2019年四川省宜宾市中考数学试卷
一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。
1．（3分）（2019?宜宾）2的倒数是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019?宜宾）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．（3分）（2019?宜宾）如图，四边形是边长为5的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，则
A． B． C． D．
4．（3分）（2019?宜宾）一元二次方程的两根分别为和，则为
A． B． C．2 D．
5．（3分）（2019?宜宾）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（3分）（2019?宜宾）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：
次数
环数
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲 10 7 7 8 8 8 9 7 乙 10 5 5 8 9 9 8 10 根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为，，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
7．（3分）（2019?宜宾）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019?宜宾）已知抛物线与轴交于点，与直线为任意实数）相交于，两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数，使得为等腰三角形
B．存在实数，使得的内角中有两角分别为和
C．任意实数，使得都为直角三角形
D．存在实数，使得为等边三角形
二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。
．
10．（3分）（2019?宜宾）如图，六边形的内角都相等，，则 ．
11．（3分）（2019?宜宾）将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ．
12．（3分）（2019?宜宾）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则 ．
13．（3分）（2019?宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是 ．
14．（3分）（2019?宜宾）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ．
15．（3分）（2019?宜宾）如图，的两条相交弦、，，，则的面积是 ．
16．（3分）（2019?宜宾）如图，和都是等边三角形，且点、、在同一直线上，与、分别交于点、，与交于点．下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
①；②；③；④
三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2019?宜宾）（1）计算：
（2）化简：
18．（6分）（2019?宜宾）如图，，，．求证：．
19．（8分）（2019?宜宾）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率．
20．（8分）（2019?宜宾）甲、乙两辆货车分别从、两城同时沿高速公路向城运送货物．已知、两城相距450千米，、两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米小时，甲车比乙车早半小时到达城．求两车的速度．
21．（8分）（2019?宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）
22．（10分）（2019?宜宾）如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都过点，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为，过作轴的垂线，垂足为，求五边形的面积．
23．（10分）（2019?宜宾）如图，线段经过的圆心，交于、两点，，为的弦，连结，，连结并延长交于点，连结交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的半径的长；
（3）求线段的长．
24．（12分）（2019?宜宾）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值．
2019年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡对应题目上。
2的倒数是
A． B． C． D．
【考点】17：倒数
【分析】根据倒数的定义，可以求得题目中数字的倒数，本题得以解决．
【解答】解：2的倒数是，
故选：．
2．（3分）人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为52微米，52微米为0.000052米．将0.000052用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较小的数
【分析】由科学记数法可知；
【解答】解：；
故选：．
3．（3分）如图，四边形是边长为5的正方形，是上一点，，将绕着点顺时针旋转到与重合，则
A． B． C． D．
【考点】：正方形的性质；：旋转的性质
【分析】根据旋转变换的性质求出、，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由旋转变换的性质可知，，
正方形的面积四边形的面积，
，，
，，
．
故选：．
4．（3分）一元二次方程的两根分别为和，则为
A． B． C．2 D．
【考点】：根与系数的关系
【分析】根据“一元二次方程的两根分别为和”，结合根与系数的关系，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
，
故选：．
5．（3分）已知一个组合体是由几个相同的正方体叠合在一起组成，该组合体的主视图与俯视图如图所示，则该组合体中正方体的个数最多是
A．10 B．9 C．8 D．7
【考点】：由三视图判断几何体
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图可得最底层有5个小正方体，由主视图可得上面一层是2个，3个或4个小正方体，
则组成这个几何体的小正方体的个数是7个或8个或9个，
组成这个几何体的小正方体的个数最多是9个．
故选：．
6．（3分）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：
次数
环数
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲 10 7 7 8 8 8 9 7 乙 10 5 5 8 9 9 8 10 根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为，，则下列结论正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【考点】：算术平均数；：方差
【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
【解答】解：（1）；；
；
，
，，
故选：．
7．（3分）如图，的顶点是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于，，，则与的边所围成阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【考点】：三角形的重心；：全等三角形的判定与性质；：等边三角形的性质
【分析】连接、，过点作，垂足为，由点是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到，因而阴影部分面积等于的面积．
【解答】解：连接、，过点作，垂足为，
为等边三角形，
，
点为的内心
，．
．
．，
，，
，
，
．
，
，即．
在和中，
，
．
故选：．
8．（3分）已知抛物线与轴交于点，与直线为任意实数）相交于，两点，则下列结论不正确的是
A．存在实数，使得为等腰三角形
B．存在实数，使得的内角中有两角分别为和
C．任意实数，使得都为直角三角形
D．存在实数，使得为等边三角形
【考点】：正比例函数的性质；：二次函数的性质；：一次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象上点的坐标特征；：等腰三角形的判定；：等边三角形的判定
【分析】通过画图可解答．
【解答】解：、如图1，可以得为等腰三角形，正确；
、如图3，，，可以得的内角中有两角分别为和，正确；
、如图2和3，，可以得为直角三角形，正确；
、不存在实数，使得为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：．
二、填空题:(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填在答题卡对应题中横上。
．
【考点】56：因式分解分组分解法
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．
【解答】解：原式．
故答案为：
10．（3分）如图，六边形的内角都相等，，则 60 ．
【考点】：平行线的性质；：多边形内角与外角
【分析】先根据多边形内角和公式求出六边形的内角和，再除以6即可求出的度数，由平行线的性质可求出的度数．
【解答】解：在六边形中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11．（3分）将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为 ．
【考点】：二次函数图象与几何变换
【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
【解答】解：将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为：．
故答案为：．
12．（3分）如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则 ．
【考点】：勾股定理；：射影定理
【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算即可．
【解答】解：在中，，
由射影定理得，，
，
故答案为：．
13．（3分）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是 ．
【考点】：由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为，
依题意，得：．
故答案为：．
14．（3分）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ．
【考点】：一元一次不等式组的整数解
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组只有两个整数解，
，
解得：，
故答案为．
15．（3分）如图，的两条相交弦、，，，则的面积是 ．
【考点】：圆周角定理
【分析】由，而，所以，得到为等边三角形，又，从而求得半径，即可得到的面积．
【解答】解：，
而，
，
为等边三角形，
，
圆的半径为4，
的面积是，
故答案为：．
16．（3分）如图，和都是等边三角形，且点、、在同一直线上，与、分别交于点、，与交于点．下列结论正确的是 ①③④ （写出所有正确结论的序号）．
①；②；③；④
【考点】：等边三角形的性质；：全等三角形的判定与性质；：相似三角形的判定与性质
【分析】①根据等边三角形性质得出，，，求出，根据推出两三角形全等即可；
②根据，求出，可推出，找不出全等的条件；
③根据角的关系可以求得，可求得，根据可解题；
④根据，，可求得，可判定，可求得，可解题．
【解答】证明：①和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，，
在和中，
，
，
，，
，即；
②，
，
，
，
，找不出全等的条件；
③，，
，
，
，
，
；
④，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
两边同时除得，
．
故答案为①③④
三、解答题:(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1）计算：
（2）化简：
【考点】：特殊角的三角函数值；：负整数指数幂；：分式的混合运算；：实数的运算；：零指数幂
【分析】（1）先根据0指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值，计算出、、的值，再加减；
（2）先算括号里面的加法，再把除法转化为乘法，求出结果．
【解答】解：（1）原式
（2）原式
．
18．（6分）如图，，，．求证：．
【考点】：全等三角形的判定与性质
【分析】由“”可证，可得．
【解答】证明：
，且，
19．（8分）某校在七、八、九三个年级中进行“一带一路”知识竞赛，分别设有一等奖、二等奖、三等奖、优秀奖、纪念奖．现对三个年级同学的获奖情况进行了统计，其中获得纪念奖有17人，获得三等奖有10人，并制作了如图不完整的统计图．
（1）求三个年级获奖总人数；
（2）请补全扇形统计图的数据；
（3）在获一等奖的同学中，七年级和八年级的人数各占，其余为九年级的同学，现从获一等奖的同学中选2名参加市级比赛，通过列表或者树状图的方法，求所选出的2人中既有七年级又有九年级同学的概率．
【考点】：列表法与树状图法；：扇形统计图
【分析】（1）由获得纪念奖的人数及其所占百分比可得答案；
（2）先求出获得三等奖所占百分比，再根据百分比之和为1可得一等奖对应百分比，从而补全图形；
（3）画树状图（用、、分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】解：（1）三个年级获奖总人数为（人；
（2）三等奖对应的百分比为，
则一等奖的百分比为，
补全图形如下：
（3）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，
画树状图为：（用、、分别表示七年级、八年级和九年级的学生）
共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4，
所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率为．
20．（8分）甲、乙两辆货车分别从、两城同时沿高速公路向城运送货物．已知、两城相距450千米，、两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米小时，甲车比乙车早半小时到达城．求两车的速度．
【考点】：分式方程的应用
【分析】设乙车的速度为千米时，则甲车的速度为千米时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达城，以时间做为等量关系列方程求解．
【解答】解：设乙车的速度为千米时，则甲车的速度为千米时．
根据题意，得：，
解得：，或（舍去），
，
经检验，，80是原方程的解，且符合题意．
当时，．
答：甲车的速度为90千米时，乙车的速度为80千米时．
21．（8分）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为1米的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端的仰角为．求该建筑物的高度．（结果保留根号）
【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】设米，根据等腰三角形的性质求出，利用正切的定义用表示出，根据题意列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设米，
在中，，
，
在中，，
则，
由题意得，，即，
解得，，
，
答：该建筑物的高度为米．
22．（10分）如图，已知反比例函数的图象和一次函数的图象都过点，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为，过作轴的垂线，垂足为，求五边形的面积．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）根据系数的几何意义即可求得，进而求得，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）设直线交轴、轴于、两点，求出点、的坐标，然后联立方程求得、的坐标，最后根据，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
【解答】解：（1）过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，的面积为1．
，
，
在第一象限，
，
反比例函数的解析式为；
反比例函数的图象过点，
，
，
次函数的图象过点，
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）设直线交轴、轴于、两点，
，，
解得或，
，，
，，，，
五边形的面积为：．
23．（10分）如图，线段经过的圆心，交于、两点，，为的弦，连结，，连结并延长交于点，连结交于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求的半径的长；
（3）求线段的长．
【考点】：圆周角定理；：切线的判定与性质
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求出，求出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）解直角三角形得到，，根据勾股定理得到，根据切割线定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2），，
，
，
，
的半径的长为1；
（3），
，，
，
是的切线，是 的割线，
，
．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
（2）先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：①若点在轴下方，四边形为平行四边形，则，②若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标；
（3）如图，作轴交直线于点，设，则，可由，得到的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
【解答】解：（1）抛物线经过、两点，
，
，
抛物线的解析式为，
直线经过、两点，
，解得：，
直线的解析式为，
（2），
抛物线的顶点的坐标为，
轴，
，
，
①如图，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
，
，
解得：，（舍去），
，
②如图，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，
设，则，
，
，
解得：，（舍去），
，，
综合可得点的坐标为或．
（3）如图，作轴交直线于点，
设，则，
，
，
当时，面积的最大值是，此时点坐标为．
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