上篇微专题4 平面向量的基本运算和应用板块一 三角函数与平面向量真题演练 感悟高考热点聚焦 分类突破高分训练 对接高考1.以选择题、填空题的
形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档.1
真题演练 感悟高考BCA.－2 B.－1 C.1 D.2解析 由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·
b＋4b2＝9，C3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t
＝( ) A.－6 B.－5 C.5 D.6解析 由题意，得c＝a＋tb＝( 3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t
)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，
c〉，4.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.解析 法一(定义法) 因
为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，法二(结论法) 因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，2热点聚焦 分
类突破核心归纳热点一 平面向量的线性运算1.平面向量加减求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓
住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化. 2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个
字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.A解析 (1)作出示意图如图所示.3解析 如图，设F为BC
中点，又G，D，E三点共线，在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.易错提醒A
解析 (1)如图，连接BD，因为M为AD的中点，由勾股定理得BD＝3，CD＝2，又因为点H为△ABC的垂心，AD为三角形的高，所以
点H在AD上，热点二 平面向量的数量积1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.2.可以利用数量积
求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算. 核心归纳BD解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋
b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，D 解析 法一(基底法) 由题意可得，P是边AB上靠近点A的三等分点，法二(坐标法
) 以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平
面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，而且不能反向共线
.易错提醒D 解析 建立如图所示平面直角坐标系，则A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，设E(x，y)，－1(2
)(2022·兰州模拟)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，若(a＋3b)⊥(2a＋λb)，则实数λ＝____
____.解析 因为向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，且(a＋3b)⊥(2a＋λb)，所以(a＋3b)·(2a＋
λb)＝0，解得λ＝－1.热点三 平面向量的综合应用核心归纳三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角
函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇. 且|x1－x2|min＝π，对于此类问题的解决
方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.规律方法解 法一 由余弦
定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，又由a＞b，知A＞B，3高分训练 对接高
考B一、基本技能练1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A.4 B.3 C.2 D
.0解析 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.A2.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
则2a－b在a方向上的投影向量为( )解析 ∵向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，CA.20 B.15 C.
9 D.6CA.0 B.1 C.2 D.3解析 如图，连接AO，由O为BC的中点可得，∵M，O，N三点共线，∴m＋n＝2
.CD5.(多选)(2022·广州模拟)设向量a＝(－1，1)，b＝(0，2), 则( )解析 ∵a＝(－1，1)，b＝(0，2
)，a－b＝(－1，－1)，∴|a|≠|b|，故A错误；对于B，－1×2－(－1)×0≠0，∴a－b与b不平行，故B错误；对于C，
(a－b)·a＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，∴(a－b)⊥a，故C正确；又a与b的夹角范围是[0，π]，B7.(2022·全
国乙卷改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝________.58.(2022·泰安模拟)已知向量a＝(1
，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2).若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________.1解析 已知向量a＝(1，3)，
b＝(－2，1)，c＝(3，2)，所以kb＋c＝(－2k＋3，k＋2)，因为向量a与向量kb＋c共线，所以k＋2＝3×(－2k＋3
)，解得k＝1.9.已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________.解析 设a与b的夹
角为θ，由(a＋b)⊥a，得(a＋b)·a＝0，即a·b＝－a2，＝________.(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值
和最小值以及对应的x的值.因为0<∠ADB<π，(2)若AC＝3，求cos∠BAD.所以AE＝2.设DE＝BE＝x，在△ABD中，
由余弦定理得在△AED中，由余弦定理得在△ABD中，由余弦定理得在△ABD中，E为BD的中点，二、创新拓展练BA.钝角三角形
B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析 因为点P是△ABC所在平面内一点，则△ABC一定是直角三角形.BC
D所以CE⊥AB，所以选项B正确；－2又因为AB＝2，所以CD＝1，所以△ABC为直角三角形.由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，解得λ2＝4，又λ>1，∴λ＝2.THANKS本节内容结束 |
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