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2019-2020 学 年 广 东 省 中 山 市 八 年 级 （ 上 ） 期 末 数 学 试 卷一 、 选 择 题 （ 本 大 题 10 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 ）1． （ 3 分 ） 下 列 四 个 手 机 APP 图 标 中 ， 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ）A． B． C． D．2． （ 3 分 ） 已 知 某 细 菌 直 径 长 的 0.0000152 米 ， 那 么 该 细 菌 的 直 径 长 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为（ ）A． 1.52× 10
﹣ 5 米 B． ﹣ 1.52× 105米C． 152× 105米 D． 1.52× 10﹣ 4米3． （ 3 分 ） 下 列 等 式 成 立 的 是 （ ）A． x2+x3＝ x5 B． （ a﹣ b） 2＝ a2﹣ b2C． （ x2） 3＝ x6 D． （ ﹣ 1） 0＝ ﹣ 14． （ 3 分 ） 点 A（ 2， ﹣ 1） 关 于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 （ ）A． （ 2， 1） B． （ ﹣ 2， ﹣ 1） C． （ ﹣ 1， 2） D． （ ﹣ 2， 1）5． （ 3 分 ） 若 分 式 ， 则 （ ）
A． x≠ 0 B． x＝ 2 C． x＝ 0 D． x＝ 0 或 x＝ 26． （ 3 分 ） 下 列 因 式 分 解 正 确 的 是 （ ）A． x2+y2 ＝ （ x+y） 2B． x4﹣ y4 ＝ （ x2+y2） （ x2﹣ y2）C． ﹣ 3a+12＝ ﹣ 3（ a﹣ 4）D． a2+7a﹣ 8＝ a（ a+7） ﹣ 87． （ 3 分 ） 一 边 长 为 3， 另 一 边 长 为 6 的 等 腰 三 角 形 的 周 长 是 （ ）A． 12 B． 15 C． 12 或 15 D． 9
8． （ 3 分 ） 已 知 ， 则 的 值 为 （ ）A． 6 B． ﹣ 6 C． D． ﹣9． （ 3 分 ） 如 图 ， AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， DE⊥ AB， AB＝ 6cm， DE＝ 4cm， S△ ABC＝ 30cm2，则 AC 的 长 为 （ ）
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A． 10cm B． 9cm C． 4.5cm D． 3cm10． （ 3 分 ） 如 图 ， Rt△ ACB 中 ， ∠ ACB＝ 90° ， ∠ A＝ 60° ， CD、 CE 分 别 是 △ ABC 的 高 和中 线 ， 下 列 说 法 错 误 的 是 （ ）A． AD＝ AB
B． S△ CEB ＝ S△ ACEC． AC、 BC 的 垂 直 平 分 线 都 经 过 ED． 图 中 只 有 一 个 等 腰 三 角 形二 、 填 空 题 （ 本 大 题 7 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 28 分 ）11． （ 4 分 ） （ ﹣ 2a2） 3÷ a2＝ ．12． （ 4 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 延 长 线 上 一 点 ， ∠ A＝ 68° ， ∠ B＝ 65° ， 则 ∠ ACD＝ ．
13． （ 4 分 ） 如 图 ， BC＝ EF， AC∥ DF， 请 你 添 加 一 个 适 当 的 条 件 ， 使 得 △ ABC≌ △DEF， ． （ 只 需 填 一 个 答 案 即 可 ）14． （ 4 分 ） 方 程 的 解 x＝ ．
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15． （ 4 分 ） 已 知 ab＝ ﹣ 3， a+b＝ 5， 则 10+a2b+ab2＝ ．16． （ 4 分 ） 关 于 x 的 分 式 方 程 的 解 为 正 数 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 ．17． （ 4 分 ） 如 图 ， ∠ AOB＝ 30° ， 点 P 是 ∠ AOB 内 任 意 一 点 ， 且 OP＝ 7， 点 E 和 点 F 分 别是 射 线 OA 和 射 线 OB 上 的 动 点 ， 则 △ PEF 周 长 的 最 小 值 是 ．三 、 解 答 题 （ 一 ） （ 本 大 题 3 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 ）
18． （ 6 分 ） 计 算 ： （ 2x﹣ 1） 2﹣ x（ 4x﹣ 1）19． （ 6 分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 a＝ ﹣ 1．20． （ 6 分 ） 如 图 ， 已 知 △ ABC 中 ， ∠ BAC＝ 23° ， ∠ BCA＝ 125° ．（ 1） 尺 规 作 图 ： 作 AC 的 垂 直 平 分 线 ， 交 BC 的 延 长 线 于 点 D； （ 不 写 作 法 ， 保 留 作 图 痕迹 ）（ 2） 连 接 AD， 求 ∠ BAD 的 度 数 ．
四 、 解 答 题 （ 二 ） （ 本 大 题 3 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24 分 ）21． （ 8 分 ） 如 图 ， 已 知 △ ABC≌ △ DEF， BG、 EH 分 别 是 △ ABC 和 △ DEF 的 中 线 ， 求 证 ：BG＝ EH．22． （ 8 分 ） 如 图 ， △ ABC 中 ， AE＝ BE， ∠ AED＝ ∠ ABC．（ 1） 求 证 ： BD 平 分 ∠ ABC；
（ 2） 若 AB＝ CB， ∠ AED＝ 4∠ EAD， 求 ∠ C 的 度 数 ．
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23． （ 8 分 ） 某 商 家 用 1000 元 购 进 一 批 多 肉 盆 栽 ， 很 快 售 完 ， 接 着 又 用 了 1600 元 购 进 第 二批 多 肉 盆 栽 ， 且 数 量 是 第 一 批 的 1.2 倍 ， 已 知 第 一 批 盆 栽 的 单 价 比 第 二 批 的 单 价 少 3 元 ，问 这 两 批 多 肉 盆 栽 的 单 价 各 是 多 少 元 ？五 、 解 答 题 （ 三 ） （ 本 大 题 2 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 20 分 ）24． （ 10 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB＝ 90° ， AC＝ BC， D 为 BC 边 的 中 点 ， BE⊥ AB 交AD 的 延 长 线 于 点 E， CF 平 分 ∠ ACB 交 AD 于 点 F， 连 接 CE．求 证 ：（ 1） 点 D 是 EF 的 中 点 ；（ 2） △ CEF 是 等 腰 三 角 形 ．
25． （ 10 分 ） 已 知 △ ABC 中 ， ∠ B＝ 60° ， 点 D 是 AB 边 上 的 动 点 ， 过 点 D 作 DE∥ BC 交AC 于 点 E， 将 △ ADE 沿 DE 折 叠 ， 点 A 对 应 点 为 F 点 ．（ 1） 如 图 1， 当 点 F 恰 好 落 在 BC 边 上 ， 求 证 ： △ BDF 是 等 边 三 角 形 ；（ 2） 如 图 2， 当 点 F 恰 好 落 在 △ ABC 内 ， 且 DF 的 延 长 线 恰 好 经 过 点 C， CF＝ EF， 求 ∠A 的 大 小 ；（ 3） 如 图 3， 当 点 F 恰 好 落 在 △ ABC 外 ， DF 交 BC 于 点 G， 连 接 BF， 若 BF⊥ AB， AB＝ 9， 求 BG的 长 ．
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2019-2020 学 年 广 东 省 中 山 市 八 年 级 （ 上 ） 期 末 数 学 试 卷参 考 答 案 与 试 题 解 析一 、 选 择 题 （ 本 大 题 10 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 ）1． 【 分 析 】 根 据 轴 对 称 图 形 的 概 念 进 行 判 断 即 可 ．【 解 答 】 解 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；
故 选 ： B．2． 【 分 析 】 绝 对 值 小 于 1 的 正 数 也 可 以 利 用 科 学 记 数 法 表 示 ， 一 般 形 式 为 a× 10﹣ n， 与 较 大数 的 科 学 记 数 法 不 同 的 是 其 所 使 用 的 是 负 指 数 幂 ， 指 数 由 原 数 左 边 起 第 一 个 不 为 零 的 数字 前 面 的 0 的 个 数 所 决 定 ．【 解 答 】 解 ： 某 细 菌 直 径 长 的 0.0000152 米 ， 那 么 该 细 菌 的 直 径 长 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为1.52× 10
﹣ 5米 ．故 选 ： A．3． 【 分 析 】 根 据 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 ， 完 全 平 方 公 式 的 应 用 ， 以 及 零 指 数 幂 的 运 算 方 法 ， 逐项 判 断 即 可 ．【 解 答 】 解 ： ∵ x2+x3≠ x5，∴ 选 项 A 不 符 合 题 意 ；∵ （ a﹣ b）
2＝ a2﹣ 2ab+b2，∴ 选 项 B 不 符 合 题 意 ；∵ （ x2） 3＝ x6，∴ 选 项 C 符 合 题 意 ；∵ （ ﹣ 1） 0＝ 1，∴ 选 项 D 不 符 合 题 意 ．
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故 选 ： C．4． 【 分 析 】 根 据 关 于 y 轴 对 称 的 点 的 纵 坐 标 相 等 ， 横 坐 标 互 为 相 反 数 ， 可 得 答 案 ．【 解 答 】 解 ： A（ 2， ﹣ 1） 关 于 y 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是 （ ﹣ 2， ﹣ 1） ，故 选 ： B．5． 【 分 析 】 直 接 利 用 分 式 的 值 为 零 则 分 子 为 零 进 而 得 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： 分 式 ， 则 x＝ 0．故 选 ： C．6． 【 分 析 】 根 据 十 字 相 乘 法 ， 提 公 因 式 法 ， 以 及 公 式 法 在 因 式 分 解 中 的 应 用 ， 逐 项 判 断 即 可 ．
【 解 答 】 解 ： ∵ x2+y2 ≠ （ x+y） 2，∴ 选 项 A 不 符 合 题 意 ；∵ x4﹣ y4 ＝ （ x2+y2） （ x+y） （ x﹣ y） ，∴ 选 项 B 不 符 合 题 意 ；∵ ﹣ 3a+12＝ ﹣ 3（ a﹣ 4） ，∴ 选 项 C 符 合 题 意 ；
∵ a2+7a﹣ 8＝ （ a+8） （ a﹣ 1） ，∴ 选 项 D 不 符 合 题 意 ．故 选 ： C．7． 【 分 析 】 因 为 已 知 长 度 为 3 和 6 两 边 ， 没 有 明 确 是 底 边 还 是 腰 ， 所 以 有 两 种 情 况 ， 需 要 分类 讨 论 ．【 解 答 】 解 ： ①当 3 为 底 时 ， 其 它 两 边 都 为 6，3、 6、 6 可 以 构 成 三 角 形 ，周 长 为 15；②当 3 为 腰 时 ，
其 它 两 边 为 3 和 6，∵ 3+3＝ 6∴ 不 能 构 成 三 角 形 ， 故 舍 去 ．
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∴ 这 个 等 腰 三 角 形 的 周 长 为 15．故 选 ： B．8． 【 分 析 】 根 据 已 知 条 件 可 得 ＝ 6， 进 而 可 得 m﹣ n＝ ﹣ 6mn， 然 后 再 代 入 可 得 答 案 ．【 解 答 】 解 ： ∵ ，∴ ＝ 6，n﹣ m＝ 6mn，∴ m﹣ n＝ ﹣ 6mn，
∴ ＝ ＝ ﹣ ，故 选 ： D．9． 【 分 析 】 过 点 D 作 DF⊥ AC 于 F， 然 后 利 用 △ ABC 的 面 积 公 式 列 式 计 算 即 可 得 解 ．【 解 答 】 解 ： 过 点 D 作 DF⊥ AC 于 F，
∵ AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， DE⊥ AB，∴ DE＝ DF＝ 4，∵ AB＝ 6，∴ S△ ABC＝ × 6× 4+ AC× 4＝ 30，解 得 AC＝ 9；故 选 ： B．10． 【 分 析 】 根 据 等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质 和 直 角 三 角 形 的 性 质 即 可 得 到 结 论 ．【 解 答 】 解 ： ∵ ∠ ACB＝ 90° ， AD⊥ AB， ∠ A＝ 60° ，
∴ ∠ ACD＝ ∠ B＝ 30° ，∴ AC＝ ， AD＝ AC，∴ AD＝ AB； 故 A 正 确 ；∵ CE 是 △ ABC 的 中 线 ，
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∴ S△ BCE＝ S△ ACE， 故 B 正 确 ，∵ CE＝ AE＝ BE＝ AB，∴ AC、 BC 的 垂 直 平 分 线 都 经 过 E， 故 C 正 确 ；∴ △ ACE 和 △ BCE 是 等 腰 三 角 形 ， 故 D 错 误 ；故 选 ： D．二 、 填 空 题 （ 本 大 题 7 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 28 分 ）11． 【 分 析 】 直 接 利 用 积 的 乘 方 运 算 法 则 化 简 ， 再 利 用 整 式 的 除 法 运 算 法 则 计 算 得 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： 原 式 ＝ ﹣ 8a
6÷ a2＝ ﹣ 8a4．故 答 案 为 ： ﹣ 8a4．12． 【 分 析 】 根 据 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 和 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 计 算 ．【 解 答 】 解 ： ∵ ∠ ACD 是 △ ABC 的 一 个 外 角 ，∴ ∠ ACD＝ ∠ A+∠ B＝ 68° +65° ＝ 133° ，故 答 案 为 ： 133° ．13． 【 分 析 】 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 方 法 解 决 问 题 即 可 ．【 解 答 】 解 ： ∵ AC∥ DF，
∴ ∠ ACB＝ ∠ F，∵ BC＝ EF，∴ 添 加 AC＝ DF 或 ∠ A＝ ∠ D 或 ∠ B＝ ∠ DEF 即 可 证 明 △ ABC≌ △ DEF，故 答 案 为 AC＝ DF 或 ∠ A＝ ∠ D 或 ∠ B＝ ∠ DEF．14． 【 分 析 】 分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可得 到 分 式 方 程 的 解 ．【 解 答 】 解 ： 去 分 母 得 ： x2﹣ 2x﹣ x2+4＝ 3x+6，解 得 ： x＝ ﹣ ，
经 检 验 x＝ ﹣ 是 分 式 方 程 的 解 ，故 答 案 为 ： ﹣15． 【 分 析 】 直 接 提 取 公 因 式 ab， 将 原 式 变 形 进 而 求 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： ∵ ab＝ ﹣ 3， a+b＝ 5，∴ 10+a2b+ab2＝ 10+ab（ b+a）
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＝ 10﹣ 3× 5＝ ﹣ 5．故 答 案 为 ： ﹣ 5．16． 【 分 析 】 方 程 两 边 同 乘 以 x﹣ 1， 化 为 整 数 方 程 ， 求 得 x， 再 列 不 等 式 得 出 m 的 取 值 范 围 ．【 解 答 】 解 ： 方 程 两 边 同 乘 以 x﹣ 1， 得 ， m﹣ 3＝ x﹣ 1，解 得 x＝ m﹣ 2，∵ 分 式 方 程 的 解 为 正 数 ，∴ x＝ m﹣ 2＞ 0 且 x﹣ 1≠ 0，
即 m﹣ 2＞ 0 且 m﹣ 2﹣ 1≠ 0，∴ m＞ 2 且 m≠ 3，故 答 案 为 m＞ 2 且 m≠ 3．17． 【 分 析 】 设 点 P 关 于 OA 的 对 称 点 为 C， 关 于 OB 的 对 称 点 为 D， 当 点 F、 E 在 CD 上 时 ，△ PEF 的 周 长 最 小 ．【 解 答 】 解 ： 分 别 作 点 P 关 于 OA、 OB 的 对 称 点 C、 D， 连 接 CD， 分 别 交 OA、 OB 于 点E、 F， 连 接 OP、 OC、 OD、 PE、 PF．∵ 点 P 关 于 OA 的 对 称 点 为 C， 关 于 OB 的 对 称 点 为 D，∴ PE＝ CE， OP＝ OC， ∠ COA＝ ∠ POA；
∵ 点 P 关 于 OB 的 对 称 点 为 D，∴ PF＝ DF， OP＝ OD， ∠ DOB＝ ∠ POB，∴ OC＝ OD＝ OP＝ 5cm， ∠ COD＝ ∠ COA+∠ POA+∠ POB+∠ DOB＝ 2∠ POA+2∠ POB＝ 2∠ AOB＝ 60° ，∴ △ COD 是 等 边 三 角 形 ，∴ CD＝ OC＝ OD＝ 7cm．∴ △ PEF 的 周 长 的 最 小 值 ＝ PE+EF+PF＝ CE+EF+DF≥ CD＝ 7．故 答 案 为 7．
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三 、 解 答 题 （ 一 ） （ 本 大 题 3 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 ）18． 【 分 析 】 根 据 完 全 平 方 公 式 和 单 项 式 乘 以 多 项 式 的 法 则 计 算 即 可 ．【 解 答 】 解 ： （ 2x﹣ 1） 2﹣ x（ 4x﹣ 1）＝ 4x2﹣ 4x+1﹣ 4x2+x＝ ﹣ 3x+1．19． 【 分 析 】 首 先 计 算 括 号 里 面 分 式 的 减 法 ， 然 后 再 计 算 括 号 外 的 除 法 ， 化 简 后 ， 再 把 a 的值 代 入 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 原 式 ＝ （ ﹣ ） ，
＝ ，＝ ? ，＝ ﹣ ，当 a＝ ﹣ 1 时 ， 原 式 ＝ ﹣ 2．20． 【 分 析 】 （ 1） 直 接 利 用 线 段 垂 直 平 分 线 的 作 法 得 出 AC 的 垂 直 平 分 线 ， 进 而 得 出 答 案 ；（ 2） 利 用 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 出 AD＝ DC， 进 而 得 出 ∠ ACD＝ ∠ CAD＝ 55° ， 即 可得 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 如 图 所 示 ： D 点 即 为 所 求 ；
（ 2） ∵ ∠ BCA＝ 125° ，∴ ∠ ACD＝ 55° ，∵ ED 垂 直 平 分 线 AC，∴ DC＝ AD，∴ ∠ ACD＝ ∠ CAD＝ 55° ，∵ ∠ BAC＝ 23° ，∴ ∠ BAD＝ 23° +55° ＝ 78° ．
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四 、 解 答 题 （ 二 ） （ 本 大 题 3 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24 分 ）21． 【 分 析 】 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 BC＝ EF， AC＝ DF， ∠ C＝ ∠ F， 证 明 △ BCG≌ △EFH， 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 证 明 结 论 ．【 解 答 】 证 明 ： ∵ △ ABC≌ △ DEF，∴ BC＝ EF， AC＝ DF， ∠ C＝ ∠ F，∵ BG、 EH 分 别 是 △ ABC 和 △ DEF 的 中 线 ，∴ CG＝ AC， FH＝ DF，∴ CG＝ FH，
在 △ BCG 和 △ EFH 中 ，，∴ △ BCG≌ △ EFH（ SAS）∴ BG＝ EH．22． 【 分 析 】 （ 1） 要 证 明 BD 平 分 ∠ ABC， 只 要 证 明 ∠ DBC＝ ∠ ABE 即 可 ， 根 据 题 目 中 的 条件 和 三 角 形 外 角 和 内 角 的 关 系 ， 可 以 证 明 ∠ DBC＝ ∠ ABE， 从 而 可 以 证 明 结 论 成 立 ；（ 2） 根 据 （ 1） 中 的 结 论 和 题 意 ， 利 用 三 角 形 内 角 和 可 以 求 得 ∠ C 的 度 数 ．【 解 答 】 （ 1） 证 明 ： ∵ ∠ AED＝ ∠ ABC， ∠ AED＝ ∠ ABE+∠ EAB， ∠ ABC＝ ∠ ABE+∠ DBC，
∴ ∠ EAB＝ ∠ DBC，∵ AE＝ BE，∴ ∠ EAB＝ ∠ ABE，∴ ∠ DBC＝ ∠ ABE，∴ BD 平 分 ∠ ABC；（ 2） 设 ∠ EAD＝ x， 则 ∠ AED＝ 4x，∵ ∠ AED＝ ∠ ABE+∠ EAB， ∠ EAB＝ ∠ ABE， BD 平 分 ∠ ABC，∴ ∠ BAE＝ 2x， ∠ ABC＝ 4x，∴ ∠ BAC＝ 3x，
∵ AB＝ CB，∴ ∠ BAC＝ ∠ C，∴ ∠ C＝ 3x，
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∵ ∠ ABC+∠ BAC+∠ C﹣ 180° ，∴ 4x+3x+3x＝ 180° ，解 得 ， x＝ 18° ，∴ ∠ C＝ 3x＝ 54° ，即 ∠ C 的 度 数 是 54° ．23． 【 分 析 】 首 先 设 第 一 批 单 价 为 x 元 ， 则 第 二 批 单 价 为 （ x+3） 元 ， 根 据 题 意 可 得 等 量 关 系 ：进 一 批 的 数 量 × 1.2＝ 第 二 批 的 数 量 ， 根 据 等 量 关 系 列 出 方 程 ， 再 解 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 设 第 一 批 单 价 为 x 元 ， 则 第 二 批 单 价 为 （ x+3） 元 ， 由 题 意 得 ：
× 1.2＝ ，解 得 ： x＝ 9，经 检 验 ： x＝ 9 是 分 式 方 程 的 解 ，x+3＝ 9+3＝ 12，答 ： 第 一 批 单 价 为 9 元 ， 则 第 二 批 单 价 为 12 元 ．五 、 解 答 题 （ 三 ） （ 本 大 题 2 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 20 分 ）24． 【 分 析 】 （ 1） 根 据 ASA 证 明 △ CDF≌ △ BDE， 即 可 得 出 DF＝ DE；（ 2） 由 （ 1） 中 的 全 等 得 ： CF＝ BE， 判 定 △ ACF≌ △ CBE， 得 到 ∠ CAF＝ ∠ BCE， 根 据
三 角 形 外 角 的 性 质 和 等 腰 三 角 形 的 判 定 可 得 结 论 ．【 解 答 】 证 明 ： （ 1） ∵ ∠ ACB＝ 90° ， AC＝ BC，∴ ∠ ABC＝ 45° ，∵ EB⊥ AB，∴ ∠ ABE＝ 90° ，∴ ∠ CBE＝ 45° ，∵ CF 平 分 ∠ ACB，∴ ∠ DCF＝ 45° ＝ ∠ CBE，在 △ CDF 和 △ BDE 中 ，
∵ ，∴ △ CDF≌ △ BDE（ ASA） ，∴ DF＝ DE，
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∴ 点 D 是 EF 的 中 点 ；（ 2） 由 （ 1） 知 △ CDF≌ △ BDE，∴ CF＝ BE，在 △ ACF 和 △ CBE 中 ，∵ ，∴ △ ACF≌ △ CBE（ SAS） ，∴ ∠ CAF＝ ∠ BCE，∵ ∠ CFE＝ ∠ CAF+∠ ACF， ∠ ECF＝ ∠ BCF+∠ BCE， ∠ ACF＝ ∠ BCF，
∴ ∠ CFE＝ ∠ ECF，∴ EC＝ EF，∴ △ CEF 是 等 腰 三 角 形 ．25． 【 分 析 】 （ 1） 利 用 平 行 线 的 性 质 得 出 ∠ ADE＝ 60° ， 再 利 用 翻 折 变 换 的 性 质 得 出 ∠ ADE＝ ∠ EDF＝ 60° ， 进 而 得 出 ∠ BDF＝ 60° ， 即 可 得 出 结 论 ；（ 2） 由 折 叠 的 性 质 得 出 ∠ ADE＝ ∠ FDE＝ 60° ， ∠ A＝ ∠ DFE， 得 出 ∠ ADC＝ 120° ， 由等 腰 三 角 形 的 性 质 得 出 ∠ FEC＝ ∠ FCE， 设 ∠ FEC＝ ∠ FCE＝ x， 由 三 角 形 的 外 角 性 质 得出 ∠ A＝ ∠ DFE＝ ∠ FEC+∠ FCE＝ 2x， 在 △ ADC 中 ， 由 三 角 形 内 角 和 定 理 得 出 方 程 ， 解方 程 即 可 ；
（ 3） 同 （ 1） 得 出 △ BDG 是 等 边 三 角 形 ， ∠ ADE＝ ∠ B＝ 60° ， 得 出 BG＝ BD， 由 折 叠的 性 质 得 出 AD＝ FD， 由 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出 FD＝ 2BD， 得 出 AD＝ 2BD， 由 已 知 得 出2BD+BD＝ 9， 求 出 BD＝ 3， 即 可 得 出 BG＝ BD＝ 3．【 解 答 】 （ 1） 证 明 ： 如 图 1， ∵ ∠ B＝ 60° ， DE∥ BC，∴ ∠ ADE＝ ∠ B＝ 60° ，∵ △ ADE 沿 DE 折 叠 ， 点 A 对 应 点 为 F 点 ，∴ ∠ ADE＝ ∠ FDE＝ 60° ，∴ ∠ BDF＝ 60° ，∴ ∠ DFB＝ 60° ＝ ∠ B＝ ∠ BDF，
∴ △ BDF 是 等 边 三 角 形 ；（ 2） 解 ： ∵ ∠ B＝ 60° ， DE∥ BC，∴ ∠ ADE＝ ∠ B＝ 60° ，
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∵ △ ADE 沿 DE 折 叠 ， 点 A 对 应 点 为 F 点 ，∴ ∠ ADE＝ ∠ FDE＝ 60° ， ∠ A＝ ∠ DFE，∴ ∠ ADC＝ 120° ，∵ CF＝ EF，∴ ∠ FEC＝ ∠ FCE，设 ∠ FEC＝ ∠ FCE＝ x， 则 ∠ A＝ ∠ DFE＝ ∠ FEC+∠ FCE＝ 2x，在 △ ADC 中 ， ∠ A+∠ ACD+∠ ADC＝ 180° ，即 2x+x+120° ＝ 180° ，解 得 ： x＝ 20° ，
∴ ∠ A＝ 2x＝ 40° ；（ 3） 解 ： 同 （ 1） 得 ： ∠ BDF＝ 60° ， △ BDG 是 等 边 三 角 形 ， ∠ ADE＝ ∠ B＝ 60° ，∴ BG＝ BD，由 折 叠 的 性 质 得 ： AD＝ FD，∵ BF⊥ AB，∴ ∠ BFD＝ 90° ﹣ 60° ＝ 30° ，∴ FD＝ 2BD，∴ AD＝ 2BD，∵ AD+BD＝ AB，
∴ 2BD+BD＝ 9，∴ BD＝ 3，∴ BG＝ BD＝ 3．
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