2019年湖北省黄石市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2019?黄石)下列四个数:﹣3,﹣0.5,,中,绝对值最大的数是( )
A.﹣3 B.﹣0.5 C. D.
2.(3分)(2019?黄石)国际行星命名委员会将紫金山天文台于2007年9月11日发现的编号为171448的小行星命名为“谷超豪星”,则171448用科学记数法可表示为( )
A.0.171448×106 B.1.71448×105
C.0.171448×105 D.1.71448×106
3.(3分)(2019?黄石)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.(3分)(2019?黄石)如图,该正方体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
5.(3分)(2019?黄石)化简(9x﹣3)﹣2(x+1)的结果是( )
A.2x﹣2 B.x+1 C.5x+3 D.x﹣3
6.(3分)(2019?黄石)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥1且x≠2 B.x≤1 C.x>1且x≠2 D.x<1
7.(3分)(2019?黄石)如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB边的中点是坐标原点O,将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后,点B的对应点B''的坐标是( )
A.(﹣1,2) B.(1,4) C.(3,2) D.(﹣1,0)
8.(3分)(2019?黄石)如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=( )
A.125° B.145° C.175° D.190°
9.(3分)(2019?黄石)如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限,BA⊥x轴于点A,反比例函数y=(x>0)的图象与线段AB相交于点C,且C是线段AB的中点,点C关于直线y=x的对称点C''的坐标为(1,n)(n≠1),若△OAB的面积为3,则k的值为( )
A. B.1 C.2 D.3
10.(3分)(2019?黄石)如图,矩形ABCD中,AC与BD相交于点E,AD:AB=:1,将△ABD沿BD折叠,点A的对应点为F,连接AF交BC于点G,且BG=2,在AD边上有一点H,使得BH+EH的值最小,此时=( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)(2019?黄石)分解因式:x2y2﹣4x2= .
12.(3分)(2019?黄石)分式方程:﹣=1的解为 .
13.(3分)(2019?黄石)如图,一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向,该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处,再观测灯塔P位于南偏西60°方向,若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处,此时轮船与灯塔之间的距离PT为 海里(结果保留根号).
14.(3分)(2019?黄石)根据下列统计图,回答问题:
该超市10月份的水果类销售额 11月份的水果类销售额(请从“>”“=”“<”中选一个填空).
15.(3分)(2019?黄石)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F,AD=,∠ADC=60°,则劣弧的长为 .
16.(3分)(2019?黄石)将被3整除余数为1的正整数,按照下列规律排成一个三角形数阵,则第20行第19个数是 .
三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)(2019?黄石)计算:(2019﹣π)0+|﹣1|﹣2sin45°+()﹣1.
18.(7分)(2019?黄石)先化简,再求值:(+x﹣2)÷,其中|x|=2.
19.(7分)(2019?黄石)若点P的坐标为(,2x﹣9),其中x满足不等式组,求点P所在的象限.
20.(7分)(2019?黄石)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根为x1、x2,且|x1﹣x2|=4,求m的值.
21.(8分)(2019?黄石)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF、EF相交于点F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
22.(8分)(2019?黄石)将正面分别写着数字1,2,3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同,若背面朝上放在桌面上,这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲从中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为m,然后放回洗匀,背面朝上放在桌面上,再由乙从中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为n,组成一数对(m,n).
(1)请写出(m,n)所有可能出现的结果;
(2)甲、乙两人玩游戏,规则如下:按上述要求,两人各抽一次卡片,卡片上数字之和为奇数则甲赢,数字之和为偶数则乙赢.你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
23.(8分)(2019?黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:
(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,请问谁在前面,两人相隔多少步?
(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走200步,请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?
24.(10分)(2019?黄石)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,C、E是⊙O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:CE=CF;
(3)若BD=1,CD=,求弦AC的长.
25.(10分)(2019?黄石)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0)、B(5,0).
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;
(2)若点C在抛物线上,且点C的横坐标为8,求四边形AMBC的面积;
(3)定点D(0,m)在y轴上,若将抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点P在新的抛物线上运动,求定点D与动点P之间距离的最小值d(用含m的代数式表示)
2019年湖北省黄石市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2019?黄石)下列四个数:﹣3,﹣0.5,,中,绝对值最大的数是( )
A.﹣3 B.﹣0.5 C. D.
【考点】算术平方根;实数大小比较.菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小判断即可.
【解答】解:∵|﹣3|=3,|﹣0.5|=0.5,||=,||=且0.5<<<3,
∴所给的几个数中,绝对值最大的数是﹣3.
故选:A.
2.(3分)(2019?黄石)国际行星命名委员会将紫金山天文台于2007年9月11日发现的编号为171448的小行星命名为“谷超豪星”,则171448用科学记数法可表示为( )
A.0.171448×106 B.1.71448×105
C.0.171448×105 D.1.71448×106
【考点】科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】根据有效数字表示方法,以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将7760000用科学记数法表示为:1.71448×105.
故选:B.
3.(3分)(2019?黄石)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形;中心对称图形.菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确.
故选:D.
4.(3分)(2019?黄石)如图,该正方体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
【考点】U1:简单几何体的三视图.菁优网版权所有
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形,据此判断正方体的俯视图.
【解答】解:正方体的主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形都是正方形,
故选:A.
5.(3分)(2019?黄石)化简(9x﹣3)﹣2(x+1)的结果是( )
A.2x﹣2 B.x+1 C.5x+3 D.x﹣3
【考点】44:整式的加减.菁优网版权所有
【分析】原式去括号合并即可得到结果.
【解答】解:原式=3x﹣1﹣2x﹣2=x﹣3,
故选:D.
6.(3分)(2019?黄石)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥1且x≠2 B.x≤1 C.x>1且x≠2 D.x<1
【考点】62:分式有意义的条件;72:二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
【分析】分式有意义,分母不等于零;二次根式的被开方数是非负数.
【解答】解:依题意,得
x﹣1≥0且x﹣2≠0,
解得x≥1且x≠2.
故选:A.
7.(3分)(2019?黄石)如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB边的中点是坐标原点O,将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后,点B的对应点B''的坐标是( )
A.(﹣1,2) B.(1,4) C.(3,2) D.(﹣1,0)
【考点】LE:正方形的性质;R7:坐标与图形变化﹣旋转.菁优网版权所有
【分析】根据旋转可得:CB''=CB=2,∠BCB''=90°,可得B''的坐标.
【解答】解:如图所示,
由旋转得:CB''=CB=2,∠BCB''=90°,
∵四边形ABCD是正方形,且O是AB的中点,
∴OB=1,
∴B''(2+1,2),即B''(3,2),
故选:C.
8.(3分)(2019?黄石)如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=( )
A.125° B.145° C.175° D.190°
【考点】KP:直角三角形斜边上的中线.菁优网版权所有
【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质,即可得到△CDF是等边三角形,进而得到∠ACD=60°,根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,即可得出∠CED=115°,即可得到∠ACD+∠CED=60°+115°=175°.
【解答】解:∵CD⊥AB,F为边AC的中点,
∴DF=AC=CF,
又∵CD=CF,
∴CD=DF=CF,
∴△CDF是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∵∠B=50°,
∴∠BCD+∠BDC=130°,
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E,
∴∠DCE+∠CDE=65°,
∴∠CED=115°,
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°,
故选:C.
9.(3分)(2019?黄石)如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限,BA⊥x轴于点A,反比例函数y=(x>0)的图象与线段AB相交于点C,且C是线段AB的中点,点C关于直线y=x的对称点C''的坐标为(1,n)(n≠1),若△OAB的面积为3,则k的值为( )
A. B.1 C.2 D.3
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
【分析】根据对称性求出C点坐标,进而得OA与AB的长度,再根据已知三角形的面积列出n的方程求得n,进而用待定系数法求得k.
【解答】解:∵点C关于直线y=x的对称点C''的坐标为(1,n)(n≠1),
∴C(n,1),
∴OA=n,AC=1,
∴AB=2AC=2,
∵△OAB的面积为3,
∴,
解得,n=3,
∴C(3,1),
∴k=3×1=3.
故选:D.
10.(3分)(2019?黄石)如图,矩形ABCD中,AC与BD相交于点E,AD:AB=:1,将△ABD沿BD折叠,点A的对应点为F,连接AF交BC于点G,且BG=2,在AD边上有一点H,使得BH+EH的值最小,此时=( )
A. B. C. D.
【考点】LB:矩形的性质;PA:轴对称﹣最短路线问题;PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
【分析】设BD与AF交于点M.设AB=a,AD=a,根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形,利用折叠的性质得到BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a.解直角△BGM,求出BM,再表示DM,由△ADM∽△GBM,求出a=2,再证明CF=CD=2.作B点关于AD的对称点B′,连接B′E,设B′E与AD交于点H,则此时BH+EH=B′E,值最小.建立平面直角坐标系,得出B(3,2),B′(3,﹣2),E(0,),利用待定系数法求出直线B′E的解析式,得到H(1,0),然后利用两点间的距离公式求出BH=4,进而求出==.
【解答】解:如图,设BD与AF交于点M.设AB=a,AD=a,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,tan∠ABD==,
∴BD=AC==2a,∠ABD=60°,
∴△ABE、△CDE都是等边三角形,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a.
∵将△ABD沿BD折叠,点A的对应点为F,
∴BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a.
在△BGM中,∵∠BMG=90°,∠GBM=30°,BG=2,
∴GM=BG=1,BM=GM=,
∴DM=BD﹣BM=2a﹣.
∵矩形ABCD中,BC∥AD,
∴△ADM∽△GBM,
∴=,即=,
∴a=2,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2,AD=BC=6,BD=AC=4.
易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°,
∴△ADF是等边三角形,
∵AC平分∠DAF,
∴AC垂直平分DF,
∴CF=CD=2.
作B点关于AD的对称点B′,连接B′E,设B′E与AD交于点H,则此时BH+EH=B′E,值最小.
如图,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(3,2),B′(3,﹣2),E(0,),
易求直线B′E的解析式为y=﹣x+,
∴H(1,0),
∴BH==4,
∴==.
故选:B.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)(2019?黄石)分解因式:x2y2﹣4x2= x2(y+2)(y﹣2) .
【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有
【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式=x2(y2﹣4)=x2(y+2)(y﹣2),
故答案为:x2(y+2)(y﹣2)
12.(3分)(2019?黄石)分式方程:﹣=1的解为 x=﹣1 .
【考点】B3:解分式方程.菁优网版权所有
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:4﹣x=x2﹣4x,即x2﹣3x﹣4=0,
解得:x=4或x=﹣1,
经检验x=4是增根,分式方程的解为x=﹣1,
故答案为:x=﹣1
13.(3分)(2019?黄石)如图,一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向,该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处,再观测灯塔P位于南偏西60°方向,若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处,此时轮船与灯塔之间的距离PT为 15 海里(结果保留根号).
【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有
【分析】根据“若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处,此时轮船与灯塔之间的距离为PT”,得PT⊥MN,利用锐角三角函数关系进行求解即可
【解答】解:由题意得,MN=15×2=30海里,
∵∠PMN=30°,∠PNT=60°,
∴∠MPN=∠PMN=30°,
∴PN=MN=30海里,
∴PT=PN?sin∠PNT=15海里.
故答案为:15.
14.(3分)(2019?黄石)根据下列统计图,回答问题:
该超市10月份的水果类销售额 > 11月份的水果类销售额(请从“>”“=”“<”中选一个填空).
【考点】VC:条形统计图;VD:折线统计图.菁优网版权所有
【分析】10月份的水果类销售额60×20%=12(万元),11月份的水果类销售额70×15%=10.5(万元),所以10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额.
【解答】解:10月份的水果类销售额60×20%=12(万元),
11月份的水果类销售额70×15%=10.5(万元),
所以10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额,
故答案为>.
15.(3分)(2019?黄石)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C、D两点的⊙O分别交AC、BC于点E、F,AD=,∠ADC=60°,则劣弧的长为 π .
【考点】KF:角平分线的性质;M5:圆周角定理;MN:弧长的计算.菁优网版权所有
【分析】连接DF,OD,根据圆周角定理得到∠ADF=90°,根据三角形的内角和得到∠AOD=120°,根据三角函数的定义得到CF==4,根据弧长个公式即可得到结论.
【解答】解:连接DF,OD,
∵CF是⊙O的直径,
∴∠CDF=90°,
∵∠ADC=60°,∠A=90°,
∴∠ACD=30°,
∵CD平分∠ACB交AB于点D,
∴∠DCF=30°,
∵OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC=30°,
∴∠COD=120°,
在Rt△CAD中,CD=2AD=2,
在Rt△FCD中,CF===4,
∴⊙O的半径=2,
∴劣弧的长==π,
故答案为π.
16.(3分)(2019?黄石)将被3整除余数为1的正整数,按照下列规律排成一个三角形数阵,则第20行第19个数是 625 .
【考点】37:规律型:数字的变化类.菁优网版权所有
【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点,可以求得第20行第19个数是多少,本题得以解决.
【解答】解:由图可得,
第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,…,则前20行的数字有:1+2+3+…+19+20=210个数,
∴第20行第20个数是:1+3(210﹣1)=628,
∴第20行第19个数是:628﹣3=625,
故答案为:625.
三、解答题(本大题共9小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)(2019?黄石)计算:(2019﹣π)0+|﹣1|﹣2sin45°+()﹣1.
【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.
【解答】解:原式=1+﹣1﹣2×+3=3.
18.(7分)(2019?黄石)先化简,再求值:(+x﹣2)÷,其中|x|=2.
【考点】15:绝对值;6D:分式的化简求值.菁优网版权所有
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.
【解答】解:原式=÷
=?
=,
∵|x|=2时,
∴x=±2,
由分式有意义的条件可知:x=2,
∴原式=3.
19.(7分)(2019?黄石)若点P的坐标为(,2x﹣9),其中x满足不等式组,求点P所在的象限.
【考点】CB:解一元一次不等式组;D1:点的坐标.菁优网版权所有
【分析】先求出不等式组的解集,进而求得P点的坐标,即可求得点P所在的象限.
【解答】解:,
解①得:x≥4,
解②得:x≤4,
则不等式组的解是:x=4,
∵=1,2x﹣9=﹣1,
∴点P的坐标为(1,﹣1),
∴点P在的第四象限.
20.(7分)(2019?黄石)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根为x1、x2,且|x1﹣x2|=4,求m的值.
【考点】AA:根的判别式;AB:根与系数的关系.菁优网版权所有
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围;
(2)由根与系数的关系可得出x1+x2=6,x1x2=4m+1,结合|x1﹣x2|=4可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值.
【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+(4m+1)=0有实数根,
∴△=(﹣6)2﹣4×1×(4m+1)≥0,
解得:m≤2.
(2)∵方程x2﹣6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1、x2,
∴x1+x2=6,x1x2=4m+1,
∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=42,即32﹣16m=16,
解得:m=1.
21.(8分)(2019?黄石)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF、EF相交于点F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AD⊥BC,由余角的性质可得∠C=∠BAD;
(2)由“ASA”可证△ABC≌△EAF,可得AC=EF.
【解答】证明:(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点,
∴AD⊥BC
∴∠C+∠DAC=90°,
∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠DAC=90°
∴∠C=∠BAD
(2)∵AF∥BC
∴∠FAE=∠AEB
∵AB=AE
∴∠B=∠AEB
∴∠B=∠FAE,且∠AEF=∠BAC=90°,AB=AE
∴△ABC≌△EAF(ASA)
∴AC=EF
22.(8分)(2019?黄石)将正面分别写着数字1,2,3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同,若背面朝上放在桌面上,这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲从中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为m,然后放回洗匀,背面朝上放在桌面上,再由乙从中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为n,组成一数对(m,n).
(1)请写出(m,n)所有可能出现的结果;
(2)甲、乙两人玩游戏,规则如下:按上述要求,两人各抽一次卡片,卡片上数字之和为奇数则甲赢,数字之和为偶数则乙赢.你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
【考点】D1:点的坐标;X6:列表法与树状图法;X7:游戏公平性.菁优网版权所有
【分析】(1)利用枚举法解决问题即可.
(2)求出数字之和为奇数的概率,数字之和为偶数的概率即可判断.
【解答】解:(1)(m,n)所有可能出现的结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).
(2)数字之和为奇数的概率=,数字之和为偶数的概率=,
≠,
∴这个游戏不公平.
23.(8分)(2019?黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.假定两者步长相等,据此回答以下问题:
(1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路慢的人先走100步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走600步时,请问谁在前面,两人相隔多少步?
(2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走200步,请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人?
【考点】8A:一元一次方程的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人的走x步,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步.列方程求解即可;
(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,根据同样时间段内,走路快的人能走100步,走路慢的人只能走60步,及追及问题可列方程求解.
【解答】解:(1)设当走路慢的人再走600步时,走路快的人的走x步,由题意得
x:600=100:60
∴x=1000
∴1000﹣600﹣100=300
答:当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔300步.
(2)设走路快的人走y步才能追上走路慢的人,由题意得
y=200+y
∴y=500
答:走路快的人走500步才能追上走路慢的人.
24.(10分)(2019?黄石)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,C、E是⊙O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)求证:CE=CF;
(3)若BD=1,CD=,求弦AC的长.
【考点】M5:圆周角定理;ME:切线的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)连接OC,可证得∠CAD=∠BCD,由∠CAD+∠ABC=90°,可得出∠OCD=90°,即结论得证;
(2)证明△ABC≌△AFC可得CB=CF,又CB=CE,则CE=CF;
(3)证明△CBD∽△DCA,可求出DA的长,求出AB长,设BC=a,AC=a,则由勾股定理可得AC的长.
【解答】解:(1)连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ABC=90°,
∵CE=CB,
∴∠CAE=∠CAB,
∵∠BCD=∠CAE,
∴∠CAB=∠BCD,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB+∠BCD=90°,
∴∠OCD=90°,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵∠BAC=∠CAE,∠ACB=∠ACF=90°,AC=AC,
∴△ABC≌△AFC(ASA),
∴CB=CF,
又∵CB=CE,
∴CE=CF;
(3)∵∠BCD=∠CAD,∠ADC=∠CDB,
∴△CBD∽△DCA,
∴,
∴,
∴DA=2,
∴AB=AD﹣BD=2﹣1=1,
设BC=a,AC=a,由勾股定理可得:,
解得:a=,
∴.
25.(10分)(2019?黄石)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0)、B(5,0).
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;
(2)若点C在抛物线上,且点C的横坐标为8,求四边形AMBC的面积;
(3)定点D(0,m)在y轴上,若将抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点P在新的抛物线上运动,求定点D与动点P之间距离的最小值d(用含m的代数式表示)
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)函数的表达式为:y=(x+1)(x﹣5),即可求解;
(2)S四边形AMBC=AB(yC﹣yD),即可求解;
(3)抛物线的表达式为:y=x2,即可求解.
【解答】解:(1)函数的表达式为:y=(x+1)(x﹣5)=(x2﹣4x﹣5)=x2﹣x﹣,
点M坐标为(2,﹣3);
(2)当x=8时,y=(x+1)(x﹣5)=9,即点C(8,9),
S四边形AMBC=AB(yC﹣yD)=×6×(9+3)=36;
(3)y=(x+1)(x﹣5)=(x2﹣4x﹣5)=(x﹣2)2﹣3,
抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,
则新抛物线表达式为:y=x2,
则定点D与动点P之间距离PD==,
∵,PD有最小值,当x2=3m﹣时,
PD最小值d==.
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日期:2019/7/10 9:59:38;用户:数学;邮箱:85886818-2@xyh.com;学号:27755521
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