第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称到
对称中心是又是对称图形对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两个全等的三角形3、矩形中常见题目是
对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、
菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边
都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形即是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等
的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角
为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是
直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组
内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证新课标第一网【名师提醒：菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正
方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：⑴正方形也即是对称图形，又是对称图形，有条对称轴⑵几种特殊
四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的和联系】【重点考点例析】考点一：和矩形有关的折量问题例1
（肇庆）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠
DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．对应训练1．（哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上
，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．考点二：和菱形有关的对
角线、周长、面积的计算问题例2（衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为cm2．
对应训练1．（山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A
．5cmB．2cmC．cmD．cm考点三：和正方形有关的证明题例3（黄冈）如图，在正方形AB
CD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥
DF．12．（贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；（2）若等
边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．考点四：四边形综合性题目例4（江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的
顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．对应训练4．（铜仁地区）以边长为2的正
方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是．【聚焦山东中考】1．（青岛）已知
：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：
△BOE≌△DOF；（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．2．（威海）如图，在?ABCD中，AE，
CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A．AE=AFB．EF⊥AC
C．∠B=60°D．AC是∠EAF的平分线3．（聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求
证：四边形OCED是菱形．4．（济宁）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F
．（1）在图中画出线段DE和DF；（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？【备考真题过关】一、选择题1．（南通
）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）A．3cmB．2cmC．23D．4cm
2.（黄冈）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形
B．菱形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形3．（大连
）如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（）A．20B．24C．28D．404．（
张家界）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．（丹东）如图，菱形ABCD的
周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cmB．4cm
C．2.5cmD．2cm6．（泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是（
）A．24B．16C．4D．28．（贵港）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上
，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE；②∠BMD
=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABCD=AM2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．
3D．4二、填空题1．（十堰）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点
F，则EF=．2．（山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC
=2，则点B的坐标是．3．（宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2
，且AC=10，则DE的长度是．4．（龙岩）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EF
⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是．5．（毕节地区）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．
现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是．6．（肇庆）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周
长为．7．（西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小
明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（-5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标．8．（宁德
）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB=cm．9．（沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8
cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为cm2．10．（深圳）如图，Rt△ABC中，
∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的
长为．三、解答题11．（云南）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，
DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．12．（吉林）如图，在△ABC中，AB=AC，D
为边BC上一点，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，求证：四边形A
DCE是矩形．13．（青海）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．①求证：CD=AN
；②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．14．（温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．15．（重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME． |
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