专题3 相似三角形的判定和性质【知识精讲】【历年真题】【考点1】相似三角形的判定1．（2021秋?长宁区期末）如图1，点E是线段BC的中点，
∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（ ）A．△ABE与△ECD相似 B．△ABE与△AED相似 C．D．∠BAE＝
∠ADE 图1 图22．（2021秋?杨浦区期末）如图2，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，
线段DE过点F，且∠ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（ ）A．B．C．D．3．（2021秋?徐汇区期末）如图3，在△ABC中，
∠ACB＝90°，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）A．∠A＝∠DCB B．tan∠ECB＝C．
CD2＝AD?DB D．BC2＝2DB?EC 图3 图4 图54．（2021秋?普陀区期末）如图4，已知点B、D、C、F
在同一条直线上，AB//EF，AB＝EF，AC//DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（ ）A．1B．C．2D．35．（
2021秋?宝山区期末）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．6．（2021秋?普陀区期末）已知在△
ABC中，∠C＝90°，，，如果△DEF与△ABC相似，且△DEF两条边的长分别为4和，那么第三条边的长为（ ）A．2B．C．D
．7．（2021秋?闵行区期末）如图5，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC ∽△ACD的是（ ）A
．B．AC2＝AD?ABC．∠B＝∠ACDD．∠ADC＝∠ACB8．（2021秋?金山区期末）如图6，M是平行四边形ABCD的对角
线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（ ）A．6对B．5对C．4对D．3对 图6
图7图89．（2021秋?崇明区期末）下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）A．∠A＝∠E且∠D＝∠FB．∠
A＝∠B且∠D＝∠FC．∠A＝∠E且D．∠A＝∠E且10．（2021秋?黄浦区期末）如图7，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E
分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝ ．11．（2021秋?徐汇区期末）如图8，△ABC中，A
B=8，BC=7，点D、E分别在边AB、AC上，已知AE=4，∠AED=∠B，则线段DE的长为 ．12．（2021秋?普陀区期末
）如图9，已知点D、E分别在线段AB和AC上，点F是BE与CD的交点，∠B =∠C，如果DF=4EF，AB=6，AC=4，那么AD
的长等于 ． 图9图10图1113．（2021秋?虹口区期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为
“格点三角形”．如图10，在4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC相似且
面积最大，那么△DEF与△ABC相似比的值是 ．14．（2021秋?宝山区期末）如图11，已知一张三角形纸片ABC，AB＝5，B
C＝2，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM＝x，那么x的取值范
围是 3≤x＜4 ．15．（2021秋?青浦区期末）如图12，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边
交于点，如果，，那么 ． 图12 图13图1416．（2021秋?静安区期末）如图13，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4
，点D在边AC上，BD=BC，那么AD的长是 ．17．（2021秋?浦东新区期末）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点是
射线上的一个动点，过点作，交直线于点，那么当时，的值是 ．18．（2021秋?闵行区期末）如图14所示，用手电来测量古城墙高度，
将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝
1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是 米．19．（2021秋?长宁区期末）我国古代数学著作《九章算术
》中记载：“今有邑方不知大小各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图15，正方形ABCD中，F、
G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF＝30，GH⊥AB，GH＝750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为 ． 图
15图16 图1720．（2021秋?奉贤区期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中
开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图16，M、N分别是正方形ABCD的边AD，AB
的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME =100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长AD约为 步．21．（202
1秋?闵行区期末）如图17，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折
，点A恰好落在边BC上的点E处，那么AD＝ ． 【考点2】相似三角形的性质1．（2021秋?黄浦区期末）如果两个相似三角形的
周长比为1:4，那么它们的对应角平分线的比为（ ）A．1:4B．1:2C．1:16D．1: 2．（2021秋?崇明区期末）如果两
个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：163．（2021秋?
浦东新区期末）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积
为（ ）A．B．C．D． 图1图2图34．（2021秋?闵行区期末）两个相似三角形的面积之比是9：25，其中较大的三角形一边
上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 厘米5．（2021秋?长宁区期末）如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这
两个三角形的面积之比为 ．6．（2021秋?松江、杨浦区期末）已知两个相似三角形面积的比是4：9，那么这两个三角形周长的比是
．7．（2021秋?青浦区期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 ．8．（2021秋?金山区期
末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．9．（2021秋?虹口区期末）
已知Rt△ABC的两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为 ．10．（202
1秋?奉贤区期末）顺次连接三角形三边中点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是 ．11．（2021秋?长宁区期末）如图2，在Rt
△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD
，∠EAC＝∠B，则的值为 ．12．（2021秋?普陀区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于
点O，如果S△AOB＝2a，S△BOC＝4a，那么S△ADC＝ .（用含有字母a的代数式表示）13．（2021秋?嘉定区期末）在梯
形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果△AOD、△BOC的面积分别是1cm2、4cm2，那么梯形ABCDD的面
积等于 cm2．14．（2021秋?静安区期末）在△ABC中，DE∥BC，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果△ADE与四边形B
CED的面积相等，那么AD：DB的值为 ．15．（2021秋?浦东新区期末）如图4，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至
E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝ ．16．（2021秋?黄浦区期末）如图5，在△ABC中
，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是 ． 图4 图5 图617．（2021
秋?金山区期末）如图6，Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的边DE在边AB上，顶点F、G分别在边BC、AC上，如果△BEF
、△ADG、△CFG的面积分别是1、2、3，那么矩形DEFG的面积等于 ．专题3 相似三角形的判定和性质【历年真题】【考点
1】相似三角形的判定1．（2021秋?长宁区期末）如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（ D
）A．△ABE与△ECD相似 B．△ABE与△AED相似 C．D．∠BAE＝∠ADE 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相
似；推理能力．【分析】证明△BAE∽△CED，△ABE∽△AED，可得结论．【解答】解：∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠B
AE，∠B＝∠AED，∴∠DEC＝∠BAE，∵∠B＝∠C，∴△BAE∽△CED，∴，∵BE＝CE，∴，∴，∵∠B＝∠AED，∴△A
BE∽△AED，∴，故选项A，B，C正确，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解
决问题．2．（2021秋?杨浦区期末）如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠
ADE＝∠C，下列结论中，错误的是（ D ）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析
】通过证明△EAF∽△BAG，可得，通过证明△ADF∽△ACG，可得，即可求解．【解答】解：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CA
G，∵点F是AG的中点，∴AF＝FG＝，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△CAB，∴∠AEB＝∠B，又∵∠BAG
＝∠CAG，∴△EAF∽△BAG，∴，∵∠ADE＝∠C，∠BAG＝∠CAG，∴△ADF∽△ACG，∴，故选：D．【点评】本题考查了
相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．3．（2021秋?徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，
CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）A．∠A＝∠DCB B．tan∠ECB＝C．CD2＝AD?DB
D．BC2＝2DB?EC 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 【专题】图形的相似
；推理能力．【分析】由∠A+∠ACD＝90°，∠DCB+∠ACD＝90°，得∠A＝∠DCB，故A成立；由tan∠ECB＝tan∠E
BC＝，故B不一定成立；由△BCD∽△CAD，得，可知C成立；由△BCD∽△BAC，得，可知D成立．【解答】解：∵∠ACB＝∠CD
A＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠DCB，故A成立；∵CE是Rt△ACB斜边上的中线，∴
CE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC，∴tan∠ECB＝tan∠EBC＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BD+DE，∵AD＝AE+DE，∴
AD≠DB，∴tan∠ECB≠，故B不成立；∵∠ACB＝∠CDA＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△BCD∽△CAD，∴，∴CD2＝A
D?DB，故C成立；∵△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝BD?AB，∵CE是斜边AB上的中线，∴AB＝2CE，∴BC2＝2BD?C
E，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．4．（2021秋?普陀区期
末）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB//EF，AB＝EF，AC//DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（
）A．1B．C．2D．3【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】由AB//EF得∠B＝∠F，由AC//D
E得∠ACB＝∠EDF，从而证明△ABC≌△EFD得BC＝FD，即可求得BD的长．【解答】解：∵AB//EF，∴∠B＝∠F，∵AC
//DE，∴∠ACB＝∠EDF，在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴BC＝FD，∴BC﹣DC＝FD﹣DC，
∴BD＝FC，∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形全的的判定及性质，熟练掌握
三角形全的的判定方法是解题的关键．5．（2021秋?宝山区期末）下列格点三角形中，与已知格点△ABC相似的是（ A ）A．B．C．
D．【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据题中利用方格点求出△ABC的三边长，可确定△ABC为直角
三角形，排除B，C选项，再由相似三角形的对应边成比例判断A、D选项即可得．【解答】解：△ABC的三边长分别为：，，，∴，∴△ABC
为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；A选项中三边长度分别为：2，4，，∴ ，A选项符合题意，D选项中三边长度分别为：，，，∴
，故选：A．【点评】题目主要考查相似三角形的性质及勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键．6．（202
1秋?普陀区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，，BC=2，如果△DEF与△ABC相似，且△DEF两条边的长分别为4和，那么△D
EF第三条边的长为（ C ）A．2B．C．D．【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据勾股定理得出，
根据相似三角形的性质得出【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，，，∴ ，∵△DEF与△ABC相似 ∴ ∴故选：C．【点评】
题目主要考查相似三角形的性质及勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键．7．（2021秋?闵行区期末）如
图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC ∽△ACD的是（ ）A．B．AC2＝AD?ABC．∠B＝∠
ACDD．∠ADC＝∠ACB【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角
形相似可判断A，B，由两个角对应相等的两个三角形相似可判断C，D，从而可得答案.【解答】解：而∠B，∠ACD不一定相等，不能判断，
故A符合题意；∵ AC2＝AD?AB， 而∠A＝∠A ∴△ABC ∽△ACD故B不符合题意；∵ ∠B＝∠ACD，∠A＝∠A ∴△A
BC ∽△ACD故C不符合题意；∵ ∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A△ABC ∽△ACD故D不符合题意；故选A【点评】本题考查的是相
似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键.8．（2021秋?
金山区期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（
）A．6对B．5对C．4对D．3对 【考点】相似三角形的判定． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据平行四边形的性质得到AD
//BC ，AB//CD ，△ABD≌△CDB ，根据相似三角形的判定定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴A
D//BC ，AB//CD ，△ABD≌△CDB ，∴△AMD∽△EMB，△EFC∽△AFD ，∵AB//CD，∴△ABE∽△FE
C，△AMB∽△FMD∴△AFD∽△AEB，则图中相似三角形有6对，它们分别是：△ABD≌△CDB，△AMD∽△EMB，△EFC∽
△AFD ，△ABE∽△FEC，△AMB∽△FMD ，△AFD∽△AEB，， 故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的判定、平行
四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．9．（2021秋?崇明区期末）下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似
的是（ ）A．∠A＝∠E且∠D＝∠FB．∠A＝∠B且∠D＝∠FC．∠A＝∠E且D．∠A＝∠E且【考点】相似三角形的判定与性质．【
专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．【解答】A、∠D和∠F不是两
个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，
故此选项错误；C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；D、∠
A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握
三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应
边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等
的两个三角形相似．10．（2021秋?黄浦区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝
60°，如果BD＝1，那么CE＝ ．【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】由等边三角形的性质
得出∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出则可求出答案．【解答】解：∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB=BC=AC=3 ，∴∠BAD+∠BDA＝120°，∵∠ADE=60°，∴∠BDA+∠EDC＝120°，
∴∠BAD =∠EDC ，∴△ABD∽△DCE ，∴ ，∵BD＝1，∴CD＝BC-BD=2 ，∴ ，∴ ，故答案为： ．【点评】本
题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．11．（2021秋?徐汇区期末）如图
，△ABC中，AB=8，BC=7，点D、E分别在边AB、AC上，已知AE=4，∠AED=∠B，则线段DE的长为 ．【考点】相似
三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】由△AED∽△ABC，得出比例式求解即可．【解答】解：∵∠AED＝∠B，
∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴，∴，∴DE＝，故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解题的关键．12．（2021秋?普陀区期末）如图9，已知点D、E分别在线段AB和AC上，点F是BE与CD的交点，∠B =∠C
，如果DF=4EF，AB=6，AC=4，那么AD的长等于 2 ． 图9图10图11【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形
的相似；推理能力．【分析】证明△DBF∽△ECF，由相似三角形的性质得出，证明△ABE∽△ACD，由相似三角形的性质得出，设CE＝
x，则BD＝4x，得出方程，求出x＝1，则可得出答案．【解答】解：∵∠DFB＝∠EFC，∠B＝∠C，∴△DBF∽△ECF，∴，∵∠
B＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD，∴，∵AB＝6，AC＝4，∴，设CE＝x，则BD＝4x，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣x，A
D＝AB﹣BD＝6﹣4x，∴，∴x＝1．∴AD＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△ABE∽△ACD
是解题的关键．13．（2021秋?虹口区期末）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图1
0，在4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC相似且面积最大，那么△DEF
与△ABC相似比的值是 ．【考点】相似三角形的性质． 【专题】作图题；图形的相似；运算能力．【分析】根据表格求出AB，BC，AC
的长，由题意画出△DEF与△ABC相似，且面积最大，求出相似比即可．【解答】解：由表格可得：AB＝，BC＝2，AC＝，如图所示：作
△DEF，DE＝，DF＝，EF＝5，∵，∴△DEF∽△ABC，则△DEF与△ABC相似比的值是．故答案为：．【点评】此题考查了相似
三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．14．（2021秋?宝山区期末）如图，已知一张三角形纸片ABC
，AB＝5，BC＝2，AC＝4，点M在AC边上．如果过点M剪下一个与△ABC相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM＝x，
那么x的取值范围是 3≤x＜4 ．【考点】相似三角形的性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】依据相似三角形的对应边成比例，即可
得到x的取值范围．【解答】解：如图所示，过M作MD∥AB交BC于D或ME∥BC交AB于E，则△MCD∽△ACB或△AME∽△ACB
，此时0＜x＜4；如图所示，过M作∠AMF＝∠B交AB于F，则△AMF∽△ABC，此时0＜x≤4；如图所示，过M作∠CMG＝∠CB
A交BC于G，此时，△CMG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2＝CM×CA，即22＝CM×4，∴CM＝1，AM＝3，∴此时，3
≤AM＜4；综上所述，x的取值范围是3≤x＜4．故答案为：3≤x＜4．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相
等，对应边的比相等．15．（2021秋?青浦区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平
分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果，AF=2BF，那么GB= ． 【考点】相似三角形的性质【专题】图形的相似；推
理能力【分析】证明△AFE∽△BFG，得AE＝2BG，设BG＝a，则AE＝2a，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而得结论
．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴△AFE∽△BFG，∴，∵AF＝2BF，∴AE＝2BG，设BG＝a，则AE＝
2a，∵CE平分∠DCB，EF平分∠AEC，∴∠DCE＝∠ECB，∠AEF＝∠CEF，∵AD∥CG，∴∠AEF＝∠G，∠DEC＝∠
ECG，∴∠CEF＝∠G，∠DEC＝∠DCB，，，∴a+2a+3 ＝6，∴a＝2﹣，∴GB＝2﹣．故答案为：2﹣．【点评】本题考查
了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得
等腰是本题的关键．16．（2021秋?静安区期末）如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D在边AC上，BD=BC，那么A
D的长是 ．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】推理能力；图形的相似；三角形【分析】根据等腰三角形的等边对等角可
得∠ABC=∠C=∠BDC，根据相似三角形的判定证明△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，B
D＝BC，∴∠ABC=∠C，∠C=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，∵AB＝AC＝6，BC＝4，BD＝BC，∴，∴，∴AD=AC
－CD=6－=，故答案为：．【点评】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与
性质是解答的关键．17．（2021秋?浦东新区期末）已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是射线BC上的一个动点，过点P作
PQ⊥AP，交直线CD于点Q，那么当BP＝5时，CQ的值是 ．【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】推理能力；图形
的相似；三角形【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【解答】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP
，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝9
0°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴ 故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的
关键．18．（2021秋?闵行区期末）如图所示，用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发，经过平面镜反射
后，光线刚好照到古城墙CD的顶端C处．如果AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.5米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度
是 米．【考点】相似三角形的判定与性质【专题】推理能力；图形的相似；三角形【分析】根据两个三角形相似、对应边长度比成比例求出
古城墙高度．【解答】∵入射角=反射角∴入射角的余角∠APB=反射角的余角∠CPD又AB⊥BD；CD⊥BD ∴△ABP∽△CDP∴
∴CD=PD×=10故答案为：10【点评】本题考查相似三角形在求建筑物的高度中的应用，找出比例是关键．19．（2021秋?长宁区
期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意
图如图15，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF＝30，GH⊥AB，GH＝750，且EH过点A，那么
正方形ABCD的边长为 ．【考点】相似三角形的应用；数学常识；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．【专题】矩形 菱形 正方形
；图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】根据题意，可知△AEF∽△HAG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：∵F、G分别是AD和AB的中点，AD＝AB，∴AF＝AD，AG＝AB，∴AF＝AG，由题意可得，△AEF∽△HAG，∴
，即AF2＝30×750＝22500，解得：AF＝150，∴AD＝2AF＝300故答案是：300．【点评】本题考查了相似三角形的判
定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．20．（2021秋?奉贤区期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这
样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图16，M、
N分别是正方形ABCD的边AD，AB的中点，ME⊥AD，NF⊥AB，EF过点A，且ME =100步，NF=225步，那么该正方形城
邑边长AD约为 步．【考点】相似三角形的应用；数学常识；线段垂直平分线的性质；正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的
相似；运算能力；推理能力．【分析】根据题意，可知△AEF∽△HAG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．【解答】
解：∵F、G分别是AD和AB的中点，AD＝AB，∴AF＝AD，AG＝AB，∴AF＝AG，由题意可得，△AEF∽△HAG，∴，即AF
2＝30×750＝22500，解得：AF＝150，∴AD＝2AF＝300，故答案是：300．【点评】本题考查相似三角形的应用、数学
常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．21．（2021秋?闵行区期末）如图15，
已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D是AB边上一点，将△ACD沿CD翻折，点A恰好落在边BC上的点E
处，那么AD＝ ． 【考点】相似三角形的判定与性质【专题】推理能力；图形的相似；三角形 【分析】翻折的性质可知，；在中有，；，
得是等腰三角形，即可求出长度．【解答】解：翻折可知：，∵，，∴在中，∴，∵∴∴是等腰三角形∴∴故答案为：．【点评】本题考查了轴对称
的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，勾股定理等知识点．解题的关键在于找出边相等的关系． 【考点2】相似三角形的性质1．（
2021秋?黄浦区期末）如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么它们的对应角平分线的比为（ A ）A．1:4B．1:2C．1:16
D．1: 【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．【解答】解：
∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的对应角平分线之比为1：4，故选：A．【点评】本题考查了
对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、
对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2021秋?崇明区期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对
应中线的比为（ B ）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得两个相似三角形的相似比为1：4，再由相似三角形的对应边的中线比等于相似比，即可求解．【解答】
解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．故选：B【点评】本题
主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的对应边的中线比等于相似比是解题的关键．3．（2021
秋?浦东新区期末）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的
面积为（ C ）A．B．C．D． 图1图2图3【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】通过证明△ACD
∽△BCA，由相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【解答】解：∵∠CAD=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△
BCA， ∴ ,∴，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a-a=3a，故答案为：C．【点评】本题考查的是相似三角形的
判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．（2021秋?闵行区期末）两个相似三角形的面积之比是9：25，
其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三角形对应边上的高为 3 厘米【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形的相似；
推理能力．【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高【解答】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三
角形对应边上的高为x∴，解得x=3故答案为：3【点评】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键．5．（2021秋?长
宁区期末）如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为 9：4 ．【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形
的相似；推理能力．【分析】已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．【
解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为3：2，∴它们的相似比为3：2，∴它们的面积比为9：4，故答案为：9：4．【点评】本题考查的
是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．（2021秋?松江、杨浦区期末）已知两个
相似三角形面积的比是4：9，那么这两个三角形周长的比是 ．【考点】相似三角形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】
根据相似三角形的性质求出相似比，再求出周长比．【解答】解：∵两个相似三角形面积的比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴这两
个三角形周长的比是2：3，故答案为：2：3．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比
等于相似比的平方．7．（2021秋?青浦区期末）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 2：3 ．【考点】相
似三角形的性质【专题】图形的相似；应用意识【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得
到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的对应高的比为：2：3，故答案为：
2：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．8．（2021秋?金山区期
末）如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是 ．【考点】相似三角形的性质【专题
】图形的相似；应用意识【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案．【解答】∵两个相似三角形的面积比为1
：4，∴两个相似三角形的相似比为1：2，∴两个相似三角形的周长也比为1：2，∵较大的三角形的周长为18，∴较小的三角形的周长为．故
答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．9．（2021秋?虹口区期末）已知Rt△ABC
的两直角边之比为3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF最长的边长为20，则△DEF的周长为 48 ．【考点】相似三角形的性
质；勾股定理． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据相似三角形的性质得到△DEF是直角三角形，且两直角边之比为3：4，根据勾
股定理计算，得到答案．【解答】解：∵Rt△ABC的两直角边之比为3：4，△DEF与△ABC相似，∴△DEF是直角三角形，且两直角边
之比为3：4，设一条直角边为3x，则另一条直角边为4x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，解得：x1＝4，x2＝﹣4（
舍去），∴△DEF的一条直角边为12，则另一条直角边为16，∴△DEF的周长＝12+16+20＝48，故答案为：48．【点评】本题
考查的是相似三角形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．10．（2021秋?奉贤区期末）顺次连接三角形三边中
点，所得到的三角形与原三角形的周长的比是 ．【考点】三角形中位线定理【专题】图形的相似；推理能力【分析】根据D、E、F分别是A
B、BC、AC的中点，求证△DEF∽△ABC，然后利用相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：
如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△D
EF∽△ABC，∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是．故答案为：．【点评】此题考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定
理的理解和掌握，解答此题的关键是利用了相似三角形周长比等于相似比．11．（2021秋?长宁区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，tan∠BAC＝，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC＝∠B，则
的值为 ．【考点】解直角三角形；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线． 【专题】图形的相似；推理能力．【分析】先由∠ECD＝
∠ACB＝90°，得出∠ECA＝∠BCD，又∠EAC＝∠B，根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACE∽△BCD，再由相似三角形的
对应边成比例得出CE：CD＝AC：BC，即CD：BC＝CE：AC，又∠ECD＝∠ACB，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似
得出△CDE∽△CBA，由tan∠BAC＝，根据正切函数的定义设BC＝3k，则AC＝2k，由勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半得出，然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵EC⊥CD，∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即∠ECA＝∠BCD，又∵∠EAC＝∠B，∴△ACE∽△BCD，∴CE：CD＝AC：BC
，∴CD：BC＝CE：AC．∴△CDE∽△CBA；，在直角△ABC中，∵∠ACB＝90°，，∴可设BC＝3k，则AC＝2k，，∵点
D是斜边AB的中点，∴．∵△CDE∽△CBA，∴．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面
积的比等于相似比的平方．12．（2021秋?普陀区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△
AOB＝2a，S△BOC＝4a，那么S△ADC＝ 3a .（用含有字母a的代数式表示）【考点】相似三角形的判定与性质； 【专题】推
理填空题；图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】首先根据S△AOB：S△BOC＝1：2，可得AO：OC＝1：2；然后根据相似三角
形的面积的比的等于它们的相似比的平方，和等高的三角形面积比是底与底的比，进而可以解决问题．【解答】解：在梯形ABCD中，AD∥BC
，∵S△AOB＝2a，S△BOC＝4a，∴S△AOB：S△BOC＝1：2，∴AO：OC＝1：2；∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC
，∵AD：BC＝1：2，∴S△AOD：S△BOC＝1：4，∴S△AOD＝a，∴S△COD＝2a，∴S△ADC＝S△AOD+S△DO
C＝3a．故答案为：3a．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．13．（2021秋
?嘉定区期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果△AOD、△BOC的面积分别是1cm2、4cm2，那么
梯形ABCDD的面积等于 9 cm2．【考点】相似三角形的性质【专题】图形的相似；应用意识【分析】由于AD∥BC，可得△OAD∽
△COB，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出BO与OD的关系，AO与OC的关系，从而求出△ABO和△CDO的面积，
进而求出梯形的面积．【解答】解：∵AD∥BC，∴△OAD∽△COB，∴，∴AO：CO=DO：BO=1：2，∴，∴，同理求出，故答案
为：9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质，以及三角形面积的求解，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
14．（2021秋?静安区期末）在△ABC中，DE∥BC，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果△ADE与四边形BCED的面积相等
，那么AD：DB的值为 ．【考点】相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；运算能力【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△AB
C，又由△ADE的面积与四边形BCED的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得的值，然后利用比例的性质可求出A
D：DB的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE的面积与四边形BCED的面积相等，∴，∴，∴，∴．故答案为
：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用与数形结合思想的应用．15．（2021秋?浦东新区期末）如图，平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，联结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝ ．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴，故答案为：．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解本题的关键．16．（2021秋?黄浦区期末）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，如果△AOE的面积是4，那么四边形OECD的面积是 8 ． 【考点】相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；运算能力【分析】如图所示，连接DE，先推出DE是△ABC的中位线，得到，DE∥AB，即可证明△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，得到，从而推出，即可得到，再由，即可得到，由，得到，则．【解答】解：如图所示，连接DE，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线， ∴D、E分别是BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线， ∴，DE∥AB，∴△ABO∽△DEO，△CDE∽△CBA，∴，∴，∴，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：8．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．17．（2021秋?金山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的边DE在边AB上，顶点F、G分别在边BC、AC上，如果△BEF、△ADG、△CFG的面积分别是1、2、3，那么矩形DEFG的面积等于 6 ．【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的性质． 【专题】图形的相似；运算能力【解答】解：∵四边形DEFG是矩形∴GD=EF，∠GDE=∠FED=90°，GF//AB∴∠ADG=∠FEB=90°∵GF//AB ∴∠A=∠CGF ∠CFG=∠B∴△FEB∽△ADG∽△GCF∵△BEF、△ADG、△CFG的面积分别是1、2、3∴AD：CG：EF= ：：1设AD=x：CG=x：EF=x根据勾股定理得：AG=x∴GF是△ABC的中线，∴S△GCF：S△ABC=1:4S△ABC=12∴S矩形DEFG= S△ABC- S△GCF- S△BEF- S△ADG=12-3-2-1=6故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质： |
|
