初中数学勾股定理填空题专题训练姓名：__________班级：__________考号：__________
一、填空题（共22题）
1、如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．
2、3，4，a和5，b，13是两组勾股数，则a＋b的值是________．
3、，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”．已知米，米，只为少走______米的路．
4、6cm和8cm，则第三边上的高为________.
5、3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____．
6、中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，且AD＝12，则BC＝_．
7、ABC中，，且，则_____.
8、10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行_______cm.
9、7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．
10、3、4．则第三边长为________．
11、∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________.
12、ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为_______．
13、中，，过点作于点，，，则________
14、是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．
15、中，，D，E分别是，的中点，连接，，若，，则点A到BC的距离是________．
16、ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分別交BD，CD于点M，N．若，则__________．
17、4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为_______________cm2．
18、ABCD中，AB＝5，BD＝8，P为对角线BD上的一个动点，过点P分别作AD、AB边的垂线，垂足分别为E、F两点，连接PE，PF，则PE+PF＝__________________．
19、1，则与的周长比为_________．
20、ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知，．当折痕GH最长时，线段BH的长为_________．
21、的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
22、的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为__________，最大值为__________．
============参考答案============
一、填空题
1、
【分析】
连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．
【详解】
解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，
设AC=BC=a，
∵
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
设CE=x，则FE=
在Rt△AFE中，
∴
解得，，（不符合题意，舍去）
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△BGE中，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．
2、17
解：∵3，4，a和5，b，13是两组勾股数，∴a=5，b=12，∴a+b=17．故答案为17．
3、20
先用勾股定理求出AC的长，然后再求出少走的路即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB=40m，BC=30m，则：AC==50m
所以少走的路为40+30-50=20m．
故答案为20．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，弄清题意灵活运用勾股定理是解答本题的关键．
4、4.8cm
先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解.
【详解】
解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，CD⊥AB，
则（cm），
由，
得，解得CD=4.8(cm).
故答案为4.8cm.
【点睛】
本题考查了勾股定理和用直角三角形的面积求斜边上的高的知识，属于基础题型.
5、4
【详解】
解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；
②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，
故答案是：4或．
6、144
【详解】
：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2-AD2=132-122=25，
∴BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2-AD2=152-122=81，
∴CD=9，
∴BC的长为BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2-AD2=132-122=25，
∴BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2-AD2=152-122=81，
∴CD=9，
∴BC的长为DC-BD=9-5=4．
故答案为14或4．
7、6
因为b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=9×4=36，所以b=6，故答案为6.
8、
把圆柱展开后如图所示，则AC=5，BC=4，根据勾股定理得AB2=AC2+BC2=52+42=25+16=41，所以AB=，故答案为.
9、17
试题解析：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
10、5
【详解】
试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：
①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5．
考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．
11、13
分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长.
详解：在直角三角形ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理,得AB==5.在Rt△ABD中,BD=12,根据勾股定理,得AD==13.故答案为13.
点睛：本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股定理进行计算是解本题的关键.
12、36
先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【详解】
如图，连接BD，
在Rt△ABD中，AB=3，DA=4，
根据勾股定理得，BD=5，
在△BCD中，BC=12，CD=13，BD=5，
∴BC2+BD2=122+52=132=CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=AB?AD+BC?BD
=×3×4+×12×5
=36
故答案为：36．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理及逆定理，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出△BCD是直角三角形．
13、15
因为四边形是平行四边形，所以，，在中，求出的长，即可算出的长．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，
过点作于点，，，
在中，，
．
，
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理解三角形，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14、
设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】
解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
15、
根据题意可求得AC、AB、BC的长度，设点A到BC的距离是h，由的面积相等可列式，从而点A到BC的距离即可求解．
【详解】
解：∵在中，，D，E分别是，的中点，，
∴，DE//AC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
∴∠ADE=90°，
，
∴，
∴，
设点A到BC的距离是h，
则，
即，
解得：，
∴点A到BC的距离是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用、三角形中位线的性质，三角形的面积公式，解题的关键是用勾股定理和中位线的性质求出各线段的长度．
16、
过点E作EP⊥BD于P，将∠EDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的长，然后用三角函数的定义即可解决．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC=CD=DA=1，．
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．
∵AB∥DC，
∴．
∴．
∴．
整理得，．
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴．
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则．
∵，
∴．
解得，．
∴．
∴在Rt△DEP中，
．即．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．
17、
过点A作，，垂足分别为E，F，证明，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用勾股定理求出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．
【详解】
解：过点A作，，垂足分别为E，F，如下图：
∴
由题意可得：
∴为等腰直角三角形，
∴
∵纸条的宽都为4cm
∴
由勾股定理得：
∵
∴四边形是平行四边形
在和中
∴
∴，
∴平行四边形为菱形
重叠部分（图中阴影部分）的面积
故答案为
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，巧作辅助线与证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
18、/4.8
连接AC交BD于点O，连接PA，由菱形的性质及勾股定理求得OA的长，再根据即可求得PE+PF的长．
【详解】
连接AC交BD于点O，连接PA，如图
∵四边形ABCD是菱形
∴AD=AB=5，OA⊥OB，OB=BD=4
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
∵
∴
即
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理及面积，关键是得到面积关系式．
19、
设、分别与交于点、，则，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答．
【详解】
如图，
设、分别与交于点、，则，
∴,
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
由图可知：，
∴，
即与的相似比为，
∴与的周长比为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．
20、6.8）
【分析】
根据题意确定点E与点D重合时，折痕GH最长，根据翻折变换的性质得出，设，则在中根据勾股定理列出方程，解方程即可，再用即可求出答案．
【详解】
当点E与点D重合时，GH最长，如图所示，
由折叠可知：
设，则
∵四边形ABCD为矩形，
∴
在中，
∵
∴，
解得：
∴
故填：（或6.8）．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，解题关键是确定折痕最长时E点的位置，根据题意列出方程求解．
21、-3
根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，
∴∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，
∴OG＝9，
∴OP＝，
∴FP＝-3，
∴BE＋FE的长度最小值为-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了轴对称?最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
22、
先作出图形，根据是的中点，平分可知，根据将军饮马知识即可求出最小值，当P与点D重合时求出最大值．
【详解】
如图，连接，
是的中点，AE平分
设点到、的距离为,点到的距离为
AE平分
（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
是等腰三角形
是的中点,AE平分
（三线合一）
又四边形是菱形
是等边三角形
已知菱形的面积为
设菱形的边长为
则
解得：
关于对称
+
则+最小值为：
当点P与点D重合时+最大
过作垂足为
四边形是菱形
是的中点,
,
在中
则
+最大为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，三线合一，勾股定理，线段和最值问题，由于题目没有给图形，能够根据题中信息正确的作出图形，并判断出是等边三角形是解题的关键．
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
|
|
