摘要：本文从理论上运用严格的数学方法对半偏法测电流表和电压表的内阻实验的系统误差进行了分析，从而给出半偏法测电流表和电压表内阻的实验条件，以供大家参考。
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关键词：半偏法?系统误差?相对误差?闭合电路欧姆定律?并联分流?串联分压?
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一、半偏法测电流表的内阻实验系统误差分析
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半偏法测电流表的内阻实验电路原理图如图1所示，实验操作步骤如下：
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图1
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第一步：开关、闭合前，将滑动变阻器的阻值调到最大。
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第二步：闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表满偏。
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第三步：保持开关闭合，滑动变阻器不动，闭合开关，调节电阻箱的阻值，使电流表半偏。
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第四步：记下此时电阻箱的阻值，则电流表的内阻。
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本实验要求滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即，这样就可近似认为开关闭合前后干路中的总电流是不变的。但事实上，当开关闭合后，干路中的总电流是变大的，当电流表半偏时，通过电阻箱的电流比通过电流表的电流要大，根据并联分流规律可知，半偏法测出的电流表的内阻要比电流表的实际内阻小。下面笔者从理论上运用严格的数学方法对该实验的系统误差进行分析。
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假定电源的电动势为，内阻为，电流表的满偏电流为。
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闭合开关，调节滑动变阻器，使电流表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得
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???????????????????????????????????（1）
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闭合开关，调节电阻箱的阻值，使电流表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及并联分流公式得??????????????????（2）
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联立（1）和（2），消除和得???????????????（3）
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由（1）解得，将其代入（3）得???（4）
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由（3）可知，且当，即时，近似成立。
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由（4）可知与的相对误差???????????????（5）
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由（5）可知，电源的电动势越大，相对误差越小。
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结论：用半偏法测电流表的内阻时，测量值比真实值小，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远大于电流表的内阻，即，而要做到这一点，必须使用电动势较大的电源，且为防止电流表过载，必须用大阻值的滑动变阻器与之匹配，可见电源的电动势的大小对误差起主导作用。
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二、半偏法测电压表的内阻实验系统误差分析
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半偏法测电压表的内阻实验电路原理图如图2所示，实验操作步骤如下：
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图2
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第一步：开关闭合前，将电阻箱的阻值调到零，滑动变阻器的滑片调到最左端。
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第二步：闭合开关，调节滑动变阻器的滑片的位置，使电压表满偏。
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第三步：保持滑动变阻器的滑片的位置不变，调节电阻箱的阻值，使电压表半偏。
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第四步：记下此时电阻箱的阻值，则电压表的内阻。
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本实验要求滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻，即，这样就可近似认为调节电阻箱的阻值后，滑动变阻器的左端电阻分得的电压仍然为满偏电压。但事实上调节的阻值后，分得的电压增大，当电压表半偏时，电阻箱两端电压比电压表两端电压要大，根据串联分压规律可知，半偏法测出的电压表的内阻要比电压表的实际内阻大。下面笔者从两个不同的角度运用两种方法对该实验的系统误差进行分析。
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假定电源的电动势为，内阻为，电压表的满偏电压为。
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当，开关闭合，调节滑动变阻器的滑片，使电压表满偏时，根据闭合电路欧姆定律得,其中??????（1）
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调节电阻箱的阻值，使电压表半偏时，根据闭合电路欧姆定律及串联分压公式得
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?????????????（2）
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方法一：
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联立（1）和（2），消除和得????????????（3）
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显然，且与的相对误差
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根据平均值不等式，故
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又根据分式不等式及
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则由（1）可知（最后一步用到）
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于是有，故?????????????????????（4）
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由（4）可知，当时，近似成立，且选择电动势较小的电源也可以减小相对误差，当然为使电压表指针能达到满偏，必须满足，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。
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方法二：
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将（1）式整理成关于的一元二次方程得
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?????????????????????????（5）
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将（2）式整理成关于的一元二次方程得
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??????????????????（6）
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方程（5）和（6）有公共根，记为，即为的阻值。设方程（5）的另一根为，方程（6）的另一根为，根据韦达定理即一元二次方程的根与系数的关系得
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??（7）????????????????（8）
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?（9）?????????（10）
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?（11）????????????????（12）
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联立（11）和（12）解得?（13）???（14）
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将（13）代入（7）解得?????????????????（15）
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将（13）代入（8）解得??????????????????????????（16）
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根据及（15）和（16）得与的相对误差的取值范围
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???????（17）
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注意：由于，可知（17）式的右边
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由（17）式的左边可知，，由（17）式的右边可知，为减小相对误差，应选择小阻值的滑动变阻器，且电源的电动势要适当小一些，也可以减小相对误差，当然为使电压表指针能达到满偏，必须满足，故要选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。
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结论：显然上述两种方法得出的结论是一致的，由此可知用半偏法测电压表的内阻时，测量值比真实值大，为减小实验误差，应使滑动变阻器的阻值远小于电压表的内阻且应该选择电动势略大于电压表的满偏电压的电源。
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参考文献：
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1．全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理第二册人民教育出版社物理室编著（2003年6月第1版）
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2．张大同编《高中物理竞赛辅导》陕西师范大学出版社（2000年6月第2版）
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