2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11．2 12． 13．3
14． 15． 16．390
三、解答题
17．（本小题满分12分）
本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．
（Ⅰ）解：．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．
18．（本小题满分12分）
本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．
（Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，且，．
故取出的4个球均为黑球的概率为．
（Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，
且，．
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．
（Ⅲ）解：可能的取值为．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，
．
从而．
的分布列为
0 1 2 3 的数学期望．
19．（本小题满分12分）
本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知， 平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．
所以二面角的大小是．
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的大小是．
20．（本小题满分12分）
本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：当时，，，
又，．
所以，曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
0 0 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
0 0 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
21．（本小题满分14分）
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式 对任何都成立．
解法二：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设， ①
②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
． ③
由知，要使③式成立，只要，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
22．（本小题满分14分）
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，故．
由椭圆定义得，又，
所以，
解得，而，得，即．
（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，
整理得，
于是，．
由①式得
．
由知．将③式和④式代入得，
．
将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为 ．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组
由①式得． ③
由②式得． ④
将③式代入④式得．
整理得，
于是． ⑤
由①式得． ⑥
由②式得． ⑦
将⑥式代入⑦式得，
整理得，
于是． ⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得，
将代入上式，得
所以，点的轨迹方程为
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