高中数学空间向量与立体几何单元练习题（含解析）一、单选题1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（?）A．B．C．D．2．在空间直角坐
标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（?）A．B．C．5D．73．已知点，若向量，则点B的坐标是（?）．A．B．C．D
．4．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是（?）A．6B．12C．D．5．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
则平面与平面的关系是（?）A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（?）A．B．C．
D．7．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（?）A．、、共线B．、共线C．、共线D．O
、A、B、C四点共面8．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（?）A．B．C．D．9．已知△ABC是面积为的等边
三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（?）A．B．C．1D．10．在正方体中，，分别
为，的中点，则（?）A．平面B．异面直线与所成的角为30°C．平面平面D．平面平面二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一
组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.12．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的
值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术?商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《
九章算术?商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，，，则四面体PAB
C的外接球的表面积为______．14．设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是______
___．三、解答题15．如图，在三棱柱中，点D是AB的中点．(1)求证：∥平面．(2)若平面ABC，，求证：平面．16．如图，空间
四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：（1）EH∥平面BCD；（2）BD∥平面EFGH.17．
如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点O，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.18．如图，在三棱锥中，平面
平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.高中数学空间向量与立
体几何单元练习题答案1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点，则其关于平面对称的点为.故选
：A.2．D【解析】求出，，利用与数量积为0，求解即可.【详解】，可得，，故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得的坐标.
【详解】设为空间坐标原点，.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原是一个直角三角形，其中直角边，
直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，其中直角边，∴．故选：B．5．C【分析】由题设知，根据空间
向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.【详解】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，，平面与平面的关系是平行或重
合．故选：C．6．D【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为
，圆柱的高为9，所以该圆柱的侧面积为.故选：D7．D【解析】根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因
为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，所以、、共面，所以O、A、B、C四点共面，故选：D8．B【分析】连接
，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.【详解】在正方体中，连接，，可得，所以异面直线与所成
角即为直线与所成角，即为异面直线与所成角，不妨设，则，，取的中点，因为，所以，在直角中，可得.故选：B.9．C【分析】根据球的表面
积和的面积可求得球的半径和外接圆半径，由球的性质可知所求距离.【详解】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为， 是面积为
的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应
用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A项反证法可得；B项由平移法计算
异面直线所成角；C项由面面平行的判断和性质可得结果；D项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A，假设面 ，则，这与已知与不
垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A错误；对于选项B，连接，，因为，所以为异面直线与所成的角或补角，又因为△为等边三角形，所以，故
选项B错误；对于选项C，因为，，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面与平面相交，所以平面与平面也相交，故选项C错误；对于选项D
，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则，，，，可得，，，设平面的法向量为
，则 ，可取，则，，即，设平面的法向量为，则，可取，则，，可得平面的一个法向量为，由，所以，即平面平面，故选项D正确.故选：D.1
1．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB∥CD，可得，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°
，AB∥CD，，即.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用
法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，必有 ，即向量 与向量 共线， ，∴，解得；故答
案为：-1.13．【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于平面，因此与底面上的直线都垂直，从而与不可能垂直，否则
是锐角三角形，由于，因此有，而与是平面内两相交直线，则平面，平面，所以，所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球
心．，，所以所求表面积为．故答案为：．14．【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可
求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，， 设 则，当时的最小值是， 取 则 又因为是任意值，所以的最小值是.取 则
又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接，交于点，连接，用中位线
证明即可；(2)证明CD⊥AB，CD⊥即可.【详解】（1）连接，交于点，连接∵是三棱柱，∴四边形为平行四边形，∴是的中点.∵点是的
中点，∴是的中位线，∴，又平面，平面，∴∥平面.（2）∵平面，平面，∴，∵，，∴，∵，平面，∴平面.16．（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）推导出EH∥BD，由此能证明EH∥平面BCD；（2）由BD∥EH，由此能证明BD∥平面EFGH.【详解】（1）∵EH
为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，∴EH∥平面BCD；（2）∵FG为△CBD的中位线，∴FG
∥BD，∴FG∥EH，∴E、F、G、H四点共面，∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.【点睛
】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(
2)证明见解析【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点，∵E为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面；（2）证明：∵四边形为正
方形，∴，∵平面，且平面，所以，又∵平面，且，∴平面，又∵平面，∴平面平面.18．(1)证明见解析；(2).【分析】(1)由题意首
先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三
棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）[方法一]：通
性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，解得．又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为．[方法二]【最优解
】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G．作，垂足为点F，连结，则．因为平面，所以平面，为二面角的平面角．因为，所以．由已知
得，故．又，所以．因为，．[方法三]：三面角公式考虑三面角，记为，为，，记二面角为．据题意，得．对使用三面角的余弦公式，可得，化简
可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②将①②两式平方后相加，可得，由此得，从而可得．如图可知，即有，根据三角形相似知，点
G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为．【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.试卷第11页，共33页答案第11页，共22页答案第11页，共22页试卷第11页，共33页 |
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