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1、极限21(1 )lim nnn ne?? ? ?__________.2、求极限：2 2limsin ( )n n n??? ?；2sin( 1 )n ??3、1 3 (2 1)lim 2 4 (2 )n n n?? ? ??? ?4、设2 2(1 )(1 ) (1 )
nnx a a a? ? ? ??，其中1a ?，则lim nn x?? ?5、设10 1x? ?，1 10 min{ , } , 1,2,n nx x t dt n?? ?? ?，证明lim nn x??存在，并求此极限的值.6、10lim
nxn e dx?? ?? ________.7、设1 0u ?，1 3(1 )3 nn nuu u? ?? ? ( 1,2, )n ? ?，则lim nn u?? ?___________.8、求2 2 2( 1)1 2 2 3lim 1 2n n nn n n n??? ??? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ??
9、1 21, 2a a? ?，又2 13 4 0( 1)n n na a a n? ?? ? ? ?，求lim nn a??10、设数列? ?np，? ?nq满足1 1 1 12 , , 1n n n n n np p q q p q p q? ?? ? ? ? ? ?，求lim nn npq??
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11、设( )f x在? ?,a b上连续，若( )a f x b? ?，? ?,x a b?且( ) ( )f x f y k x y? ? ?，其中k为常数，0 1k? ?，设? ?,nx a b?，1 ( )n nx f x? ?，1, 2n ? ?证明：（1）存在唯一的? ?,a b??，使得( )f? ??（2）lim nn x ??? ?12、lim[sin 1 sin ]x x x??? ? ?
13、3 11 (1 )(1 ) (1 )lim (1 ) nnx x x xx ?? ? ? ?? ?14、2 20 (1 ) [1 ln(1 )]lim xx x e xx? ? ? ? ?15、0 1 cos cos2 coslim 1 cosx x x kxx? ? ?? ?（k为正整数）
16、0 tan(tan ) sin(sin )lim tan sinx x xx x? ??17、1 120 (1 ) (1 2 )lim sinx xx x xx? ? ? ?18、设( )f x在x a?的某邻域内可导，且( ) 0f a ?，求极限1 1lim[ ]( ) ( ) ( )xx a ax a f a f t dt? ?? ? .
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19、设函数( )f x在(0, )??上连续，对任意正数x有2( ) ( )f x f x?，且(3) 5f ?，求( )f x20、设1 sin( , ) 1 arctan xyy yf x y xy x??? ??，0x?，0y ?，求：（1）( ) lim ( , )yg x f x y????；
（2）0lim ( )x g x?? .21、已知函数? ?y x由方程3 3 3 3 2 0x y x y? ? ? ? ?确定，求? ?y x的极值22、设函数( )f x在点0x?是某领域内具有二阶导数，且1 30 ( )lim(1 )xx f xx ex? ? ? ?，求(0)f，(0)f?，(0)f??及10 ( )lim(1 )xx f xx? ?
23、①证明：当0 1x? ?时，0 1 0 1max{ ,1 } (1 ) 2 max{ ,1 }n n nnx xx x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? .②求极限10lim (1 )n nnn x x dx?? ? ?? .24、设函数? ?f x连续，且0)0( ?f，求极限.)( )()(lim 000 ?? ??? xxx dttxfx dttftx25、设函数( )f u可导，2( )yz yf x?，则2 z zx yx y? ?? ?? ? .
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26、设函数( , )z z x y?由方程1ln zz e xy?? ?确定，则1(2, )2zx? ?? ___________.27、设函数? ?,f u v具有2阶连续偏导数，? ?,xy f e cosx?，求0? xdydx ?，2 2 0? xd ydx ?
28、求ln ln 3lnx y z? ?在2 2 2 5x y z? ? ?上的极大值（其中0, 0, 0x y z? ? ?）.29、10002(1 )x x dx??30、2 2sin( cos sin )x dxx x x??
31、311 dxx?? 31 x dxx??32、31sin cos dxx x?33、计算42 ln(9 )ln(9 ) ln( 3)x dxx x?? ? ??
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34、设( )f x在[ , ]? ??上连续，且2( ) ( )sin1 cosxf x f x xdxx ???? ?? ?，求( )f x35、设二阶可导函数( )f x满足(1) ( 1) 1, (0) 1f f f? ? ? ??且( ) 0f x?? ?，则（）(A) 11 ( ) 0f x dx? ?? (B) 11 ( ) 0f x dx? ??(C) 0 11 0( ) ( )f x dx f x dx? ?? ? (D) 0 11 0( ) ( )f x dx f x dx? ?? ?
36、若反常积分0 1(1 )a b dxx x?? ??收敛，则( )（A）1a?且1b? .（B）1a?且1b? .（C）1a?且1a b? ? .（D）1a?且1a b? ? .37、设,m n是正整数，则反常积分? ?210 ln 1m n x dxx??的收敛性( )(A)仅与m的取值有关(B)仅与n的取值有关(C)与,m n取值都有关(D)与,m n取值都无关
38、20 ln1 x dxx?? ??? ___________.39、已知20 12kxe dx k??? ? ??（0k ?），求2 22 320 x xe e dxx? ??? ??40、设10 ( )f x dx A??，( )f x在[0,1]上连续，求1 10 ( ) ( )xdx f x f y dy? ?41、设2 2{( , ) 1, 0}D x y x y y? ? ? ?，连续函数( , )f x y满足2( , ) 1 ( , )Df x y y x x f x y dxdy? ? ? ??，求( , )D xf x y dxdy?? .
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42、设函数设( )f x在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，(0) 0, (1) 1f f? ?（1）证明存在(0,1)a?，使得1( ) 3f a ?（2）证明存在不同的三点1 2 3, , (0,1)? ? ? ?，使得1 3 31 1 1 3( ) ( ) ( )f f f? ? ?? ? ?? ? ?43、设函数( )f x在[0,2]上具有连续导数，(0) (2) 0f f? ?，[0,2]max{ ( )}xM f x?? .证明（1）存在(0,2)??，使得( )f M?? ?；
（2）若对任意的(0,2)x?，有( )f x M? ?，则0M ? .44、已知函数)(xf满足方程( ) ( ) 2 ( ) 0f x f x f x?? ?? ? ?及( ) ( ) 2 xf x f x e? ? ? .（1）求表达式)(xf；（2）求曲线的拐点dttfxfy x? ?? 0 22 )()( .45、设函数( )f x在[ , ]a b上具有二阶导数，且( ) ( ) 0f a f b? ?，( ) ( ) 0f a f b? ? ?
证明：存在( , )a b??和( , )a b??，使得( ) 0f ? ?，( ) 0f ??? ?46、设( )f x二阶可导，且在(0, )a内某点取得最大值，对一切[0, ]x a?，都有( )f x m?? ?，证明：(0) ( )f f a am? ?? ?47、设( )f x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且( ) 1f x? ?，又(0) (1)f f?，证明：对于任意的1 2, [0,1]x x ?，有1 2 1( ) ( ) 2f x f x? ?
48、( )f x在[0,1]上二阶可导，且(0) (1) 0f f? ?，0 1min ( ) 1x f x? ? ??，证明：至少存在一点(0,1)??，使得( ) 8f ??? ?
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49、设( )f x在[ , ]a b上连续，在( , )a b内可导，0a ?，( ) 0f a ?，证明：存在( , )a b??，使得( ) ( )bf fa?? ?? ??50、已知函数? ? 21 2 11 1xxf x t dt tdt? ? ? ?? ?，求? ?f x零点的个数？51、若函数( )x?具有二阶导数，且满足(2) (1)? ??，32(2) ( )x dx? ???，证明：至少存在一点(1,3)??，使得( ) 0? ??? ? .
52、设函数( )f x在[0,1]上可导，(0) 0f ?（1）设0( ) ( ) , [0,1]xx tf x t dt x? ? ? ??，求( )x????；（2）证明至少存在一点(0,1)??，使得：10 1(1 ) ( )6tf t dt f ??? ??
53、设( )f x在[ , ]a b上二阶连续可导，且( ) 02a bf ? ?，记? ? ? ?2,2maxM f x? ???，证明：3( ) ( )24ba Mf x dx b a? ?? .54、设( )f x在[0,1]上连续可导，且( ) ( ) 0f a f b? ?，证明：24max ( ) ( )( ) baa x b f x f x dxb a? ? ? ? ? ?
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55、设( )f x在[0,1]上连续，且10 ( ) 0f x dx ??，证明：在(0,1)内至少存在一点?，使得(1 ) ( ) 0f f? ?? ? ?56、微分方程2 0y y ay?? ?? ? ?的通解中所有解( )y x均满足lim ( ) 0x y x??? ?，则常数a满足（）
（A）0a ?（B）0a ?（C）0a ?（D）0a ?57、在下列微分方程中，以1 2 3cos2 sin 2xy C e C x C x? ? ? ( 1 2 3, ,C C C为任意的常数)为通解的是(A) 4 4 0y y y y??? ?? ?? ? ? ? (B) 4 4 0y y y y??? ?? ?? ? ? ?(C) 4 4 0y y y y??? ?? ?? ? ? ? (D) 4 4 0y y y y??? ?? ?? ? ? ?58、3阶常系数线性齐次微分方程2 2 0y y y y??? ?? ?? ? ? ?的通解为y ? ___________.
59、设( )f x为连续函数（1）求初值问题0 ( )0xy ay f xy ??? ???? ???的解( )y x，其中a是正常数（2）若( )f x k?（k为常数），证明：当0x ?时，有( ) (1 )axky x ea ?? ?60、求微分方程cosy y x x??? ? ?的通解．
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61、设函数( )y x连续，求解方程：20 1( ) ( )2x y s ds y x x? ??．62、若级数2 ( 1)( 1)n nn n??? ?? ??收敛，则a的取值范围是（）（A）0a ?（B）1a ?（C）12a ?（D）13a ?
63、设R为幂级数1 nnn a x???的收敛半径，r是实数，则（）（A）当221 nnn a r???发散时，r R?（B）当221 nnn a r???收敛时，r R?（C）当r R?时，221 nnn a r???发散（D）当r R?时，221 nnn a r???收敛64、设数列na满足1 2 1a a? ?，且1 1( 2,3, )n n na a a n? ?? ? ? ?证明：（1）当3n ?时，22nna ??
（2）当12x ?时，级数11 nnn a x? ???收敛，并求其和函数65、设( )f x在( 1,1)?的某个邻域内有三阶连续导数，且(0) 0f ??? ?证明：级数1 1 1[ ( ) ( )] 2 (0)n n f f fn n?? ? ??? ? ?? ?? ??绝对收敛66、求幂级数21 12 1 nn xn?? ??在区间(-1,1)内的和函数( )S x .
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67、曲线( ) lim 3 axa xf x e???? ?，1( ) 2g x x?及1x ??所围成封闭图形的面积为__________.68、设D是位于曲线2xay xa?? ? ?1,0a x? ? ???下方、x轴上方的无界区域.（1）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积( )V a；（2）当a为何值时，( )V a最小？并求此最小值.69、曲线33cossinx ty t? ??? ???在4t ??对应点处的曲率为___________.
70、函数( ), ( )f x g x的二阶导函数在x a?处连续，则2( ) ( )lim 0( )x a f x g xx a? ? ??是两条曲线( )y f x?，( )y g x?在x a?对应的点处相切及曲率相等的（）(A)充分非必要条件(B)充分必要条件(C)必要非充分条件(D)既非充分又非必要条件71、一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度? ? 2 2 1x x x?? ? ??，则该细棒的质心坐标x ? __________.
72、设2 2{( , , ) 1},x y z x y z?? ? ? ?则?的形心的竖坐标z ?___________.73、设平面薄片所占的闭区域是由直线2x y? ?，y x?及x轴所围成，它的面密度是2 2( , )x y x y? ? ?，求该薄片的质量74、计算曲线21 1 ln (1 )4 2x y y y e? ? ? ?的弧长75、曲线? ?????? ??? x xtdty 0 40tan ?的弧长s ?___________.
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76、设有曲线1y x? ?，过原点做其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积77、设2 3( , , )f x y z x y z? ? ?，求f在点0(1,1,1)P沿方向:(2, 2,1)l ?方向的方向导数78、( , , )F x y z xyi yz j xzk? ? ?? ? ?，则(1,1,0)rotF ??? ___________..
79、曲面2 2(1 sin ) (1 sin )z x y y x? ? ? ?在点(1,0,1)处的切平面方程为__________.80、计算三重积分( )x y z dxdydz? ? ????，其中?是由平面1x y z? ? ?与三个坐标平面所围成的区域81、设? ?? ?2 2 2, , 1x y z x y z?? ? ? ?，则2z dxdydz? ????．
82、求22zI dxdydzc?????．其中?是椭球体2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ?．83、求2( )I x y z dxdydz?? ? ????，其中2 2: 1, 1x y z? ? ? ?．84、2 2 2: 1, 0x y z z? ? ? ? ? ,计算三重积分2 2 2(2 3 5 )I x y z dv?? ? ????．85、设薄片所占的闭区域D为介于两个圆cos , cos ,r a r b? ?? ? (0 )a b? ?之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)
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86、求2 2 2 2x y z z? ? ?，2 2 32x y z? ?所围公共部分立体的体积87、设曲面: 1x y z? ? ? ?，则( )x y dS? ? ???? __________.88、设L是柱面2 2 1x y? ?与平面0y z? ?的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分L zdx ydz? ??? __________.
89、已知平面区域}0,0),{( ?? ????? yxyxD，L为D的正向边界.试证：（1）dxyedyxedxyedyxe xL yxL y sinsinsinsin ??? ?? ??；（2）.2 2sinsin ??? ?? dxyedyxe xL y90、计算曲线积分2 2 2 24 4L y xI dx dyx y x y? ? ?? ???，其中L是2 2 2x y a? ?，方向为逆时针方向.91、计算0,:, 2222 ?????????? zazyxzdxdyydxdzxdydz的上侧．
92、计算曲面积分2(8 1) 2(1 ) 4 ,I x y dydz y dzdx yzdxdy?? ? ? ? ???其中?是由曲线1(1 3)0z y yx? ? ?? ? ?? ???绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于2? .93、计算2 2( )I x y dS?? ????，?为立体122 ??? zyx的边界．94、计算2 2 2( )cos , :x z zdxdy z x y? ? ? ? ???介于0, 1z z? ?之间部分下侧．
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95、设函数( )f u具有连续的一阶导数，点(1,1)A，(3,3)B，ABL为以AB为直径的左上半个圆弧，从A到B，求1 1[ ( ) ] [ ( ) ]ABL x xf y dx f x dyx y y y? ? ??．96、设2( )z x dydz zdxdy? ? ???，其中?是2 21 ( )2z x y? ?介于0z ?和2z?下侧97、计算2 22( 1) 4L x yxy dx dyx y? ? ??，其中L是曲线24 4x y? ?上从(1,0)A到(0,2)B的一段弧．98、设平面曲线L为下半圆周21y x?? ?，则曲线积分2 2( ) ________L x y ds? ??
99、设?是平面12 3 4x y z? ? ?在第一卦限上的部分，则42 ___________3I x y z dS? ? ?? ? ? ?? ?? ??? .100、设?是由锥面2 2z x y? ?与半球面222 yxRz ???围成的空间区域，?是?的整个边界的外侧，则??? ??? zdxdyydzdxxdydz .
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