2022北京中考一模数学分类——几何综合压轴题倍长八字5题一线三垂直1题三线合一1题手拉手5题共计12题一、倍长八字共5小题1.（2022朝
阳一模27题）在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点．（1）如图，若，①依题意补全图形；②用等式表示线段
之间的数量关系，并证明；（2）若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）
． 2.（2022顺义一模27题）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于点E，F，连接DE，D
F．（1）求∠EDF的度数；（2）用等式表示线段AE，BF，EF之间的数量关系，并证明． 3.（2022平谷一模27题）如图，在△
ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截
取EF=EC，连接BF交CD于G.(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE=∠BCD (3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并
证明.4.（2022丰台一模27题）如图，在△ABC中，∠BAC=α,点D在边BC上（不与B,C重合），连接AD,以点A为中心，将
线段AD逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE.∠BAC+∠DAE= °取CD的中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的
数量关系，并证明。 5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D为边BC上一点（不与点C重
合），CD＜BD，点E在AD的延长线上，且ED=AD，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求
证：BE=BF；（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明． 一线三垂直共1小题6.（2022通州一模27题）如图，在中，
，．点是延长线上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段．过点作，交于点．（1）①直接写出的度数是____________
；②求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 三线合一共1小题7.（2022大兴一模27题）已知：如图，OB=BA，∠O
BA=150°，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC.连接BC，OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D.（1）依题意补全图形；
（2）求∠DOC的度数. 手拉手共5小题8.（2022燕山一模27题）如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC<60°，AD
是BC边的高线，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形，写出∠CAE= °（2）
求∠BAF+∠ABF和∠FBC的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明． 9.（2022门头沟一模27
题）如图，在等边△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转，得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．（1）① 根据
题意，补全图形；② 请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系，并证明．（2）分别延长CD和AE交于点F，用等式表示线段AF，CF，
DF的数量关系，并证明． 10.（2022房山一模27题）已知：等边，过点作的平行线．点为射线上一个动点（不与点重合），将射线
绕点顺时针旋转60°交直线于点．（1）如图1，点在线段上时，依题意补全图形；①求证：；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2
）点在线段的延长线上，直接写出线段之间的数量关系． 11.（2022海淀一模27题）27．在中，，，为边上一动点，点在边上，．点
关于点的对称点为点，连接，为的中点，连接．（1）如图1，当点与点重合时，写出线段与之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点与点
不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。 12.（2022西城一模27题）已知正方
形ABCD,将线段BA绕点B旋转 (0°＜＜90°),得到线段BE,连接EA,EC. (1)如图1,当点E在正方形ABCD的内部
时,若BE平分∠ABC,AB=4,则∠AEC= °,四边形ABCE的面积为 ；(2)当点E在正方形ABCD的外部时, ①在图2中依
题意补全图形,并求∠AEC的度数； ②作∠EBC的平分线BF交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF,用等式表示线段AE,FB
,FC之间的数量关系,并证明. 2022北京中考数学一模分类——几何综合压轴题（教师版）倍长八字5题一线三垂直1题三线合一
1题手拉手5题共计12题一、倍长八字共5小题1.（2022朝阳一模27题）在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交
直线于点．（1）如图，若，①依题意补全图形；②用等式表示线段之间的数量关系，并证明；（2）若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理
由；若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）． 【答案】（1）①如图 ②法一：延长AD交CE延长线与F点（类似倍长
中线） ∵CE∥AB∴∠1=∠B ∠2=∠F 又∵D为BC中点∴BD=CD ∴△ABD≌△FCD （AAS） ∴AB=FC∴AB
=EF+EC 又∵AB与AB′关于AD对称 ∴∠2=∠3 ∴∠3=∠F 即：EF=AE ∴AE+EC=AB ②法二：补短法 连接
B′ D与 B′ C，∵ D为AB中点，AB与AB′关于AD对称∴ BD=BD′=DC，∠6=∠B ∴ ∠DB′C=∠DCB′又
∵ EC∥AB ∴∠7 =∠B∴∠7 =∠6 ∴ ∠ 1 =∠ 2∴EC=EB′ ∴ AB′=AE+EB′ ∴AE+EC=AB
（2）不成立；AE=EC+AB或CE=AB+AE①AE=EC+AB证法一 ：（类倍长中线）延长AD交EC延长线与点F在△ABD与△
FCD中 ∴△ABD≌△FCD （AAS） ∴AB=CF又∵ AB与AB′关于AD对称 ∴∠ 1 =∠ 2+∠ 3∴∠ 2+∠
3=∠ F 即EA=EF又∵EF=EC+CF ∴ AE=EC+ABAE=EC+AB证法二： 截长法 连接B′ D与 B′ C∵ A
B与AB′关于AD对称 ∴△ABD≌△AB′D∴BD=B′D ∠B=∠AB′D 又∵ EC∥AB∴∠B+∠DCE=180°又∵∠
AB′D +∠DB′E=180° ∴∠DCE=∠DB′E又∵D为AB中点 ∴BD=CD ∴BD=CD=B′D ∴∠ 7=∠ 8 ∴
∠ 6=∠ 5即EB′=EC∴ AE=EC+AB②CE=AB+AE ,理由如下：如图，连接BD,BC·∵将线段AB沿AD所在直线翻
折，得到线段AB′ ∴AB′=AB ，∠6=∠7又∵CE∥AB ∴ ∠1=∠2∵ D为BC中点 ∴ CD=BD在△ABD和△KC
D中 ∴△ABD≌△KCD(ASA） ∴ AB=CK∵CE∥AB ∴∠5=∠6又∵∠7=∠8 ∴∠5=∠8 ∴EA=EK
∴CE=AB+AE2.（2022顺义一模27题）如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于点E，
F，连接DE，DF．（1）求∠EDF的度数；（2）用等式表示线段AE，BF，EF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：解法（
一）∵EF垂直平分CD∴EC=ED,FC=FD∴∠ECD=∠EDC,∠FCD=∠FDC∴∠ECF=∠EDF∵∠ACB=90°∴∠E
DF=90°解法（二）∵EF垂直平分CD∴EC=ED,FC=FD∵EF=EF∴△ECF≌△EDF∴∠ECF=∠EDF∵∠ACB=9
0°∴∠EDF=90°（2）AE2+BF2=EF2证法（一）证明：延长FD到M，使DM=DF,连接 AM,EM∵AD=BD,∠AD
M=∠BDF∴△ADM≌△BDF∴∠MAD=∠B,AM=BF∵∠ACB=90°∴∠CAB+∠B=90°（这里也可以证AM∥BC得∠
MAC+∠ACB=180°）∴∠EAM=90°∴AE2+AM2=EM2由（1）得∠EDF=90°又∵FD=DM∴EF=EM ∴
AE2+BF2=EF2（本作法也可叙述为：过A点作AM∥CB,交FD的延长线于M，证法大同小异）证法（二）证明：延长ED到N,使D
N=DE ,连接BN,FN ∵AD=BD，∠ADE=∠BDN ∴△ADE≌△BDN ∴AE=BN，∠A=∠DBN∵∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°（这里也可以证AC∥BN 得∠NBC+∠ACB=180°）∴∠FBN=90°∴BN2+BF2=FN
2由（1）得∠EDF=90°∴EF=NF ∴AE2+BF2=EF23.（2022平谷一模27题）如图，在△ABC中，∠ACB=90
°，AC=BC,点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF=EC，连接BF交
CD于G.(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE=∠BCD (3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明.27.(1)补全图
形............................................1 (2) 证明： ∵∠ACB=90
° ∴∠BCD+∠ACD=90°............................................2 ∵AE
⊥CD ∴∠CAE+∠ACD=90°∴∠CAE=∠BCD.....................................
.......3方法一：BG=FG.................4过B作BM⊥CD于M，∵∠CAE=∠BCD，AC=BC，∠A
EC=∠BMC=90°∴△AEC≌△CBM（AAS）.................5∴BM=CE∵CE=EF∴BM=EF...
..............6∵∠AEG=∠BMG=90°∠EGF=∠BGM ∴△EFG≌△BMG（AAS） ∴FG=BG ..
..............................7方法二：证明：延长AE到H，使EH=FE，连接FC、CH、BH. ∵
AE⊥CD于E , EF=EC ∴△FEC是等腰直角三角形 ∵EF=EH ∴FC=CH，∠CFH=∠CHE=45°∴△FCH是等腰
直角三角形.................5∵∠HCB+∠BCF=90° ∠ACF+∠BCF=90°∴∠ACF=∠BCH∵AC=
BC，CH=CF∴△AFC≌△CHB（SAS）.................6∴∠CHB=∠CFA=135°∴∠AHB=135
°-45°=90°∴EG平行于HB∴∴FG=BG ................................74.（2022
丰台一模27题）如图，在△ABC中，∠BAC=α,点D在边BC上（不与B,C重合），连接AD,以点A为中心，将线段AD逆时针旋转1
80°-α得到线段AE,连接BE.∠BAC+∠DAE= °取CD的中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明。
〖答案〗 ∠BAC+∠DAE=α+180°-α=180°.（2）BE=2AF证法一延长AF至G，使FG=AF,连接CG∵DF=C
F ∠AFD=∠GFD∴△AFD≌△GFC∴AD=GC ∠ADC=∠GCF设∠BAD=β ∵AB=AC∠BAC=α∴∠ACB=
∠ABC==90°- ∠ADC=∠ABC+∠BAD=90°- +β=∠GCF∴∠ACG=∠ACB+∠GCF=180°-α+β∵∠B
AE=∠BAD+∠DAE=180°-α+β∴∠BAE=∠ACG∵AB=AC AE=AD=GC∴△BAE≌△ACG∴BE=AG=
2AF证法（二）延长DA到M，使AM=DA 连接MC∵DF=CF∴CM=2AF∵∠BAC=α ∠DAE=180°-α∴∠MAE=
α=∠BAC∴∠BAE=∠CAM∵AB=AC AE=AD=AM∴△ABE≌△ACM∴BE=CM=2AF证法三延长CA到N,使AN
=AC连接DN∵DF=CF∴CM=2AF∵∠BAC=α ∠DAE=180°-α∴∠NAB=180°-α=∠DAE∴∠BAE=∠NA
D∵AB=AC=AN AE=AD∴△ABE≌△AND∴BE=ND=2AF5.（2022石景山一模27题）如图，△ACB中，AC=
BC，∠ACB=90°，D为边BC上一点（不与点C重合），CD＜BD，点E在AD的延长线上，且ED=AD，连接BE，过点B作BE的
垂线，交边AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE=BF；（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明． 证法一证
明：(2)在DB上截取DK=DC,结合DE=DA得平行四边形ACEK.于是CD=DK,CK=2CD,KE=CA=CB,KE∥AC,
注意AC⊥BC,知KE⊥BC.因此∠EKB=∠ACD=90°.又由∠FBC+∠CBE=∠FBE=90°=∠BEK+∠CBE有∠FB
C=∠CBE.在△BKE与△FCB中，∠BKE=∠FCB,KE=CB,∠KEB=∠CBF,所以△BKE?△FCB（ASA）,所以B
E=FB.(3)由（2），△BKE?△FCB，知BK=FC,结合BC=AC推出AF=CK=2CD.证法二证明：将等腰Rt△ABC沿
BC翻折，得等腰Rt△KBC.则ACK共线.△KBC?△ABC.从而BK=BA,CK=CA,∠BKA=∠BAK=45°,∠CBK=
∠CBA=45°,∠ABK=90°=∠FBE.所以∠ABF=∠KBE.连接EK.注意DE=AD,可知EK=2DC,EK∥DC.因B
C⊥AK,故EK⊥AK，故∠BKE=45°=∠BAF.在△ABF与△KBE中，∠ABF=∠KBE,AB=KB,∠BAF=∠BKE,
所以△ABF?△KBE（ASA），所以BF=BE， (2)得证；AF=KE=2DC, (3) 得证.证法三证明：如图
沿BF翻折△ABF,得△KBF；沿BC翻折△ABC,得△KBC.ACL共线.∠BKF=∠BLF=45°,BFKL共圆. EL=2C
D,EL∥CD,EL⊥AL,BFLE共圆.BFKLE共圆.∠BEF=∠BLF=45°，BF=BE.（2）得证.∠FLK=∠FBK=
∠FBA=∠LBE=∠LFE,KL∥FE,FK=EL,AF=2CD. (3)得证.一线三垂直共1小题6.（2022通州一模27题）
如图，在中，，．点是延长线上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段．过点作，交于点．（1）①直接写出的度数是______
______；②求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】27．（1）①的度数是； ………………… 1分②证明：
∵，，∴，∵，∴,………………… 2分 ∵ EF∥BD，∴. ∴.∴.………………… 3分（2）线段AF和CD的数量关系是.证明
：延长EF交AC于点G. ………………… 4分∵ ， ∴，， ………………… 5分 ∴在△DCA和△AGE中， ，∴△DCA ≌
△AGE， ………………… 6分 ∴ ∵∴.………………… 7分 ∴.法二：在AC上截取CH＝CD，连接DH，证明△ADH≌△EA
F（ASA）H∠ACD=90°∴∠DHC=45°∴DH=DC……………5分∴∠ADH+∠DAH=45°（三角形的外角等于与它不相邻
内角的两个内角和）∴∠EAF+∠DAH=45°（由图可得）∴∠ADH=∠EAF又∵∠DAH=∠E（由（1）②可知） AD=AE(
旋转)∴△ADH≌△AEF（AAS）………………6分∴DH=AF∴AF=CD………………………………7分法三：见下图：过A点作AH
⊥AC，且AH＝AC，连接EH。则△AEH≌△ADC，∴HE=DC。过点F作FM⊥AH于点H，则可得矩形EFMH，∴MF=HE=D
C，AF=MF，可得结论AF=CD。(注：最后一问添加辅助线的方法：截长补短和旋转)三线合一共1小题7.（2022大兴一模27题）
已知：如图，OB=BA，∠OBA=150°，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC.连接BC，OA，OC，过点O作OD⊥AC于
点D.（1）依题意补全图形；（2）求∠DOC的度数. 【答案】27．（本小题满分7分）（1）补全图形如图所示，（2）辅助线如图所
示：法1：【利用∠EOA=∠DOA，“角平分线到角两边距离相等”，过点A作OB延长线的垂线，再利用利用∠EBA =30°， AE
= AD =AB =AC = DC ,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°】过点A作AE⊥BO于E．∴∠AEB = 90o，∵∠
ABO =150°，∴∠ABE = 30o，∠BAE = 60o，又∵BA = BO，∴∠BAO =∠BOA = 15o，∴∠OA
E = 75o，∵∠BAC = 90°，∴∠DAO =∠BAC-∠BAO =90°-15°= 75o，∴∠OAE =∠DAO，∵O
D⊥AC于点D，∴∠AEO =∠ADO = 90o，∴△AOE ≌ △AOD，..........................
....................................4分∴AE = AD，在Rt△ABE中，∠ABE = 30
o，∴，又∵AB = AC，∴，∴AD = CD，又∵∠ADO =∠CDO = 90o，∴△ ADO ≌△CDO，........
.....................................................6分∴∠DCO =∠DA
O =75o，∴∠DOC =15o．...............................................
...............7分法2：【出现30°，利用30°所对直角边等于斜边一半，此时又出现了矩形ADEB, BE = AD
=AB =AC = DC ,中点和垂足重合，三线合一得所求是15°】过点B做BE⊥OD交于点E。∵ OB=BA，∠OBA=150
°∴∠BOA = 15o∵OD⊥AC于点D，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，BE⊥OD∴BA//OD ，四边形BADE
是矩形，BA = AC∴∠BAO =∠AOD = 15o, ∠BOE = 30o，BE = AD∴BE = AD =OB =BA
=AC = DC ∴AD = DC ...............................................
...............4分又∵∠ADO =∠CDO = 90o，∴△ ADO ≌△CDO，................
.............................................6分∴∠DOC =15o．.......
......................................................7分法3：【与法2类似
，构造含有30°角的直角三角形，此时又出现了矩形ADOE, OE = AD=BO =BA =AC = DC ,中点和垂足重合，三线
合一得所求是15°】 延长AB，过点O做OE垂直AB延长线于点E。则：AD//EO,∠EAO = ∠AOD∵ OB=BA，∠OBA
=150°∴∠BOA = ∠BAO = ∠AOD = 15o∴∠OBE = 30o, OE =OB =BA∵OD⊥AC于点D，线
段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，OE⊥AB∴四边形ADOE是矩形，OE = AD =OB =BA =AC = DC ∴点
D 是△AOC底边AC的中点和垂足 ..............................................
......4分由等腰三角形三线合一得，.............................................
................6分∴∠DOC = ∠AOD = 15o．............................
.................................7分法4：【构造平行四边形含有30°角的直角三角形，结合∠ADO
= 90°，∠AED = 30°, 得到 AD =AE =BO =BA =AC = DC ,中点和垂足重合，三线合一得所求是15
°】过点A做AE//BO,交OD于点E。∵ OB=BA，∠OBA=150°∴∠BOA = ∠BAO = 15o∵OD⊥AC于点D，
线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC∴BA//OD, OB = BA = AC∴四边形AEOB是平行四边形，∠BOA = ∠
BAO = ∠AOD = 15o∴∠BOE = ∠AED = 30o∴AD = AE =OB =BA =AC∴点D 是△AOC底边
AC的中点和垂足 ....................................................4分由
等腰三角形三线合一得，......................................................
.......6分∴∠DOC = ∠AOD = 15o．.....................................
........................7分法5：【构造正方形，△BOE是等边三角形， 得到∠EOC = ∠ECO =15
°，再由EC//OD，得∠DOC = ∠OCE = 15°】过点B做BE//AC，与CA的垂线CE交于点E。∵线段BA绕点A逆时针
旋转90°得到线段AC∴BA⊥AC，BA = AC∵BE//AC∴∠ABE = 90o又∵AC⊥CE∴四边形ABEC是正方形∴B
E = AC = AB = BO∵∠OBA=150°∴∠OBE = 60o∴三角形EOB是等边三角形,EO = EB = EC∴
∠OEC = 150o∵∠EOC = ∠ECO = 15o .................................
..................4分∴OD⊥AC, ∠ACE = 90o∴OD//EC ..................
.......................................6分∴∠DOC = ∠EOC = 15o．.....
.......................................................7分法6：【利用△A
BO外角等于30°，构造含有30°的直角△ABF，AF等于BF的一半；同理，FD等于OF的一半；利用AD和AC的一半关系，即中点，
三线合一得∠DOC = ∠OCE = 15°】延长CA、OB交于点F。∵ OB = BA，∠OBA=150°∴∠BOA = ∠BA
O = 15o, ∠FBA = 30o∴AF = BF , AB = BO =AF∵OD⊥AC，线段BA绕点A逆时针旋转90°得
到线段AC∴BA//OD , ∠BOA = ∠BAO = ∠AOD = 15o, AB = AC =AF∴∠FOD = 30o,
FD =OF =( OB ＋BF ) = AF ＋AF = FA＋AD∴AF = AD =AC∴点D 是△AOC底边AC的中点和
垂足 ....................................................4分由等腰三角形三
线合一得，............................................................
.6分∴∠DOC = ∠AOD = 15o．...........................................
..................7分法7：【在AB上取一点K，构造含有30°的直角△ADK，AD等于KD的一半；利用∠KDC
= ∠BOD = 30°得到四边形BKDO是等腰梯形，从而得到AD等于BO（＝BA＝AC ）一半，三线合一得∠DOC = ∠OCE
= 15°】在AB上取一点K，使得∠AKD＝ 30°∵线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC∴∠BAD = 90o, AD
= KD , BA = AC∵OD⊥AC∴BA//OD∴∠KDO = 30°∵ OB = BA，∠OBA=150°，BA//OD
∴∠BOA = ∠BAO =∠AOD = 15o∴∠BOD = 30o∴四边形BKDO是等腰梯形∴ KD = 2AD = OB
= BA = AC∴点D 是△AOC底边AC的中点和垂足 ...................................
.................4分由等腰三角形三线合一得，..................................
...........................6分∴∠DOC = ∠AOD = 15o．.................
............................................7分手拉手共5小题8.（2022燕山一模2
7题）如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC<60°，AD是BC边的高线，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接
BE交AD于点F．（1）依题意补全图形，写出∠CAE= °（2）求∠BAF+∠ABF和∠FBC的度数；（3）用等式表示线段AF，B
F，EF之间的数量关系，并证明． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，补全图形即可；（2）根据等腰三角形三线合一的性质，
求得∠BAD=∠BAC，由旋转的性质可得∠ABE=∠E，由三角形内角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CA
E，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性质可得∠FBC；（3）在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，由△ABF≌△AE
M求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等边三角形，便可解答；【小问1详解】解：如图分别以A，C为
圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AD于点F，则∠CAE=60°；【小问2法（1）详解】解：∵，是边的高线，∴，∵线
段绕点A逆时针旋转得到线段，∴，又，∴，在中，，∴∴又∵是边的高线，∴∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．【小问2法（2）图解】思
路：构造辅助圆【小问3法（1）详解】解：如图，在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM
，∴△ABF≌△AEM（SAS），∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，∵∠CAE=60°
，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；【小问3法（2）图解】思路：在线段EF上截取EM=
BF,构造△ABF≌△AEM（SAS），证△AFM是等边三角形，进而转化结论：AF+BF=EF【小问3法（3）图解】思路:连接CE
在线段FE上截取FG=FC,构造等边三角形FCG;证△ABF≌△ACF;证△ACF≌△ECG; 进而转化结论：AF+BF=EF【小
问3法（4）图解】思路：延长FD到点G,使得FG=FB,构造等边三角形BFG;证△ABG≌△ECF; 进而转化结论：AF+BF=E
F【小问3法（5）图解】思路：连接CE;倍长FD到点G,使得DG=FD,证△BFD≌△CGD;可证；△FCG是等边三角形；再证△A
CG≌△ECF;进而转化结论：AF+BF=EF【小问3法（6）图解】思路：在线段FE上截取FG=FA,构造等边三角形AFG;证△A
BG≌△AEF; 进而转化结论：AF+BF=EF【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形判定的性质，三角形内角和定理，全等三角形的
判定和性质，等边三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键．9.（2022门头沟一模27题）如图，在等边△ABC中，将线段AC
绕点A顺时针旋转，得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．（1）① 根据题意，补全图形；② 请用等式写出∠BA
D与∠BCD的数量关系，并证明．（2）分别延长CD和AE交于点F，用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明． 解：（1
）① 略；………………………………………………………………………………2分② ，理由如下：………………………………………………3分
∵ 是等边三角形，∴ .∵ 线段AC绕点A顺时针旋转，∴ ，.∴ ，.又∵ ， ∴ .∴. ∴. …………………………………………
…………………5分（2）AF，CF，DF的数量关系是，证明如下：将线段CF绕点C顺时针旋转60°交AF于点G.∵是等边三角形，∴，
.∴.∴.即.∵ AE平分，∴ .∵ ，∴ .即.∵，∴ 是等边三角形.∴ .∴≌∴.∵ ，∴.∴ ≌∴ .∴ .∴ .……………
……………………………………………………7分10.（2022房山一模27题）已知：等边，过点作的平行线．点为射线上一个动点（不与点
重合），将射线绕点顺时针旋转60°交直线于点．（1）如图1，点在线段上时，依题意补全图形；①求证：；②用等式表示线段之间的数量关系
，并证明；点在线段的延长线上，直接写出线段之间的数量关系．【答案】27．（本小题满分7分）27.（1）①补全图形如图所示， ………
…………………………………………1分证明：设PD交BC 于点E∵是等边三角形∴∵将射线PC绕点P顺时针旋转60°∴∵∴∴∵∴ ……
………………………………………………3分②法1：【利用“先量后猜再证明”或出现60°和旋转构造全等，使得BQ=BP】在BC上取一点
Q使得BQ=BP，连接PQ∵∴是等边三角形∴PB=PQ，∠BPQ=60°∴又∵∴∴∵∴ …………………………………………………5分
法2：【利用“四点共圆”和出现60°和旋转构造全等，截取BD=BG】在BC上取一点G使得BD=BG，连接DG∵∴是等边三角形， =
60°，BD=GD由上问知：∴四边形四点共圆（同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆）。∴在△BDP与△GDC中：∵BD=GD，
，∠DBP=∠DGC=120°∴∴∵∴ …………………………………………………5分（2） …………………………………………………7
分证明：在BC上截取一点E使得BE=BP，连接PE.∵是等边三角形∴∵将射线PC绕点P顺时针旋转60°∴∵∴∴是等边三角形∵∴在△
BPC与△中：∵，，PB=PE∴∴∵∴ 11.（2022海淀一模27题）27．在中，，，为边上一动点，点在边上，．点关于点的对称
点为点，连接，为的中点，连接．（1）如图1，当点与点重合时，写出线段与之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点与点不重合时，判
断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。 【答案】12.（2022西城一模27题）已知正方形ABCD,将线段BA绕点B旋转 (0°＜＜90°),得到线段BE,连接EA,EC. (1)如图1,当点E在正方形ABCD的内部时,若BE平分∠ABC,AB=4,则∠AEC= °,四边形ABCE的面积为 ；(2)当点E在正方形ABCD的外部时, ①在图2中依题意补全图形,并求∠AEC的度数； ②作∠EBC的平分线BF交EC于点G,交EA的延长线于点F,连接CF,用等式表示线段AE,FB,FC之间的数量关系,并证明. 【答案】解：（1）135，；2分 （2）① 补全图形，如图1．∵正方形ABCD的边BA绕点B旋转得到线段BE，∴BE=BA=BC，∠ABC=90°，∠ABE=．∴∠BEA=∠BAE=90°，∠BEC=∠BCE=45°．∴∠AEC=∠BEA∠BEC=45°．4分② ． 构造全等的方法：法1：（等线段，共端点，必旋转）证明：过点B作BH∥EC交FC的延长线于点H，如图． ∵BE=BC，BF平分∠EBC， ∴BF垂直平分EC． ∴FE=FC，∠FGC=90°． ∴∠FEC=∠FCE=45°． ∴∠GFC=45°． ∵BH∥EC， ∴∠FBH=∠FGC=90°，∠H=∠FCG =45°． ∴BF=BH·tan45°=BH，FH=． ∵∠ABF =90°－∠FBC，∠CBH =90°－∠FBC， ∴∠ABF =∠CBH． ∵AB=CB， ∴△ABF≌△CBH． ∴AF=CH． ∵FH=FC＋CH=FC＋AF=FC＋FE－AE=2FC－AE， ∴ =2FC－AE．7分法2：（等线段，共端点，必旋转）简证：过点B作BH∥EC交FE的延长线于点H，如图．Step1：△BCF≌△BAH（SAS）Step2：构造相似的方法：法3：简证：连接AC，过点C作CH⊥CE交EF的延长线于点H，如图．Step1：△BCF∽△ACH（两边成比例及其夹角相等）Step2：法4：简证：在CF的延长线上截取FH=FA，连接AH，AC，如图．Step1：△ABF∽△ACH（两边成比例及其夹角相等）Step2： |
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