2022年河南省中考数学总复习新题型专项专题练（学生版）题型几何类比、拓展探究型类型1手拉手模型1.[2021湖北仙桃]已知△ABC和
△DEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°.(1)当n=60时:①如图(1),当点D在AC上时,请直
接写出BE与AD的数量关系:;?②如图(2),当点D不在AC上时,判断线段BE与AD的数量关系,并说明理由.(2)当n=90
时:①如图(3),探究线段BE与AD的数量关系,并说明理由;②当BE∥AC,AB=3,AD=1时,请直接写出DC的长.图(1
)图(2)图(3)2.[2021湖北武汉]问题提出如图(1),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=
AC,EC=DC,点E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F,连接CF.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?问题探究(1
)先将问题特殊化.如图(2),当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数量关系.(2)再探究一般情形,如图(
1),当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3),在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,B
C=kAC,EC=kDC(k是常数),点E在△ABC内部,直线AD与BE交于点F,连接CF.直接写出一个等式,表示线段AF,BF,
CF之间的数量关系.图(1)图(2)图(3)3.[2021辽宁盘锦]如图,四边形ABCD是正方形,△ECF为等腰直角三角形
,∠ECF=90°,点E在BC上,点F在CD上,N为EF的中点,连接NA,以NA,NF为邻边作?ANFG,连接DG,DN,将Rt△
ECF绕点C顺时针旋转,旋转角为α(0°≤α≤360°).(1)如图(1),当α=0°时,DG与DN的位置关系和数量关系为.
?(2)如图(2),当0°<α<45°时,(1)中的结论是否成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.(3)在Rt△EC
F的旋转过程中,当?ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上,且AB=12,EC=5时,连接GN,请直接写出GN的长.图(1
)图(2)备用图类型2中点模型4.[2021江苏宿迁]已知正方形ABCD与正方形AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周.(
1)如图(1),连接BG,CF,求的值;(2)当正方形AEFG旋转至图(2)位置时,连接CF,BE,分别取CF,BE的中点M,N,
连接MN,试探究MN与BE的数量关系和位置关系,并说明理由;(3)连接BE,BF,分别取BE,BF的中点N,Q,连接QN,AE=6
,请直接写出线段QN扫过的面积.图(1)图(2)备用图5.如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E
分别在边AB,AC上,且DE⊥AD,连接BE,点F为BE的中点,连接DF,CF.(1)观察猜想:线段DF和CF的数量关系为;
DF和CF的位置关系为.?(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针旋转到如图(2)所示的位置,试判断(1)中的关系是否仍然成立
.如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由.(3)拓展应用:若AB=13,AD=5,在△ADE绕点A逆时针旋转的过程中,请直接
写出当D,E,B三点共线时CF的长度.图(1)图(2)类型3半角模型6.问题背景如图(1),在四边形ABCD中,∠A=
∠C=90°,∠ABC=120°,BA=BC,点E,F分别在AD,CD上,且∠EBF=∠ABC,连接EF,探究AE,CF,EF之间
的数量关系.(1)特例感知如图(2),当BE=BF时,AE,CF,EF之间的数量关系为.?(2)探究证明在问题背景中,猜想
AE,CF,EF之间的数量关系,并加以证明.(3)拓展延伸如图(3),在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,BA=BC,点E,
F分别在AD,CD上,且∠EBF=∠ABC,连接EF,(2)中结论是否仍然成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.(4)实
际应用如图(4),甲、乙两同学想要测量湖边D,E两凉亭之间的距离,在点A处测得两凉亭的视角(∠DAE)为65°.两人从点A处出发,
甲沿北偏东70°方向走380m到达点C处,再向正北方向走88m到达凉亭E;乙沿北偏西60°方向走380m到达点B处,再沿北偏
东50°方向走370m到达凉亭D(点A,B,C,D,E在同一平面内),则两凉亭之间的距离为m.?图(1)图(2)图(3)
图(4)类型4一线三等角模型7.(1)问题发现:如图(1),△ABC是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,若∠ADE=6
0°,则线段AB,CE,BD,DC之间的数量关系是?.?(2)拓展探究:如图(2),△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠B=α
,点D,E分别在边BC,AC上.若∠ADE=α,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(3)解决问题:如图(3),在△ABC中
,∠B=30°,AB=AC=4cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AB匀速运动,同时点M从点B出发,以cm/s的速度沿
BC匀速运动,当其中一个点运动至终点时,另一点也随之停止运动.连接PM,在PM右侧作∠PMG=30°,该角的另一边交射线CA于点G
,连接PG.设运动时间为ts,当△APG为等腰三角形时,请直接写出t的值.图(1)图(2)图(3)类型5对角互补模型
8.已知AP平分∠MAN,点B是射线AP上一定点,点C在直线AM上运动,连接BC.(1)问题引出:如图(1),∠MAN=90°,当
点C在射线AM上时,将∠ABC(0°<∠ABC<90°)的两边射线BC,BA分别绕点B顺时针旋转90°,旋转后分别与射线AN交于点
D和点E.填空:①BD和BC之间的数量关系是;?②线段AC,AD和AB之间的数量关系是.?(2)类比探究:如图(2)
,∠MAN=60°,将∠ABC(0°<∠ABC<120°)的两边射线BC,BA分别绕点B顺时针旋转120°,旋转后分别与射线AN交
于点D和点E.当点C在射线AM上时,请探究线段AC,AD和AB之间的数量关系,写出结论并给予证明.(3)解决问题:如图(3),在(
2)的条件下,当点C在MA的延长线上时,BC交射线AN于点F,若AB=2,AC=2,请直接写出线段AD的长.图(1)图(2)
图(3)类型6图形旋转与类比探究9.(2021郑州模拟)如图1，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在
AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG.图1(1)填空：CE与CG的数
量关系是，直线CE与CG所夹的锐角的度数为.(2)将△ADE绕点A逆时针旋转，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅
就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．图2(3)若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图1位置绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜
180°)，当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值．10.(2020河南第23题，10分)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时
针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE.(1)如图1，当α＝60°时
，△DEB′的形状为，连接BD，可求出的值为．(2)当0°＜α＜360°且α≠90°时，①(1)中的两个结论是否仍然成
立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．②当以点B′，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的
值．11．(2021禹州模拟)(1)如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝8，BC＝6，点D，E分别在边CA，CB上，
且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是
.(提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM)图1(2)将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，(1)中的结论是否仍然成立
？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．图2(3)将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E
三点在同一条直线上时，CF的长为.类型7图形变化与类比探究12.(2021新乡模拟)(1)如图1，已知△ABC∽△ADE，请
直接写出图中的另外一对相似三角形：；图1图2(2)如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠A
DE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数；(3)如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝
30°，∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝3，请直接写出AD的长．图313．(2014河南第22题，10分)(1)问题发现如图1，
△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关
系为.(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，C
M为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图3，
在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．类型8图形动点与类比探究14.(2
016河南第22题，10分)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于时，线段AC的长
取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示)．(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以A
B，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长
的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2
，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．15．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点
D是直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH.
(1)如图1，当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是EH与AD的位置关系是.图1(2)如图2，当点D在边AB
上且不是AB的中点时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．图2备用图(3)若A
C＝BC＝2，其他条件不变，连接AE，BE.当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．类型9其他类型16.[2021河
南省实验四模]实践操作:第一步:如图(1),将矩形纸片ABCD(AB>AD)沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点D''处,得到折
痕AE.第二步:如图(2),将图(1)中的图形沿过点B的直线折叠,点C恰好落在ED''上的点M处,BF为折痕,延长FM交直线AE于点
N.问题解决:(1)填空:图(1)中△AED的形状是;?(2)如图(2),若AB=8,AD=5,求FN的长.图(1)图
(2)提升反思:(3)爱动脑筋的小敏同学用不同形状的矩形纸片ABCD(ADFM,发现有些点N不在线段AE上.若要使点N落在线段AE上(不含端点),请直接写出的取值范围.备用图17.[2021湖南岳阳]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,点D为AB的中点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转α(60°<α<120°)得到线段ED,且ED交线段BC于点G,∠CDE的平分线DM交BC于点H.(1)如图(1),若α=90°,则线段ED与BD的数量关系是,=.图(1)?(2)如图(2),在(1)的条件下,过点C作CF∥DE交DM于点F,连接EF,BE.①试判断四边形CDEF的形状,并说明理由;②求证:=.(3)如图(3),若AC=2,tan(α-60°)=m,过点C作CF∥DE交DM于点F,连接EF,BE,请直接写出的值(用含m的式子表示).图(2)图(3) |
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