2020年黑龙江省七台河市中考数学试卷（农垦、森工用）一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．a
2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x62．（3分）下列图标中是中心
对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个
数最少是（）A．2B．3C．4D．54．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数
据x是（）A．1B．2C．0或1D．1或25．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值
是（）A．0B．1C．﹣3D．﹣16．（3分）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y的图象上，对角线AC，BD的交
点恰好是坐标原点O，已知B（﹣1，1），则k的值是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣17．（3分）已知关于x的分式方程4的解为
非正数，则k的取值范围是（）A．k≤﹣12B．k≥﹣12C．k＞﹣12D．k＜﹣128．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC
、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48
D．969．（3分）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案
（）A．2种B．3种C．4种D．5种10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠D
AM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG
的周长为（1）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BEa时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（
）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤二、填空题（每题3分，满分30分）11．（3分）2019年1月1日，“学习强国”平台全
国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为．1
2．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的
情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．14．（3分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些
球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解是x＞1，则a的取值范围是
．16．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝°．17．（3分）小明在手工制作课上，
用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．18．（3分）如图，在边长为1的
菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．19．（3
分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BEa，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形AB
CD的边上，则折痕的长为．20．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形AB
CO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为
边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂
线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简
，再求值：（1），其中a＝sin30°．22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，
△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点
A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求
△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．23．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两
点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S
△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．24．（7分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一
分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多
少．（2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围．（3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于
140个的员工购买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车
和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：
时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小
时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出
答案）26．（8分）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延
长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BA
C≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．27．（10分）某农谷生态园
响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元
；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种
蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于11
68元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐
出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．28．（10分）如图，在平面直角坐
标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点
以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与
点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（
3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．2020年黑龙江省七台河市中考数学试卷（农垦、森工
用）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，满分30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．a2+2a2＝3a4B．
x8﹣x2＝x6C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6【解答】解：A、结果是3a2，故本选项不符合题意；
B、x8和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；C、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；D、结果是﹣27x6，故本选项符合
题意；故选：D．2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故
本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是
中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方
体的个数最少是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个，第二层最少有1个小正方体，第
三层最少有1个小正方体，则这个几何体的小立方块的个数最少是2+1+1＝4个．故选：C．4．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，
4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数据x是（）A．1B．2C．0或1D．1或2【解答】解：∵一组从小到大排列的数据：
x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，∴数据x是1或2．故选：D．5．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+
m＝0的一个实数根，则实数m的值是（）A．0B．1C．﹣3D．﹣1【解答】解：根据题意，得（2）2﹣4×（2）+m＝0，解得m
＝1；故选：B．6．（3分）如图，正方形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y的图象上，对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已
知B（﹣1，1），则k的值是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣1【解答】解：∵点B在反比例函数y的图象上，B（﹣1，1），∴1
，∴k＝﹣1，故选：D．7．（3分）已知关于x的分式方程4的解为非正数，则k的取值范围是（）A．k≤﹣12B．k≥﹣12C．k
＞﹣12D．k＜﹣12【解答】解：方程4两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣4（x﹣3）＝﹣k，∴x﹣4x+12＝﹣k，∴﹣3x＝﹣k﹣
12，∴x4，∵解为非正数，∴4≤0，∴k≤﹣12．故选：A．8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作
DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96【解答】解：∵四边
形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，
∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积．故选：C．9．（3分）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种
每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．2种B．3种C．4种D．5种【解答】解：设购买了A种奖品x个，B种奖
品y个，根据题意得：15x+25y＝200，化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8x，∵x，y为非负整数，∴，，，∴有3种购买方案
：方案1：购买了A种奖品0个，B种奖品8个；方案2：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；方案3：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．
故选：B．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上
，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1）a；③BE2+D
G2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BEa时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①
③④D．①④⑤【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EHBE，∵AFBE，∴A
F＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠FAE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠
FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴
∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（S
AS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH
＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AFx，∴S△AEF?（a﹣x）×x
x2ax（x2﹣axa2a2）（xa）2a2，∵0，∴xa时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BEa时，设DG＝x，则E
G＝xa，在Rt△AEG中，则有（xa）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．二、填空题（每题3分
，满分30分）11．（3分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册
人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为1.18×106．【解答】解：1180000＝1.18×106，故
答案为：1.18×106．12．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是x＞1.5．【解答】解：由题意得2x﹣3＞0，解得x＞
1.5．故答案为：x＞1.5．13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一
个条件AB＝ED答案不唯一，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF
＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AA
S），故答案为：AB＝ED答案不唯一．14．（3分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中
随机摸出一个小球，是偶数的概率为．【解答】解：∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，∴从中随机摸出一个小
球，是偶数的概率为，故答案为：．15．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解是x＞1，则a的取值范围是a≤2．【解答】解：解不
等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式2x﹣a＞0，得：x，∵不等式组的解集为x＞1，∴1，解得a≤2，故答案为：a≤2．16．（3
分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝50°．【解答】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的
直径，∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案为：50．17．（3分）小明在手工制作课
上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为10cm．【解答】解：∵Sl?R
，∴?l?15＝150π，解得l＝20π，设圆锥的底面半径为r，∴2π?r＝20π，∴r＝10（cm）．故答案为：10．18．（3
分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的
最小值为．【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线B
D的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴
EG＝CD，EG∥CD，∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，∵点E在过点A且平行
于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+GC的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝3
0°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MHAD，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝12
0°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2CD．故答案为：．19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且
BEa，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为或．【解答】解：分两种情况：①当
点B''落在AD边上时，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩
形ABCD的AD边上，∴∠BAE＝∠B''AE∠BAD＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE＝1，AEAB；②当点B''落
在CD边上时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，∵将△ABE沿AE折叠．点
B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，∴∠B＝∠AB''E＝90°，AB''＝AB＝1，BE''＝BEa，∴CE＝BC﹣BE＝aaa
，B''D，在△ADB''和△B''CE中，∠B''AD＝∠EB''C＝90°﹣∠AB''D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB''∽△B''CE，∴
，即，解得：a，或a＝0（舍去），∴BEa，∴AE；综上所述，折痕的长为或；故答案为：或．20．（3分）如图，直线AM的解析式为y
＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交
x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线
E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B
2020的坐标（2×3n﹣1，3n）．【解答】解：∵点B坐标为（1，1），∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，∵A1（2，3
），∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1（5，3），∴A2（8，9），∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9
，∴B2（17，9），同理可得B4（53，27），B5（161，81），…由上可知，，∴当n＝2020时，．故答案为：（2×3n﹣
1，3n）．三、解答题（满分60分）21．（5分）先化简，再求值：（1），其中a＝sin30°．【解答】解：当a＝sin30°时，
所以a原式??＝﹣122．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶
点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2
）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在
旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（5，﹣3）；（2）如图所示
，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（0，0）；（3）如图，△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：8π+6．23．（6分）如
图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（
1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．【解答】解：（1）
∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令x＝0，则y＝﹣a，∴C（0，﹣a），令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0解得x1＝a，x2
＝1由图象知：a＜0∴A（a，0），B（1，0）∵S△ABC＝6∴（1﹣a）（﹣a）＝6解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；（2）∵a
＝﹣3，∴C（0，3），∵S△ABP＝S△ABC．∴P点的纵坐标为±3，把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解
得x＝0或x＝﹣2，把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1或x＝﹣1，∴P点的坐标为（﹣2，3）
或（﹣1，﹣3）或（﹣1，﹣3）．24．（7分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩，列
出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少．（2）该公司
一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围．（3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购
买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．【解答】解：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均数为：100.8，答：该公
司员工一分钟跳绳的平均次数至少是100.8个；（2）把50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在100～120这个范围；（
3）300×（5+2）＝2100（元），答：公司应拿出2100元钱购买纪念品．25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递
车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位
：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1
小时．（1）求ME的函数解析式；（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写
出答案）【解答】解：（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：，解得，∴ME的
解析式为y＝50x+50；（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：，解得，∴BC的函数解
析式为y＝100x﹣400；设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：，解得，∴FG的函数解析式
为y＝﹣50x+450，解方程组得，同理可得x＝7h，答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；（3）（9﹣7）×50＝100
（km），答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．26．（8分）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和
正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝
GN；（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写
出你的结论，并说明理由．【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC＝45
°，∴∠EAN＝∠MAC＝45°，同理∠NAG＝45°，∴∠EAN＝∠NAG，∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，∴AE＝A
B＝AC＝AG，∴EN＝GN．（2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立．理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点
G作GQ⊥AM于Q，∵四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，∵A
M⊥BC，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠EAP，在△ABM和△EAP中，，∴△ABM≌△EAP（AAS），∴EP＝A
M，同理可得：GQ＝AM，∴EP＝GQ，在△EPN和△GQN中，，∴△EPN≌△GQN（AAS），∴EN＝NG．如图2，∠BAC≠
90°时，（1）中结论成立．理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，∵四边形ABDE是正方形，∴AB＝
AE，∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠
EAP，在△ABM和△EAP中，，∴△ABM≌△EAP（AAS），∴EP＝AM，同理可得：GQ＝AM，∴EP＝GQ，在△EPN和△
GQN中，，∴△EPN≌△GQN（AAS），∴EN＝NG．27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，
某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．（2
）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买
方案．（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院
，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．【解答】解：（1）依题意，得：，解得：．答：m的值为10，n的值为14．（2）
设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，依题意，得：，解得：58≤x≤60．∵x为正整数，∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种
蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．依题意，得：（16﹣10﹣2a
）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，解得：a≤1.8．答：a的最大值为1.8．28．（10分）
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝3；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，∴AB＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝12，BCCD＝6，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴CNBC＝3，故答案为：3．（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∴MHMDt，∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，∴BNCN＝9，当0＜t时，△PMN的面积s（9﹣2t）tt2t；当t时，点P与点N重合，s＝0，当t≤6时，△PMN的面积s（2t﹣9）tt2t；（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，当PN＝PM＝9﹣2t时，∵PM2＝MH2+PH2，∴（9﹣2t）2＝（t）2+（12﹣2tt）2，∴t＝3或t，∴BP＝6或，当BP＝6时，∵∠DBC＝30°，PE⊥BC，∴PEBP＝3，BEPE＝3，∴点P（3，3），当BP时，同理可求点P（，），当PN＝NM＝9﹣2t时，∵NM2＝MH2+NH2，∴（9﹣2t）2＝（t）2+（t﹣3）2，∴t＝3或24（不合题意舍去），∴BP＝6，∴点P（3，3），综上所述：点P坐标为（3，3）或（，）．第28页（共30页） |
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