y=ln(12x2+2x+1)的导数计算
主要内容：
通过对数函数导数公式、导数定义以及函数乘积和函数商的求导法则，介绍 y=ln(12x2+2x+1)的一阶、二
阶和三阶导数的主要计算步骤。
一阶导数：
※ .对数导数计算
∵ y=ln(12x2+2x+1),
∴ dydx =(12x
2+2x+1)''
(12x2+2x+1) =
24x+2
(12x2+2x+1) 。
※ .导数定义法计算
∵ y=ln(12x2+2x+1),
∴ dydx
=lim(t→ 0) ln[12(x+t)
2+2(x+t)+1]-ln(12x2+2x+1)
t ,
=lim(t→ 0)
ln12(x+t)
2+2(x+t)+1
12x2+2x+1
t ,
= lim(t→ 0)
ln12x
2+2x+1+24xt+12t2+2t
12x2+2x+1
t ,
=lim(t→ 0)1t(1+ln24xt+12t
2+2t
12x2+2x+1 ),
=lim(t→ 0)(1+ln24xt+12t
2+2t
12x2+2x+1 )
1
t
=lim(t→ 0){(1+ln24xt+12t
2+2t
12x2+2x+1 )
12x2+2x+1
24xt+12t2+2t }
24xt+12t2+2t
(12x2+2x+1)t
;
=lim(t→ 0){(1+ln24xt+12t
2+2t
12x2+2x+1 )
12x2+2x+1
24xt+12t2+2t }
24x+12t+2
12x2+2x+1
;
=lnelim(t→ 0)
24x+12t+2
12x2+2x+1= 24x+2
(12x2+2x+1) 。
二阶导数计算
※ .函数商的求导
∵ dydx = 24x+2(12x2+2x+1) ，
∴ d
2y
dx2 =
24(12x2+2x+1)-(24x+2)(24x+2)
(12x2+2x+1)2 ,
=288x
2+48x+24-576x2-96x-4
(12x2+2x+1)2 ,
=-288x
2-48x+24-4
(12x2+2x+1)2 ,
=-(288x
2+48x-20)
(12x2+2x+1)2 。
※ .函数乘积的求导
∵ y''= 24x+2(12x2+2x+1)
∴ (12x2+2x+1)y''=24x+2,两边同时对 x 求导 ，有：
(24x+2)y''+(12x2+2x+1)y''''=24,将 y''代入上式得 ：
(24x+2) 24x+2(12x2+2x+1) +(12x2+2x+1)y''''=24,
(12x2+2x+1)y''''=24- (24x+2)
2
(12x2+2x+1) ,
y''''=24(12x
2+2x+1)-(24x+2)2
(12x2+2x+1)2 ,
=-288x
2+48x-20
(12x2+2x+1)2 。
三阶导数计算：
∵ d
2y
dx2 =-
288x2+48x-20
(12x2+2x+1)2 ，
∴ d
3y
dx3 =-
(576x+48)(12x2+2x+1)2-2(288x2+48x-20)(12x2+2x+1)(24x+2)
(12x2+2x+1)4 ,
=-(576x+48)(12x
2+2x+1)-2(288x2+48x-20)(24x+2)
(12x2+2x+1)3 ，
=2[(288x
2+48x-20)(24x+2)-(288x+24)(12x2+2x+1)]
(12x2+2x+13) ,
=32(216x
3+54x2-45x-4)
(12x2+2x+13) .
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