明出结论；
（1）首先根据四边形ABCD是正方形可得△BEF∽△DAF，进而得出，进而得出，然后根据OF=BD-BD即可得出答案；（2）连接O
E，根据（1）可得BF=BD，OF=BD，进而得出=2，然后根据△BEF和△OEF的高相同可得和，进而求出S△BOC的面积，进而得
出答案.【解题过程】证明：∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，DE=AC，∴△DEG∽△ACG，∴，∴，∴.（1）答案：
.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，OB=BD，∴△BEF∽△DAF.∵E为边BC的中点，∴，∴，∴OF=BD-BD=BD.
∵AB=6，∴BD=6，∴OF=.故答案为.（2）答案：6.连接OE.由（1）可知BF=BD，OF=BD，∴=2.∵△BEF和△O
EF的高相同，∴,同理可得，∴，∴，∴.【知识点】相似三角形的判定与性质.12.（2019吉林长春，23，10分）如图，在Rt△
ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15.点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度
均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、P
Q为邻边作PQMN，设PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒.①AB的长为②PN的长用含t的代数式表示
为当PQMN为矩形时，求t的值；（3）当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行
于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值.【思路分析】本题主要考查勾股定理以及相似三角形的判定与性质，（1）根据勾股定理
即可求出AB的长，根据PN⊥AB可得△APN∽△ABC，进而得出PN=，进而得出答案；（2）当PQMN为矩形时，PQ⊥PN可得△C
PQ∽△CAB，进而得出，求出t；（3）当0＜t≤时，过点Q作QD⊥AB，垂足为D，可得△QDB∽△ACB，进而得出ND的长，进而
求出S；当＜t≤3时，设QM与AB的交点为D，可得△QDB∽△ACB，进而得出ND的长，进而求出S；（4）当直线经过MN的中点时，
设过点P且平行于BC的直线交MN于D点，与AB交点为F，过点N作NE⊥PD，垂足为E，可得△DEN∽QCP，进而得出，根据PD∥B
C可得PF，NF的长，进而求出NE，再根据D是MN的中点可得，解出t；当直线经过QM的中点时，设过点P且平行于BC的直线交QM于D点，与AB交点为F，过点Q作QE⊥PD，垂足为E，可得△NPF∽△EDQ，进而得出，根据PD∥BC可求出PF，NF的长，根据D为QM的中点可得，解出t即可.【解题过程】解：（1）答案：25；3t.①∵AC=20，BC=15，∠C=90°，∴AB=;②∵PN⊥AB，∴∠PNA=90°，∴△APN∽△ABC，∴，∴PN==3t.故答案为25；3t.（2）当PQMN为矩形时，PQ⊥PN.∵PN⊥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴，∴，解得t=.（3）当0＜t≤时，过点Q作QD⊥AB，垂足为D.∵∠C=90°，∴△QDB∽△ACB，∴，∴DB=，由（1）知AN=4t，∴ND=25-(9-3t)-4t=16-t，∴S=(16-t)·3t=-3t2+48t；当＜t≤3时，设QM与AB的交点为D.根据题意可得△QDB∽△ACB，∴，∴，∴BD=9-3t，∴ND=25-(9-3t)-4t=16-t，∴S==t2-14t+96，综上所述.（4）当直线经过MN的中点时，如图，设过点P且平行于BC的直线交MN于D点，与AB交点为F，过点N作NE⊥PD，垂足为E.∵PD∥BC，MN∥PQ，∴∠PDN=∠DPQ，∠DPQ=∠CQP，∴∠PDN=∠CQP.∵∠C=90°，∴△DEN∽QCP，∴.∵PD∥BC，∴，∴PF=，NF=，∴NE=.∵D是MN的中点，∴，解得t=；当直线经过QM的中点时，如图，设过点P且平行于BC的直线交QM于D点，与AB交点为F，过点Q作QE⊥PD，垂足为E.∵MQ∥PN，∴∠NPF=∠QDE，∴△NPF∽△EDQ，∴.∵PD∥BC，∴，∴PF=，NF=.∵D为QM的中点，∴DQ=1.5t，∴，解得t=.【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；分类讨论的思想.13.（2019广西梧州，25，10分）如图，在矩形中，，，平分，分别交，的延长线于点，；连接，过点作，分别交，于点，．（1）求的长；（2）求证：．【思路分析】（1）由，平分，可得，得出，可证出，则，可求出长；（2）由，可求出，则，可得，则，根据，可得，结论得证．【解题过程】解：（1）解：矩形中，，，平分，，，，，，，，，，，设，则，解得；（2），，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，又，，．【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质14.（2019四川省雅安市，21，10分）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE=OF；（2）若AD=4，AB=6，BM=1，求BE的长．【思路分析】（1）由平行四边形的性质为△AOE与△COF全等提供条件证得两条线段相等；（2）由ON∥BC证得△AON与△ABC相似，求得ON、BN的长，再由△ONE与△MBE相似，求出BE的长．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，BC=AD，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）过点O作ON∥BC交AB于N，易证△AON∽△ABC，∵OA=OC，∴ON=BC=2，BN=AB=3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴，∴，∵BM=1，∴BE=1．【知识点】平行四边形；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质时代博雅解析时代博雅解析 |
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