量子计算机常见术语简介（4）
胡经国
52、图灵机
⑴、图灵机概述
图灵机（TuringMachine），又叫做图灵计算、图灵计算机，是由数学家阿兰·麦席森·图灵（1912-1954）提出的一种抽象计算模型，即将人们使用纸笔进行数学运算的过程进行抽象，由一个虚拟的机器替代人们进行数学运算。
具体而言，图灵机有一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的小方格，每个方格有不同的颜色；并且，有一个机器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部状态，还有一些固定的程序。在每个时刻，机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息；然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并且转换自己的内部状态；然后进行移动。
⑵、图灵的基本思想
图灵机发明者图灵的基本思想是：用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过程。他把这样的过程看作下列两种简单的动作：
在纸上写上或擦除某个符号；
把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置；
而在每个阶段，人要决定下一步的动作，依赖于：①、此人当前所关注的纸上某个位置的符号；②、此人当前思维的状态。
⑶、图灵机组成
为了模拟人的这种运算过程，图灵构造出了一台假想的机器。该机器由以下几个部分组成：
①、一条无限长的纸带TAPE
纸带被划分为一个接一个的小格子。每个格子上包含一个来自有限字母表的符号。字母表中有一个特殊的符号表示空白。纸带上的格子从左到右依此被编号为0,1,2,…。纸带的右端可以无限伸展。
②、一个读写头HEAD
该读写头可以在纸带上左右移动。它能够读出当前所指的格子上的符号，并且能够改变当前格子上的符号。
③、一套控制规则TABLE
它根据当前机器所处的状态以及当前读写头所指格子上的符号来确定读写头下一步的动作；并且改变状态寄存器的值，令机器进入一个新的状态。
④、一个状态寄存器
它用来保存图灵机当前所处的状态。图灵机所有的可能状态的数目是有限的；并且有一个特殊的状态，称为停机状态。
需要注意的是，这个机器的每一部分都是有限的。但是，它有一个潜在的无限长的纸带。因此，这种机器只是一种理想的设备。图灵认为这样的一台机器就能模拟人类所能进行的任何计算过程。
⑷、图灵机可识别语言
图灵可识别语言，又叫做递归可枚举语言或递回可枚举语言。设M是一台图灵机，若在输入字符串ω上M运行后可进入接受状态并停机，则称M接受字符串ω。M所接受的所有字符串的集合称为M所识别的语言，简称M的语言，记作L(M)。
设S是一个语言，若存在图灵机M使得L(M)=S，则称图灵机M识别S，并且S称为图灵可识别语言。
53、可计算性理论
⑴、概念
可计算性理论，又叫做算法理论或能行性理论，是指研究计算的可行性和函数算法的理论。它是算法设计与分析的基础，也是计算机科学的理论基础。
可计算性理论是研究计算的一般性质的数学理论。它通过建立计算的数学模型（例如抽象计算机），来精确区分哪些是可计算的，哪些是不可计算的。
⑵、算法概念精确化
计算的过程就是执行算法的过程。可计算性理论的重要课题之一，是将算法这一直观概念精确化。算法概念精确化的途径很多，其中之一是通过定义抽象计算机，把算法看作抽象计算机的程序。通常把那些存在算法计算其值的函数叫作可计算函数。因此，可计算函数的精确定义为：能够在抽象计算机上编出程序计算其值的函数。这样就可以讨论哪些函数是可计算的，哪些函数是不可计算的。
⑶、可计算性
可计算性是函数的一个特性。设函数f的定义域是D，值域是R，如果存在一种算法，对D中任意给定的x，都能计算出f(x)的值，则称函数f是可计算的。
可计算性是指一个实际问题是否可以使用计算机来解决。从广义上讲，如“为我烹制一个汉堡”这样的问题是无法用计算机来解决的。而计算机本身的优势在于数值计算。因此，可计算性通常是指这一类问题是否可以用计算机解决。事实上，很多非数值问题（比如文字识别，图象处理等）都可以通过转化成为数值问题来交给计算机处理。但是，一个可以使用计算机解决的问题应该被定义为“可以在有限步骤内被解决的问题”。因此，哥德巴赫猜想这样的问题是不属于“可计算问题”之列的。因为，计算机没有办法给出数学意义上的证明，因此也没有任何理由期待计算机能解决世界上所有的问题。
分析某个问题的可计算性意义重大。它使得人们不必浪费时间在不可能解决的问题上（因而可以尽早转而使用除计算机以外更加有效的手段），集中资源在可以解决的问题集中。
⑷、应用领域
可计算性理论是计算机科学的理论基础之一。早在20世纪30年代，图灵对存在通用图灵机的逻辑证明表明，制造出能编程序来作出任何计算的通用计算机是可能的。这影响了20世纪40年代出现的存储程序计算机（即诺伊曼型计算机）的设计思想。可计算性理论确定了哪些问题可能用计算机解决，哪些问题不可能用计算机解决。例如，图灵机的停机问题是不可判定的表明，不可能用一个单独的程序来判定任意程序的执行是否终止，避免了人们为编制这样的程序而无谓地浪费精力。
可计算性理论中的基本思想、概念和方法，被广泛应用于计算机科学的各个领域。建立数学模型的方法在计算机科学中被广泛采用。递归的思想被用于程序设计，产生了递归过程和递归数据结构，也影响了计算机的体系结构。λ演算被用于研究程序设计语言的语义；例如，表处理语言就以λ转换演算为理论基础。
54、λ演算
λ演算是一套用于研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数。
λ演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条变换规则(变量替换)和一条函数定义方式。λ演算之通用性在于，任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。因而，它是等价于图灵机的。尽管如此，λ演算强调的是变换规则的运用，而不是实现它们的具体机器。可以认为，这是一种更接近软件而非硬件的方式。它是一个数理逻辑形式系统，使用变量代入和置换来研究基于函数定义和应用的计算。希腊字母λ被用来在λ演算模型中表示将一个变量绑定在一个函数中。
λ演算可以是“有类型”的也可以是“无类型”的。只有当输入的数据类型对于有类型的λ演算函数来说是可以接受的时，有类型的λ演算函数才能被使用。λ演算模型在数学，物理学，语言学和计算机科学等不同领域具有广泛的应用。它在编程语言的理论发展上起到了很重要的作用；并且对函数式编程起到了很大的影响，甚至可以说函数式编程就是对λ演算模型的一种实现。同时，它也是范畴论的当前研究对象之一。
λ演算模型最初的形式系统，在1935年被StephenKleene和J.B.Rosser提出的Kleene–Rosser悖论证明为是前后矛盾的。接着，在1936年，Church单独出版了在λ演算模型中的与纯计算有关的部分，也就是如今被称为的无类型λ演算。在1940年，他提出了一个弱化计算。但是，逻辑自洽的形式系统如今被称之为简单类型λ演算。
在20世纪60年代之前，在λ演算和编程语言之间的关系被厘清之前，λ演算模型一直都只是一个理论上的形式系统。多亏了Montague和其他的几位语言学家在自然语言的语义方面的研究，才使得λ演算开始在语言学和计算机科学的研究中占有一席之地。
55、人工智能
⑴、概述
人工智能（ArtificialIntelligence，AI），又叫做智械、机器智能，是指由人制造出来的机器所表现出来的智能。通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术。人工智能的概念也包括研究这样的智能系统是否能够实现以及如何实现。在一般教材中，人工智能的定义领域是“智能主体（IntelligentAgent）的研究与设计”；智能主体是指一个可以观察周围环境并且作出行动以达到目标的系统。约翰·麦卡锡于1955年的人工智能定义是：“制造智能机器的科学与工程”。安德里亚斯·卡普兰（AndreasKaplan）和迈克尔·海恩莱因（MichaelHaenlein）将人工智能定义为：“系统正确解释外部数据，从这些数据中学习，并且利用这些知识通过灵活适应实现特定目标和任务的能力”。由于人工智能的研究是高度技术性和专业的，其各分支领域都是深入而各不相通的，因而人工智能的研究涉及范围极广。
AI的核心问题包括：建构能够与人相类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使用工具和操控机械的能力等。当前，有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演。而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等，也在逐步探索之中。思维来源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现；而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库。所以，人工智能最后会演变为机器替换人类。
专家指出，量子计算机的主要应用是人工智能（AI）。AI基于从经验中学习的原则，在得到反馈的情况下会变得更加准确，直到计算机程序似乎能够展现出“智慧”。反馈基于对许多可能的选择计算其概率，因此AI是量子计算机的理想应用。AI被认为将“破坏”从汽车到医疗的每个行业，AI之于21世纪类比电力之于20世纪。例如，洛克希德马丁公司（LockheedMartin）计划使用它的D-Wave量子计算机来测试自动导航软件，这对于一般计算机来说太过于复杂。谷歌正在使用量子计算机来设计可以区分汽车和地标的软件。我们已经到达AI创造更多AI的时间点，所以它的重要性将迅速升级。
专家表示，虽然量子计算机的能力令人惊叹，但是这并不意味着它只是让现有的软件运行速度提升了10亿倍。相反，量子计算机对某些特定类型的问题很擅长，然而对另一些问题则不擅长。商用化量子计算机主要应用于：人工智能、分子模拟、密码学、金融建模、天气预报、粒子物理学。它们被称为商用化量子计算机的“六大赛道”。其中又主要是人工智能。
图灵奖得主姚期智院士在2018年8月的墨子论坛中对未来进行展望时提出了一个意味深长、激动人心的“未来公式”：
“F＝QC＋AI”
即：
未来（Future）＝量子计算（QC）＋人工智能（AI）
利用量子计算和人工智能，我们有可能搭建一个足以“匹敌人类大脑”的系统；利用我们的知识创造新的智慧。
⑵、定义详解
人工智能的定义可以分为两部分，即：“人工”和“智能”。“人工”比较好理解，争议性也不大。有时，我们会要考虑什么是人力所能及制造的，或者人自身的智能程度有没有高到可以创造人工智能的地步，等等。但是，总的来说，“人工系统”就是通常意义下的人工系统。
至于什么是“智能”，问题就多得多了。这涉及到其它诸如意识至（CONSCIOUSNESS）、自我（SELF）、思维（MIND）（包括无意识的思维（UNCONSCIOUS_MIND））等等问题。人唯一了解的智能是人本身的智能。这是普遍认同的观点。但是，我们对我们自身智能的理解都非常有限，对构成人的智能的必要元素也了解有限，因此就很难定义什么是“人工”制造的“智能”了。所以，人工智能的研究往往涉及对人的智能本身的研究。其它关于动物或其它人造系统的智能也普遍被认为是人工智能相关的研究课题。
人工智能在计算机领域得到了越来越广泛的重视。并且，人工智能在机器人，经济政治决策，控制系统，仿真系统中得到了广泛的应用。
著名的美国斯坦福大学人工智能研究中心尼尔逊教授对人工智能下了这样一个定义：“人工智能是关于知识的学科——怎样表示知识以及怎样获得知识并且使用知识的科学。”而美国麻省理工学院的温斯顿教授则认为：“人工智能就是研究如何使计算机去做过去只有人才能做的智能工作。”这些说法反映了人工智能学科的基本思想和基本内容。也就是说，人工智能是研究人类智能活动的规律，构造具有一定智能的人工系统，研究如何让计算机去完成以往需要人的智力才能胜任的工作，也就是研究如何应用计算机的软硬件来模拟人类某些智能行为的基本理论、方法和技术。
人工智能是计算机学科的一个分支；20世纪70年代以来，被称为世界三大尖端技术之一（空间技术、能源技术、人工智能）；也被认为21世纪三大尖端技术（基因工程、纳米科学、人工智能）之一。这是因为，近30年来它获得了迅速的发展，在很多学科领域都获得了广泛应用，并且取得了丰硕的成果。人工智能已经逐步成为一个独立的分支学科，无论在理论和实践上都已经自成一个系统。
人工智能是研究使用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（诸如学习、推理、思考、规划等）的学科；主要包括：计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用。人工智能将涉及到计算机科学、心理学、哲学和语言学等学科。可以说，几乎涉及到自然科学和社会科学的所有学科，其范围已远远超出了计算机科学的范畴。人工智能与思维科学的关系是实践和理论的关系；人工智能是处于思维科学的技术应用层次，是它的一个应用分支。从思维观点来看，人工智能不仅限于逻辑思维，还要考虑形象思维、灵感思维才能促进人工智能的突破性的发展。数学常被认为是多种学科的基础科学，数学也进入了语言、思维领域。人工智能学科也必须借用数学工具。数学不仅在标准逻辑、模糊数学等范围发挥作用，数学进入人工智能学科，它们将互相促进而更快地发展。
⑶、学科介绍
①、实际应用
机器视觉，指纹识别，人脸识别，视网膜识别，虹膜识别，掌纹识别，专家系统，自动规划，智能搜索，定理证明，博弈，自动程序设计，智能控制，机器人学，语言和图像理解，遗传编程等。
②、学科范畴
人工智能是一门边缘学科，属于自然科学和社会科学的交叉学科。
③、涉及学科
哲学和认知科学，数学，神经生理学，心理学，计算机科学，信息论，控制论，不定性论。
④、研究范畴
包括：自然语言处理，知识表现，智能搜索，推理，规划，机器学习，知识获取，组合调度问题，感知问题，模式识别，逻辑程序设计软计算，不精确和不确定的管理，人工生命，神经网络，复杂系统，遗传算法。
⑤、意识和人工智能
人工智能就其本质而言，是对人的思维的信息过程的模拟。
对于人的思维模拟可以从以下两条路线进行：一是结构模拟，仿照人脑的结构机制，制造出“类人脑”的机器；二是功能模拟，暂时撇开人脑的内部结构，而从其功能过程进行模拟。现代电子计算机的产生便是对人脑思维功能的模拟，是对人脑思维的信息过程的模拟。
“弱人工智能”如今不断地迅猛发展，尤其是在2008年经济危机之后，美日欧希望借机器人等实现再工业化。工业机器人以比以往任何时候更快的速度发展，更加带动了“弱人工智能”和相关领域产业的不断突破。很多必须用人来做的工作如今已经能用机器人实现。
而“强人工智能”则暂时还处于“瓶颈”，还需要科学家们和人类进一步努力。
⑷、主要成果
①、人机搏奕
1996年2月10～17日，GARRYKASPAROV（国际象棋大师加里·卡斯帕罗夫）以4∶2战胜“深蓝”（DEEPBLUE）。“深蓝”是一款国际商业机器公司（IBM）在1997年推出的一款超级计算机。
1997年5月3～11日，GARRYKASPAROV以2.5∶3.5输于改进后的“深蓝”。
2003年2月，GARRYKASPAROV以3∶3战平“小深”（DEEPJUNIOR）。“小深”是IBM推出的“深蓝第二”（DEEPJUNIOR）。
2003年11月，GARRYKASPAROV以2∶2战平“X3D德国人”（X3D-FRITZ）。X3D-FRITZ电脑是德国公司开发的FRITZ国际象棋软件与美国公司开发的X3D虚拟现实技术的结合。
2016年3月9～15日，李世石以1∶4输于ALphaGo，ALphaGo完胜。阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能机器人。它由谷歌（Google）旗下DeepMind公司戴密斯·哈萨比斯领衔的团队开发。其主要工作原理是“深度学习”。
2016年12月31日至2017年1月4日AlphaGo化名Master在弈城、野狐两大对弈网站，横扫中日韩高手，取得60连胜。
2017年5月23-27日，AlphaGo在乌镇与柯洁进行人机大战，最终3∶0完胜。
②、模式识别
模式识别（PatternRecognition），是指通过计算机用数学技术方法来研究模式的自动处理和判读。我们把环境与客体统称为“模式”。随着计算机技术的发展，人类有可能研究复杂的信息处理过程。信息处理过程的一个重要形式是生命体对环境及客体的识别。对人类来说，特别重要的是对光学信息（通过视觉器官来获得）和声学信息（通过听觉器官来获得）的识别。这是模式识别的两个重要方面。在市场上，可以见到的代表性产品有光学字符识别、语音识别系统。
模式识别是指对表征事物或现象的各种形式的（数值的、文字的和逻辑关系的）信息进行处理和分析，以便对事物或现象进行描述、辨认、分类和解释的过程，是信息科学和人工智能的重要组成部分。
通常采用$模式识别引擎，其分支有2D识别引擎，3D识别引擎，驻波识别引擎以及多维识别引擎。
2D识别引擎已推出指纹识别，人像识别，文字识别，图像识别，车牌识别；驻波识别引擎已推出语音识别；3D识别引擎已推出指纹识别玉带林中挂（玩游智能版1.25）。
③、自动工程
其中包括：自动驾驶（OSO系统），印钞工厂（￥流水线），猎鹰系统（YOD绘图）。
④、知识工程
知识工程以知识本身为处理对象，研究如何运用人工智能和软件技术，设计、构造和维护知识系统。其中包括：专家系统，智能搜索引擎，计算机视觉和图像处理，机器翻译和自然语言理解，数据挖掘和知识发现。
56、霍尼韦尔量子计算机
霍尼韦尔量子解决方案公司是一家《财富》全球500强高科技企业。2021年3月7日，霍尼韦尔再次刷新了量子计算机量子体积的新纪录，其512量子体积商用量子计算机系统模型H1再次成为全球性能最强大的量子计算系统。
⑴、霍尼韦尔量子计算机发展历程
2020年3月4日，霍尼韦尔官宣，将在随后的3个月内发布全球性能最强大的量子计算机。该量子计算机的量子体积将达到64QV。
霍尼韦尔量子解决方案公司总裁TonyUttley表示，他们只需要用用几个离子阱量子比特的量子计算机，便可以超越谷歌当时实现“量子霸权”的量子计算机Sycamore（“无花果树”）。
2020年6月19日，霍尼韦尔兑现承诺，最强设备如约而至。霍尼韦尔量子计算机系统模型H0的量子体积为64QV。其性能是上一代量子计算机的两倍。
TonyUttley介绍，该量子计算机拥有质量最高、错误率最低的可用量子比特。而且，使用相同的、全连接的量子比特和精确控制的组合。
2020年10月1日，时隔3个月，霍尼韦尔宣布将再次发布全球最强量子计算机，其在量子体积上翻了一番，由之前的QV64增加到QV128。
TonyUttley表示，霍尼韦尔提供了独特的技术，例如高保真度和全连接量子比特，以及中间线路测量和量子比特重用。
2020年10月29日，霍尼韦尔宣布推出新一代量子计算机系统模型H1。H1采用了霍尼韦尔的差异化量子电荷耦合器件离子阱技术，并且可以在其整个生命周期内进行快速升级。
作为其发布公告的一部分，霍尼韦尔还发布了其长期的量子计算技术路线图。该路线图显示，霍尼韦尔将在2030年代的某个时候实现容错量子计算机。而在这10年间，霍尼韦尔将推出5代系统模型；目前已经发布的是H1。
TonyUttley表示，霍尼韦尔量子计算路线图印证了其致力于实现量子业务商业规模的承诺。未来将通过增加量子比特数，或提高保真度以及性能修正，来持续不断地升级H1代系统模型。
⑵、再次刷新最强记录
2021年3月7日，霍尼韦尔量子解决方案公司宣布，其再次刷新了量子计算机的性能，实现了又一个里程碑。
其量子计算机系统模型H1的量子体积翻了两番，达到512量子体积，成为全球首台512量子体积的商用量子计算机。这是霍尼韦尔在9个月内，第三次创造量子体积的行业纪录。
TonyUttley表示，考虑到霍尼韦尔仅在不到一年前就推出了其首个商业技术，所以此项成就意义非凡。该量子计算机系统模型H1再次成为全球性能最强大的量子计算系统。
霍尼韦尔团队花费几个月，与宝马、DHL、摩根大通、三星等商业客户进行项目合作，并且对系统型号H1进行升级。
TonyUttley补充说，通过为商业合作伙伴探索和突破极限，霍尼韦尔对其硬件进行改进，并且将其量子体积翻两番。
⑶、量子体积指标
量子体积的概念出现在几年前。当时开发者和用户都在努力探索该如何评估量子硬件技术的性能，及其不同程度的操作保真度。
量子体积作为一个衡量量子计算机性能的专用指标，其影响因素包括量子比特数、测量误差、设备交叉通信及设备连接、线路软件编译效率等。
单凭增加量子比特的数量来扩大量子体积是不够的。而量子体积越大，量子计算机性能就越强大，能解决的实际问题也就越多。
凭借行业领先的量子操作保真度和全连接量子比特，尽管霍尼韦尔的物理量子比特比其他许多商业系统要少，但是其离子阱技术在这一指标上依旧表现出色。
⑷、技术参数及未来目标
TonyUttley表示，霍尼韦尔将继续提升其量子体积性能，但是同时也专注于消除错误并且提高系统的准确度。
的确，该量子计算机在自首发之后，其系统模型H1一直在改进。对于全连接量子比特，平均单量子比特门保真度达到了99.991(8)%，平均双量子比特门保真度达到了99.76(3)%，测量保真度为99.75(3)%。
霍尼韦尔运行了300条线路；每条线路进行20次操作，使用标准的量子体积优化技术，平均每条线路包含76.82个双量子比特门。
霍尼韦尔的量子计算机系统模型成功通过量子体积512的测试，在73.32%的时间内输出重大的结果，用于测试量子体积的算法产生2/3阈值及以上结果的置信度达99.54%。
霍尼韦尔的量子计算机系统模型可以直接访问，也可以通过生态系统合作伙伴平台访问，包括微软的Azure量子云平台、剑桥量子计算的tket、ZapataComputing的Orquestra以及Strangeworks平台。
除了提供高保真度、全连接的量子比特以外，霍尼韦尔的量子计算机系统模型还具备中间线路测量特性，使得用户能够探索新的量子算法，并且大大减少某些特定算法所需的量子比特数量。
⑸、技术参数说明
①、量子体积（QuantumVolume,QV）
它是由IBM制定的关于量子设备的性能度量标准；不仅考虑量子比特的数量，还要考虑量子比特的连通性、门的测量误差、相干时间的增加、设备串扰的减少，以及软件对线路编译效率的改进等。随着量子体积的增加，量子计算机解决真正复杂问题的能力随之增强。
②、极限保真度（TypicalLimitingFidelity）
对于保真度，数字越高越好。系统的极限保真度量化了得到正确答案的频率。
③、相干时间（CoherenceTime）
相干时间是指量子比特保持其叠加状态的持续时间的长短。其退相干时间越长，则运行效率越高。当进行量子计算实验时，所有的量子操作要在量子退相干之前完成，才能保证量子操作的保真度。量子比特中相干性的丧失，导致量子比特的叠加态坍缩为经典态。这可能是由于有意测量量子比特，也可能是由于系统中的噪声或故障所导致的。
④、全连接（FullConnectivity）
连通性定义了量子计算机中可以纠缠的量子比特对。一些硬件可以将纠缠操作直接应用于系统中的任何两个物理量子比特。其他硬件只能在物理上彼此相邻的量子比特对上运行。全连接意味着任何量子比特都可以与任何其他量子比特直接交互，而无需中间量子比特交互。这样可以实现更深的量子线路和更高级的算法，从而以更少的步骤解决问题，并且能够充分利用量子比特有限的相干时间。
⑤、中间线路测量（Mid-CircuitMeasurement）
中间线路测量是一项独特的功能。它允许在量子线路末端以外的其他位置选择性地测量量子比特。测得的量子比特的量子信息坍塌为经典状态（0或1），但是未测出的量子比特保留其量子状态。根据测得的量子比特，用户可以决定在线路中进一步采取什么措施。而量子比特一旦被测量，就可以将其重新初始化并且重新整合到量子线路中，以重新用于其他操作。这样，可以用较少数量的量子比特对较大的系统建模。
⑥、高分辨率旋转（High-ResolutionRotations）
霍尼韦尔量子里算计系统模型H1使用基于激光的门来实现单量子比特门操作中的精确旋转，而不需要进行多步复合操作来产生相同的旋转角度。这样一来，可以在线路深度范围内提高操作效率。
2021年5月4日编写于重庆
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