绝密本科目考试启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
（1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则AB=
（A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3}
（C）{x|–1x1} （D）{x|1x3}
（2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
（A）（–∞，1） （B）（–∞，–1）
（C）（1，+∞） （D）（–1，+∞）
（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）2（B）（C）（D）
（4）若x，y满足 则x + 2y的最大值为
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
（5）已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3（B）2（C）2（D）2
（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053?
（C）1073 （D）1093
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.
（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.
（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．
（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.
三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
（15）（本小题13分）
在△ABC中， =60°，c=a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7求△ABC的面积.
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．
（I）求证：M为PB的中点；
（II）求二面角B-PD-A的大小；
（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（）求
（）求证：
（19）（本小题13分）
已知函数f（x）=excosx?x.
（）求曲线y= f（x）在点（0f（0））处的切线方程；
（）求函数f（x）在区间[0]上的最大值和最小值.
（20）（本小题13分）
设和是两个等差数列，记
，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）答案
（13）（答案不唯一） （14）Q1 p2
三、
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，
所以由正弦定理得.
（Ⅱ）因为，所以得，
解得或.
（16）（共14分）
解：（I）设交点为，连接.
因为平面，平面平面，所以.
因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.
（II）取的中点，连接.
因为，所以.
又因为平面平面，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
因为是正方形所以
如图建立空间直角坐标系，则，，
，.
设平面的法向量为，则即
令，则.于是
平面的法向量为所以
由题知二面角为锐角，所以它的大小为.
（III）由题意知，，.
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
0 1 2 故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）由抛物线C：过点.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点.
直线ON的方程为，点.
因为
，
所以.
故A为线段BM的中点.
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，则时，
所以在区间上单调递减有即在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）
，
.
当时，
所以关于单调递减.
所以对任意，于是，
所以是等差数列
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