1、一个正方体木块的表面积是8平方厘米,若将木块截成体积相等的8个小正方体.问每个小正方体的表面积是多少平方厘米?
8÷6÷4×6=2平方厘米
2、一个正方体木块的表面积是96平方厘米，如果把它锯成8个体积相等的小正方体要块（如图），每个小正方体的表面积是______平方厘米
一个面96÷6＝16（平方厘米） 小正方体面积16÷4＝4（平方厘米）
4×6＝24平方厘米
3、一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图）．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．
4、 设长方体侧面积为1平方分米，它表面积为1×2+1×2×4＝10平方分米
切成12大长方体的体积．从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的小长方体，剩下部分正好是一个棱长为4厘米的正方体。问:原来这个长方体的表面积是多少？截面积：4×4=16（平方厘米）；截下来的长度：32÷16=2（厘米）；4+2=6（厘米）；原长宽高分别是4厘米，4厘米和6厘米；表面积为：2(4×4+4×6×2)=128(平方厘米)答：原长方体的表面积是128平方厘米.
一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体，则需要切6次，共增加12个大正方体的面，
一个面的面积：162÷（12+6）=9（平方厘米），
因为3×3=9，所以可知大正方体的棱长是3厘米，
大正方体的体积：3×3×3=27（立方厘米），
答：原正方体的体积是27立方厘米．
8、一个边长为60厘米的正方形伯片，剪去四个角后,剩下部分可以拼成一个无盖长方体,问所得长方体容积最大多少
当长=宽=高时；容积最大；此时；长=宽=高=60÷3=20；
此时体积=20×20×20=8000立方厘米
9、一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如图，从四个角上剪去边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的容积是多少升？
盒子的长是： 60-10×2=40（厘米），盒子的宽是： 40-10×2=20（厘米），盒子的高是： 10厘米，盒子的容积： 40×20×10=8000（立方厘米）， 8000立方厘米=8立方分米=8升；答：这个盒子的容积是8升．三面红色的小立方体位于长方体的8个顶点,共8个; 二面红色的立方体位于长方体的12条边,每边的个数是原边长-2,(因为要去掉2个顶点),一共有4((6-2)+(5-2)+(4-2))=36个; 一面被涂色的立方体是长方体表面剩余的立方体,每个表面的数量是原边长-2的矩形面积,一共有2(2×3)+(3×4)+(4×2)］=52个如图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数共有______块．
由图可得：（1）第二层小立方体有：1+3=4（块）；???? 第三层小立方体有：4+5=9（块）； ???? 第四层小立方体有：9+7=16（块）；（2）把各层小立方体的个数加起来求和得：???? 1+4+9+16=30（块） 答：图中共有小立方体30块．4×5=20个?
????????两面涂红色有：20×2=40个（选择对面）?
????????三面涂红色有：40-4=36个（选择4×5两面和3×4一面）
四面涂红色有：36-4=32个（选择4×5两面和3×4两面）
????????五面涂红色有：32-5=27个?????????
六面涂红色有：27-5=22个
一共有：20+40+36+32+27+22=177个
13、用棱长是1厘米的立方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
上下面：9×2=18cm2????????
?左右面：7×2=14cm2?????????
前后面：7×2=14cm2
14、如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
水平切两刀，增加4个面，竖直切三刀，增加6个面，另外一个维度方向切四刀，增加8个面。?所以，一共增加4+6+8=18个面
?表面积总和：18+6=24㎡
15、右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？
正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。??
所以共有正方体?22＋4=26（个）
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13+13 +14=40（个
16、有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块？其中甲的棱长是乙的棱长的乙的棱长是丙的棱长的．如果月甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体？每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块？
【分析】丙是三种正方体中最大的一种，实际上8块丙就能拼成一个正方体，因为要其他2种也用到，就拿掉一块丙，换上一块乙，剩下的地方用甲填上： 实际上是要我们用最少木块去拼一个正方体，体积只是尽可能小，而不一定是要最小：所以，需要的正方体：甲19块？乙1块，丙7块，一共27块。
17、如图是一个边长为2厘米的正方体，在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞：接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞：第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
原正方体的表面积是：2×2×6=24（平方厘米）， 增加的面积：1×1×4+（×）×4+（×）×4＝5（平方厘米）
总表面积为：24+5＝29（平方厘米）．
答：最后得到的立体图形的表面积是29平方厘米．
18、如图，是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具，它的表面积是多少平方厘米？
【分析】孔没有打穿：
外表面积： (4×4-1×1) ×6=90平方厘米
内表面积：1×1×5×6=30平方厘米
19、有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔，如下图所示，求这个立体图形的表面积。
【分析】外表面积： (5×5-5) ×6=120平方厘米
求内表面积时，由于内部结构十分复杂，我们可以将图形内部的面积映射到外表面来进行求解，如图内表面积：16×6=96平方厘米
那么这个立体图形的表面积就为：96+120=216平方厘米
20、如图所示，一个5×5×5的立方体，在一个方向上开有1×1×5的孔，在另一个方向上开有2×l×5的孔！在第三个方向上开有3×l×5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
分析】此题难在求内表面的面积，由于该题的映射情况不对称，但是对立面的映射情况是相同的，所以我们只需弄清楚前上和左面的映射情况就可以求出内表面的面积：外表面积：易求得138
下图为前后左右上下面对应的映射情况：
前后面映射 10×2=20，上下面映射7×2=14 左右面映射16×2=32
则表面积为：13 8+20+14+32=204
（四）圆柱体表面积与体积
21、如图，从长为13厘米？宽为9厘米的长方形硬纸扳的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器，这个容器的体积是多少立方厘米？
（13-2×2）×（9-2×2）×2＝90立方厘米
22、张大爷去年月长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤，今年改用长3米竞2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤，问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍？
【分析】
题中已阐明要体积最大？而两次的围法都有两种，比较后发观：
底面半径为前年的1.5倍，高为前年的2倍
容积=1.5×1.5×2=4.5倍
23、如图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是74人
【分析】从展开图可知，粘舍后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面：顶点总数9×2=18个：
在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条，每条虚线表表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以总棱数19+34÷2=36条：
综上：多面体的面数、顶点数和棱数的总和为：20+18＋36=74
关于多面体的顶点数，棱数，面数，数学家欧拉曾给出一个公式（欧拉公式）：顶点数+棱数-面数＝2
24、下图是正方体，四边形APQC是表示用平面截正方体的截面，截面的线表观在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来+
（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图． （2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A-A，C-C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面，连好线的图形如右上图．长+宽=（485-5）÷2=240（厘米）长+高=（405-5）÷2=200（厘米），宽+高=（365-5）÷2=180（厘米），因为宽比高长240-200=40厘米， 根据和差公式可得高为：（180-40）÷2=70（厘米），宽为：180-70=110（厘米），长为：240-110=130（厘米），长方体包装箱的体积：130×110×70=1001000（立方厘米），1001000立方厘米=1.001立方米，答：这个长方体包装箱的体积是1.001立方米．
．（π=3.14）
大圆柱的表面积：3.14×1.5?2?×2+2×3.14×1.5×1=14.13+9.42=23.55（平方米），中圆柱侧面积：2×3.14×1×1=6.28（平方米），小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×1=3.14（平方米），这个物体的表面积：23.55+6.28+3.14=32.97（平方米）；答：这个物体的表面积是32.97平方米．一个长方体容器，底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长是15厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，现在把铁块轻轻地向上提起24厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？15×15×24÷（60×60-15×15）=5400÷3375，=1.6（厘米）；24+1.6=25.6（厘米）．答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25.6厘米第一次切棱长是12厘米，则体积为12?3?=1728（立方厘米）；这时剩余立体底面形状如图（1），其高是12厘米．第二次切棱长为9厘米，其体积是9?3?=29（立方厘米）．第二次切割后形状如图（2），高为12厘米，另一部分底面形状如图3，高是3厘米．第三次切棱长为6厘米，其体积为6?3?=216（立方厘米）．所以，剩下的体积为21×15×12-1728-729-216=1107（立方厘米）．答：剩下部分的体积是1107立方厘米．
30、在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从正南方向看如下图(1)，从正东方向看如下图(2)，要摆出这样的图形至多能用多少块正方体木块？至少需要多少块正方簿木块？
按如图摆放，至多要20块（左图），至少需要6块（右图）
31、一个长方形水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米：原来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面高多少厘米？
水箱的底面积是40×30=1200（平方厘米），
水的体积是1200×10=12000（立方厘米），
铁块的底面积是20×20=400（平方厘米），
放入铁块后，水箱的底面积变成了1200-400=800（平方厘米），
这时水面高12000÷800=15（厘米），
答：这时水面高为15厘米．
32、在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）：求挖洞后木块的体积及表面积
解答?解：3×3×3-1×1×3×3+1×1×1×2 =27-9+2=20（立方）；3×3×6+1×1×4×6-1×1×6
=54+24-6
=72（平方）；答：这个木块的体积是20立方，表面积是72平方．有一张长方形铁皮按下图剪下阴影部分制成圆柱体，这个圆柱体的表面积是______平方分米3.14×（8÷4）2×2+（16.56-8÷2）×8 =3.14×4×2+12.56×8 =125.6（平方分米）有一张长方形铁皮按下图剪下阴影部分制成圆柱体，这个圆柱体的表面积是______平方分米解：18.84÷3.14=6（dm） 10-6=4（dm）；3.14×32×2+18.84×4， =131.88（dm2）；答：该圆柱的表面积是131.88dm2有一张长方形按下图剪下阴影部分制成圆柱体，这个圆柱体的表面积是______平方分米解：÷3.14=8（dm）-8=1（dm）；3.14×42×2+25.12×1 =125.6（dm2）；答：该圆柱的表面积是dm2
38、一个长方形木块,长是10厘米,宽是7厘米,高是5厘米；把它加工成一个最大的圆锥体,这个圆锥体的体积是多少?
共有三种加工方法,就是以三个不同的面做底.底和对应的高以及圆锥体积分别是
1、长10厘米,宽7厘米做底,高是5厘米.地面直径7厘米,半径3.5厘米,
圆锥体积=3.14×3.5×3.5×5÷3≈64.11
2、长10厘米,宽5厘米做底,高是7厘米.地面直径5厘米,半径2.5厘米,
圆锥体积=3.14×2.5×2.5×7÷3≈45.79
3、长7厘米,宽5厘米做底,高是10厘米地面直径5厘米,半径2.5厘米,
圆锥体积=3.14×2.5×2.5×10÷3≈65.42（最大）
39、如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体．剩下的体积是多少立方厘米？
解：正方体的体积：6×6×6=216（cm3）
???????圆锥的体积： ×3.14×(6÷2)2=56.52（cm3）
?????? 216-56.52=159.48（cm3）
答：剩下的体积是159.48cm3
40、把一个底面积是5平方厘米的三个相等的正方体拼成一个长方体（如图）．求长方体的表面积是多少？
5×14=70（平方厘米） （共有14个面）
答：长方体的表面积是70平方厘米
41、有一个长方体，它的底面积是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积为240平方厘米，求原来长方体的面积 解：（240-190）÷2=25（cm2） 因为5×5=25，所以原长方体的底面是一个边长为5cm的正方形，（190-25×2）÷（5×4）=7（cm） 25×7=175（cm3） 答：原长方体的体积是175cm3有五个表面涂满红漆的正方体其龙长分别为3，5，7，9，11厘米，若把这些正方体全部锯成棱长为一厘米的小正方体，则这些小正方体中有多少是一面涂有红色的。（1×1+3×3+5×5+7×7+9×9）×6990个
43、把一个长方体分割如图．这图中有多少个长方体（包括正方体）？多少个正方体？
长方体：10×6×10=600（个）；正方体：4×4×3+3×3×2+2×2×1=48+18+4 =70（个）； 答：图中有600个长方体，70个正方体＝376.8（立方厘米）
376.8÷（3.14×102）＝1.2厘米
46、一个底面周长为9.42厘米的圆柱体，从中间斜着截去一段后，截后的形体如图，求截后的体积是多少？ 9.42÷3.14÷2=1.5（厘米）
3.14×1.52×4+3.14×1.52×（6-4）÷=35.325（立方厘米）．
答：截后的体积是35.325立方厘米
47、个底面周长是6.28厘米的直圆柱量杯盛有半杯水，当把一个铅球浸在杯里时，杯中水的高度由15厘米上升到17厘米，请问这个铅球的体积是多少？6.28÷3.14÷2=1（厘米），3.14×1?2?×（17-15）=6.28（立方厘米）答：这个铅球的体积是6.28立方厘米＝37.68
50、圆锥形容器中装有6升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装水多少小圆锥的高之比为21，底面积之比为41，体积之比就为(2×4)(1×1)＝81
6×8－6＝ 6×（8-1）= 42L.（此处假设圆锥尖朝下，底面朝上
6÷=48 (升)
这个容器的容积是48升；
若圆锥容器是底面在下,
6÷（1-）= （升）
51、如图，圆锥形容器中装有4升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水？
小圆锥的高之比为21，底面积之比为41，体积之比就为(2×4)(1×1)＝81，这容器还能装水4×(8－1)＝4×7＝28(升)
圆锥的体积=πr2h
水的体积=π()2×=π××r2×h=πr2h×，
所以圆锥的体积：水的体积=8：1；
则这个容器最多装水：50×8=400（升）；
答：这个容器最多能装水400升．
53、如图，圆锥形容器中装有6升水水面的高度是圆锥高度的1/3，这个容器还能装多少升水
理解：高之比1：＝3：1 半径之比3：1
面积之比 32：12＝9：1 体积之比9×3：1×1＝27：1
6×27－6＝156（升）
|
|
