2020-2021学年高一（下）期末数学试卷（3）
设集合，，且，则
A. B. C. 2 D. 4
函数的最小值是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
函数的图象大致为
A. B. C. D.
函数的单调递增区间是
A. B. C. D.
若，则
A. B. C. D.
若，则
A. B. C. D. i
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则
A. B. 或 C. D. 或
菱形ABCD中，，，将沿BD折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为
A. B. C. D.
设函数?，给出下列命题，不正确的是
A. 的图象关于直线?对称 B. 的图象关于点?对称 C. 把的图象向左平移?个单位长度，得到一个偶函数的图象 D. 的最小正周期为，且在?上为增函数
下列命题中是真命题的有
A. 有A，B，C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30 B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间内的频率为
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且，则
A. B. C. D.
已知直三棱柱中，，，D是AC的中点，O为的中点．点P是上的动点，则下列说法正确的是
A. 当点P运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为 B. 无论点P在上怎么运动，都有 C. 当点P运动到中点时，才有与相交于一点，记为Q，且 D. 无论点P在上怎么运动，直线与AB所成角都不可能是
已知，则的值是__________.
设向量，，若，则______.
若，则称与互为“邻位复数”．已知复数与互为“邻位复数”，a，，则的最大值为______.
在正三棱锥中，，点D是SA的中点，若，则该三棱锥外接球的表面积为______ .
为了落实“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中 求直方图中a，b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数每组数据用该组区间中点值作为代表； 设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由； 若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计x的值，并说明理由．
在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 求角B； 若的面积为，BC边上的高，求b，
已知函数的图象如图所示． 求出函数的解析式； 若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，求出函数的单调递增区间及对称中心．
如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点． 求证：平面PCD； 求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 若，?，求c； 求?的取值范围；
已知函数 若，，求函数的定义域和值域； 若函数的定义域为R，值域为，求实数m，n的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力. 由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合A，B，再由交集的定义，可得a的方程，解方程可得
【解答】
解：集合， ， 由，可得， 则 故选：
??
2.【答案】C
【解析】解：因为， ， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值 故选： ，然后结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别，以及函数的奇偶性，属于基础题． 根据函数的奇偶性和时函数值的正负即可判断．
【解答】
解：函数，定义域为R， 则， 则函数为奇函数，故排除C，D， 当时，，故排除B， 故选：
??
4.【答案】D
【解析】解：由得或， 设，则当时，为增函数，此时为增函数，则为增函数， 即的单调递增区间为， 故选： 求出函数的定义域，利用复合函数单调性之间的关系进行求解即可． 本题主要考查函数单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：， ， 则 故选： 将已知等式左边的分子分母同时除以，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于的方程，求出方程的解得到的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将的值代入即可求出值． 此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】
【分析】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 【解答】 解：由，得， 故选??
7.【答案】C
【解析】解：由正弦定理知，， ， ，即， 由余弦定理知，， ， 故选： 先利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，即可得解． 本题考查解三角形的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：当平面平面ABD时，E到平面ABD的距离最大，由于底面BAD的面积为定值， 所以此时四面体的体积最大． 设三角形ABD的外接圆的圆心为，半径， 设四面体的外接球的球心为O，三角形EBD的外接圆的圆心为， 可得， 所以， 则四面体的外接球的面积为， 故选： 考虑当平面平面ABD时，此时四面体的体积最大．求得三角形ABD的外接圆的半径，结合球的截面性质和勾股定理、表面积公式，计算可得所求值． 本题考查四面体的外接球的面积，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：选项A，令?，，则，， 函数的图象关于直线，对称，即选项A不正确； 选项B，令?，，则，， 函数的图象关于点对称，即选项B不正确； 选项C，把的图象向左平移?个单位长度，得到?，是偶函数，即选项C正确； 选项D，最小正周期， 令?，，则，， 函数的单调递增区间为，， 当时，函数的增区间为，而?不是的子区间，即选项D不正确． 故选： 根据正弦函数的中心对称、轴对称、周期性和单调性可分别判断选项A，B和D；选项C，由函数图象的平移变换法则可判断选项 本题考查三角函数的图象与性质，以及图象的平移变换，熟练掌握正弦函数的对称性、周期性和单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A，由分层抽样原理知，样本容量为，所以选项A错误； 对于B，数据1，2，3，3，4，5的平均数为， 众数为6，中位数也是3，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B正确； 对于C，甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5； 它的平均数是， 方差为， 这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C错误； 对于D，由题意知样本容量为10，样本数据落在区间内的频数是4， 所以频率为，选项D正确． 故选： A中，由分层抽样原理求出样本容量的值； B中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可； C中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可； D中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可． 本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：由及正弦定理可得，， 所以， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 因为， 由余弦定理可得， ， 则 故选： 由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求B，然后结合三角形的面积公式及余弦定理即可进行判断． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求直线与平面的夹角，即可判断选项A；设出点P坐标，计算，可判断选项B；由三角形中位线的性质可得，，且，即可判断选项C；根据已知判断当点P运动到中点时，直线与AB所成的角最小，求出其正切值即可判断选项 本题考查命题的真假判断与应用，空间向量的应用，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．
【解答】
解：如图所示，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 当P运动到中点时，，则， 平面的一个法向量为 设直线与平面所成的角的为， 则，，则， 所以，故A正确； 当点P在上运动时，可设，则， 因为O为的中点，则， 所以，则，所以，故B正确； 当点P运动到中点时，与相交于一点，记为Q，连接PO，， 则P为的中点，所以在中，，且， 所以，故C错； 因为，所以直线与AB所成的角为， 因为平面，所以为， 在中，当最小，即点P为中点时最小， 计算可得最小正切值为， 所以直线与AB所成角都不可能是，故D正确． 故选：
??
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二倍角公式，考查计算能力，属于基础题． 根据二倍角公式即可求出．
【解答】
解：因为，则， 解得， 故答案为：
??
14.【答案】5
【解析】
【分析】 本题考查了向量的垂直的条件和向量数量积的运算，属于基础题． 根据向量垂直的条件可得关于m的方程，解之可得结果． 【解答】 解：向量，，若， 则， 则， 故答案为??
15.【答案】
【解析】解：由题意，，故， 点在圆上， 而表示点到原点的距离， 故的最大值为 故答案为： 由题意可得关于a，b的关系式，再由其几何意义求解． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，取AC中点P，连接SP， 在正三棱锥中， ，SP、平面SPB， 平面 平面SNB， 又，，AC、平面SAC， 平面 又平面SAB，平面SAB， 平面 、平面SAC， ， 正三棱锥的三个侧面全等， ，， 、CS、BC两两垂直，且 可将正三棱锥补成正方体 正三棱锥外接球的直径即为正方体的体对角线 正三棱锥的外接球的表面积为 求有关正三棱锥的外接球的问题时，需转化成求对应正方体的外接球．正方体的外接球半径即为正方体体对角线的一半． 本题考查学生的想象能力，利用数形结合的方法进行解题，属于中等难度．
17.【答案】解：由题意得：， 解得， 由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数为： 由频率分布直方图得： 全市居民中月均用水量不低于2吨的频率为：， 全市居民中月均用水量不低于2吨的人数为： 前6组的频率之和是， 而前5组的频率之和为， ， 由，解得：， 因此，估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．
【解析】由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，列出方程组，能求出a，由频率分布直方图能估计该市居民用水的平均数． 由频率分布直方图先求出全市居民中月均用水量不低于2吨的频率，由此能求出全市居民中月均用水量不低于2吨的人数． 前6组的频率之和是，而前5组的频率之和为，从而，由，能估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准． 本题考查平均数、频数、用水量标准的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：因为， 所以由正弦定理可得， 可得， 因为，可得， 所以由，可得 因为的面积为，BC边上的高， 在中，可得，， 所以，解得，可得， 在中，由余弦定理可得
【解析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可得的值，结合，可得B的值． 在中，由已知利用三角函数的定义可求c，利用勾股定理可求BH的值，进而根据三角形的面积公式可求HC的值，从而可得a，在中，由余弦定理即可求得b的值． 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：由函数的图象可得，解得： 又由得：， 而?得：，，，， 综上： 显然， 由，，得的单调递增区间为，， 由，得：对称中心是，
【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，可得函数的解析式． 由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数的单调递增区间及对称中心． 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．
20.【答案】证明：在正方形ABCD中，， 又侧面底面ABCD，侧面底面，平面ABCD， 所以平面PAD，又平面PAD， 所以， 因为是正三角形，M是PD的中点，则， 又，CD，平面PCD， 所以平面PCD； 解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF， 则，，所以， 在正中，， 因为，EF，平面PEF， 则平面PEF， 在正方形ABCD中，， 故平面PEF， 所以是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角， 由平面PAD，， 则平面PEF，又平面PAD， 所以， 设正方形ABCD的边长，则， 所以， 则， 故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为
【解析】利用面面垂直的性质定理证明平面PAD，从而得到，由正三角形的性质可得，再利用线面垂直的判定定理证明即可； 取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，利用线面垂直的判定定理证明平面PEF，则可得平面PEF，由二面角的平面角的定义可知，是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，在三角形中，由边角关系求解即可． 本题考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理的应用，二面角的求解，解题的关键是由二面角的平面角的定义确定所求的角，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由，得， 则，即， 由余弦定理，得， 即，解得或 当时，，则，即A为钝角舍， 故符合． 由得，所以， 则?， 为锐角三角形，，， ，即， 则， 即?， 故?的取值范围是
【解析】利用正弦定理，余弦定理进行转化求解即可． 利用正弦定理，结合三角函数的图像和性质进行求解即可． 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理了，余弦定理以及三角函数的图像和性质是解决本题的关键，是中档题．
22.【答案】解析：若，，则，由，得到，得到，故定义域为， 因为，下面求的值域， 当时，， 当且时，当，而所以 令的值域为 所以的值域为 由于函数的定义域为R，则恒成立，则，即，， 令，化简得，由于的值域为，则， 由函数的定义域为R，所以，即的解集为， 故和是方程的两个根，由韦达定理，，又，，所以
【解析】考察求函数的定义域和值域；函数的恒成立问题，转化为不等式，根据韦达定理求出m，n 注意换元法和复合函数求定义域和值域；用到函数的恒成立问题，不等式求解，韦达定理的应用，中档题
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