高中数学集合与函数概念综合题专题训练含答案姓名：__________班级：__________考号：__________
一、综合题（共16题）
1、已知函数.
（1）求证：函数在区间上是单调递增；
（2）设，若，求实数x的取值集合.
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；（3）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
3、已知函数f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
4、已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）的图象在它与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）的图象在它与x轴的交点N处的切线为l2，且l1与l2平行．
（1）求a的值；
（2）已知t∈R，求函数y=f（xg（x）+t）在x∈[1，e]上的最小值h（t）；
（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．
5、已知函数??(x>0),
(1)?是否存在实数ａ，ｂ（ａ＜ｂ），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a,b],若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由
(2)?若存在实数ａ，ｂ（ａ＜ｂ），使得函数y=f（x）的定义域是[a,b]时，值域为[ma,mb]，
(m0),求m的取值范围
6、已知函数的定义域是．
且,,当时,．
(1)求证:是奇函数;
(2)求在区间)上的解析式;
(3)是否存在正整数，使得当x∈时,不等式有解?
证明你的结论．
7、?已知集合，且．若存在非空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集．
（Ⅰ）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集；
（Ⅱ）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，
求证：，，都有；
（Ⅲ）求证：对任意正整数，集合具有性质．
8、已知定义在R上的函数是奇函数,函数的定义域为．
（1）求的值；
（２）若在上递减，根据单调性的定义求实数的取值范围；
（３）在（２）的条件下，若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围.
9、设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，有；③不恒为0，且当时，。
（1）求，的值；
（2）判断的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以T为周期的周期函数”。试证明：函数为周期函数，并求出
的值。
?????????????????
10、已知实数，函数.
（1）当时，求的最小值;
（2）当时,判断的单调性,并说明理由；
（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.
11、设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元”，称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”，则称为的子数组.定义两个数组，的关系数为.
???（Ⅰ）若，，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；
（Ⅱ）若，，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.
12、已知函数
（1）当且时，①求的值；②求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由。
13、对于整数，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知.
（Ⅰ）存在，使得，试求，的值；
（Ⅱ）若，（指集合B中的元素的个数），且存在，，，则称B为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”和一个含有元素8的非“谐和集”，并求最大的，使含的集合有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.
14、（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数；
（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；
（3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由．
15、已知函数，x其中a>0.
（I）求函数的单调区间；
（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。
16、给出下列命题：
①是幂函数
②函数的零点有2个
③展开式的项数是6项
④函数图象与轴围成的图形的面积是
⑤若，且，则
其中真命题的序号是??????（写出所有正确命题的编号）。
============参考答案============
一、综合题
1、（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）由定义法先设，，且，再判断的大小，从而证明函数的单调性即可；
（2）先判断函数的奇偶性，再结合函数的增减性，得不等式，然后求解即可.
【详解】解：（1）证明：，
任取，，且，
则,
.
.
故函数在区间上是单调递增..
（2）由题，
函数是奇函数,
由，
则,
又由复合函数的单调性可得：函数是单调递增的函数，
，即，
故实数x的取值集合是.
【点睛】本题考查了利用定义法证明函数的单调性，重点考查了利用函数的性质求解不等式，属中档题.
2、解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）=x2-2x，则f（0）=0，f（1）=1-2=-1，又由函数f（x）为偶函数，则f（-1）=f（1）=-1，则f（f（1））=f（-1）=-1；（2）设x＜0，则-x＞0，则有f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）=x2+2x，则当x＜0时，f（x）=x2+2x，即函数f（x）在（-∞，0）上的解析式为f（x）=x2+2x(x<0)；（3）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解，则函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点，当x=-1或1时，f(x)取最小值为-1，而y=f（x）的图象如图：分析可得-1＜m＜0.??故m的取值范围是（-1，0）．
3、?(1)证明：任取x1
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
所以f(x1)
故函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增．
(2)解：任取1
－＝.
因为a>0，x1－x2<0，
所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
所以a≤1.故a的取值范围是(0，1]．
4、（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，
y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），
g′（x﹣1）=由题意可得kl1=kl2，即a=1；（2分）
（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）
=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，
令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，
∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e，
u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，
①当u=≤0，即t≥时，y最小=t2﹣t，
②当u=≥e，即t≤时，y最小=e2+（2t﹣1）e+t2﹣t，
③当0＜＜e，即＜t＜时，
y最小=y|u==﹣；（5分）
（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，
F′（x）=≥0，
所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，
①当m∈（0，1）时，有，
α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，
α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，
得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），
∴由f（x）的单调性知?0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2），
从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．
②当m≤0时，
α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，
β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，
由f（x）的单调性知，
F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），
∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，
③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，
得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符，
∴综合①、②、③得m∈（0，1）．（12分）
5、
6、解：．(1)由得,
由得,??故是奇函数.（3分）?????????
?(2)当x∈时,，。?而，。当x∈Z)时,，，
因此。??（8分）?????
（3）不等式即为，
即。?令，对称轴为，
因此函数在上单调递增。???
因为，又为正整数，
所以，因此在上恒成立，
因此不存在正整数使不等式有解。（15分）?????
7、证明：（Ⅰ）当时，，令，,
则,且对，都有，
所以具有性质．相应的子集为，．??…………3分
（Ⅱ）①若,由已知,
又,所以．所以．
②若,可设，,且，
此时．
所以，且．所以．
③若,,，
则,
所以．
又因为，所以．所以．
所以．
综上，对于，，都有．?……………8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明．
（1）由（Ⅰ）可知当时，命题成立，即集合具有性质．
（2）假设()时，命题成立．即，
且，，都有．
那么当时，记,，
?并构造如下个集合：,,,，
，
显然．
又因为，所以．
下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素．
①若两个元素,,
则,
所以．
②若两个元素都属于,
由（Ⅱ）可知，中任意两个元素之差不等于中的任一数．
从而，时命题成立．
综上所述，对任意正整数，集合具有性质．
8、解：（1）函数是奇函数
??∴.
??∴得.?????????.............2分
??（２）∵在上递减??
∴任给实数，当时
∴
∴??????????.............5分
（３）由（1）得，令，即.
???化简得.
????或.?????????
???若是方程的根,则,
此时方程的另一根为1,不符合题意.??
?函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程
???(※)在区间上有且仅有一个非零的实根.?............7分
??①当时,得.
??若,则方程(※)的根为,符合题意;
?若,则与（２）条件下矛盾,不符合题意.
?.???????????.............9分
?②当时，令
???由得.???????.............11分
??综上所述,所求实数的取值范围是.?????
9、（1）由于不恒为0，故存在，使，于是令，有即。又令m=n=1,得又由得即，而由已知，故。
（2）令得：即为偶函数。
（3）由已知得，又为偶函数，有，所以为以2为周期的周期函数。
令得：即：
再令：得：。即：。
而。由此得：
又由条件（2），，，故，又是以2为周期的周期函数，故。
10、解：易知的定义域为，且为偶函数.
（1）时,
??时最小值为2.??
（2）时,
时，?递增；???时，递减；
为偶函数.所以只对时，说明递增.
设，所以，得
??所以时，?递增；?
（3），，
从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，
恒有.?①当时，在上单调递增，
由得，
从而；?②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
由得，从而；③当时，在上单调递减，在上单调递增，
，
由得，从而；
④当时，在上单调递减，
由得，从而；综上，.
11、解：（Ⅰ）依据题意，当时，取得最大值为2．
（Ⅱ）①当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中．
由，
得．
当且仅当，且时，达到最大值，
于是．
②当不是中的“元”时，计算的最大值，
由于，
所以．
?????，
当且仅当时，等号成立．
即当时，取得最大值，此时．
综上所述，的最大值为1．
12、?解：（1）∵
∴在上为减函数，在上是增函数．
①由，且，可得且．所以．
②由①知∴
∵且?∴
∴
（2）不存在满足条件的实数．
?若存在满足条件的实数，则
①???当时，在上为减函数．
故即解得
故此时不存在适合条件的实数.
②???当时，在上是增函数．
故即
此时是方程的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数．
当时，由于，而，
故此时不存在适合条件的实数．
综上可知，不存在适合条件的实数.
13、【解析】（Ⅰ）因为，所以.??…………………2分
又因为，所以.???……………………………4分
（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”.…5分
含有元素8的一个非“和谐集”.…7分
当时，记，，
记，则.
显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时.
同理，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.
因此.????…………………………………………………10分
下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.
设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.
现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，
，，，.…12分
以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.
综上，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.?
14、解：因为关于原点对称，……………………………………………………1分
又函数的图像关于直线对称，所以
①??………………………………………………………2分
又，??
用代替得③……………………………………………3分
由①②③可知，
．即函数是偶函数；…………………………………………4分
15、
16、⑤?
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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