一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0?方程有
_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0?方程有________个_
_______的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0?方程__________实数根．二、例变
讲练例1方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1下列关于x的一
元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2＋4＝0B．4x2－4x＋1＝0C．x2＋x＋3＝0D．x
2＋2x－1＝0例2已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取
何值，方程总有两个不相等的实数根．变2已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个
实数根．例3若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3已知关于x的方程x2－
2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根
，则k的取值范围是_______________．变4若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围
是__________三、课堂训练一级1.若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2.下
列方程中有两个不相等的实数根的方程是()A．(x－1)2＝0B．x2＋2x－19＝0C．x2＋4＝0D．x2＋x
＋1＝03.如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4.若关于x的方程x2
－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5.若关于x的方程x2＋x－
a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有
实数根，则m的取值范围是()A．m≤2B．m≥2C．m≤2且m≠1D．m≥－2且m≠17.若关于x的一元二次方
程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8.求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x
2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9.已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(
1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的
周长．10.等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时一
元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0
?方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．两，不相等，(2)b2－4ac＝0?方程有
________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0?方程________
__实数根．两，相等，－，无二、例变讲练例1方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个_______
___的实数根．不相等变1下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是()A．x2＋4＝0B．
4x2－4x＋1＝0C．x2＋x＋3＝0D．x2＋2x－1＝0D例2已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0
.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；解：b2－4ac＝4m2＋1；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根
．解：b2－4ac＝4m2＋1≥1>0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)
x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m－3)2－4×(－3m)＝m2－6m＋9＋12m＝m2＋6m
＋9＝(m＋3)2，∵无论实数m取何值，总有(m＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3若一元二次方
程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．m≥－1变3已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实
数根，则m的取值范围是__________．m>1例4若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值
范围是_______________．k>－1且k≠0变4若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取
值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1.若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝___
______．-32.下列方程中有两个不相等的实数根的方程是()A．(x－1)2＝0B．x2＋2x－19＝0
C．x2＋4＝0D．x2＋x＋1＝0B3.如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_
________．m<－44.若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=___
__________－，x1＝x2＝5.若关于x的方程x2＋x－a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______
___．a>－6.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是()A．m≤2
B．m≥2C．m≤2且m≠1D．m≥－2且m≠1C7.若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实
数根，则k的取值范围是_________．k＜8.求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝
0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m＋1)2－4(2m－1)＝16m2＋8m＋1－8m＋4＝16m2＋5，∵m2
≥0，∴16m2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9.已知关于x的一元二次方程x
2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m＋2)]2－4×1×2m＝m2－4m
＋4＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另
一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x＝1代入原方程，得：1－(m＋2)＋2m＝0，∴m＝1，∴方程的另一个根为
＝2.当1，2为直角边长时，斜边长＝＝，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋＝3＋；当2为斜边长时，另一直角边长＝＝，∴围成直角三角形
的周长＝1＋2＋＝3＋.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋或3＋.10.等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b
是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2或b＝2，②a＝b两种情况，①当
a＝2或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，∴x＝2，把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0得22－6×2＋n－1＝0，解得：n＝9，当n＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝9不合题意，②当a＝b时，方程x2－6x＋n－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n－1)＝0，解得：n＝10，综上所述：n＝10. |
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