https://weidian.com/s/1218833294探究三角板中的全等 同学们学习数学几乎每天都要和三角板打交道，但同学们你可曾
知道三角板中隐含着许多与数学有关的知识吗？正因为如此，以三角板为背景的数学题目频频亮相于中考试卷，现就探究三角板中的全等，归纳几例
，供参考. 例1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如
图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想. 分析：依题
意，可利用全等三角形的判断方法得到△EAB≌△EDC，从而得到BE和EC的数量及位置关系. 解：BE＝EC，BE⊥EC.证明：因为
AC＝2AB，点D是AC的中点，所以AB＝AD＝CD，又因为∠EAD＝∠EDA＝45°，所以∠EAB＝∠EDC＝135°，因为EA
＝ED，所以△EAB≌△EDC，所以∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，所以∠BEC＝∠AED＝90°，所以BE＝EC，BE⊥EC 例
2 将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B′A′C＝30°）按图（1）方式放置，固定三角板A′B′C，然后将
三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图（2）所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB
与A′B′相交于点O. （1）求证：△BCE≌△B′CF； （2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由. 分析：
（1）由条件，结合操作过程可根据“ASA”证明△BCE≌△B′CF.（2）当旋转角等于30°时，求出∠BCE的度数，再利用三角形的
内角和求出∠BEC的度数，进而求∠A′EO的度数，而∠A′=30°，∴∠A′OE=90°.即可判断AB与A′B′是否垂直. 解：（
1）依题意可知BC＝B′C，∠B＝∠B′，∠BCF＝∠B′CE，所以∠BCF－∠ECF＝∠B′CE－∠ECF，即∠BCE＝∠B′C
F，所以△BCE≌△B′CF； （2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直.理由：因为∠BAC＝∠B′A′C＝30°，所以∠B
＝60°，而此时的旋转角等于30°，所以∠BCE＝60°，所以△BCE是等边三角形，即∠A′EO＝∠BEC＝60°，因为∠A′＝3
0°，所以∠A′OE＝90°，所以AB与A′B′垂直. 例3 两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶
点重合. 将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点. （1）不
添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形； （2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对
应点分别为F1、G1、H1 ，如图③.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D1E1
与CE交于点I，求证：G1I＝CI. 分析:（1）利用图形旋转的特征和三角形全等方法求解；（2）首先根据ASA说明△AF1C
≌△D1H1C，然后再根据全等三角形的性质得到线段相等，进而求解；（3）首先根据AAS证明三角形全等，然后再依据全等三角形的性质得
到∠2＝∠3，进而通过辅助线既可求解. 解：（1） 图②中与△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH； （2）D1F1＝AH1
.理由：因为∠A＝∠D1＝30°，CA＝CD1，∠F1CH1公共，所以△AF1C ≌△D1H1C.所以F1C＝H1C，又CD1＝C
A，所以CD1－F1C ＝CA－H1C，即D1F1＝AH1； （3）如图④，连接CG1，在△D1G1F1和△AG1H1中，因为∠D
1＝∠A，∠D1G1F1＝∠AG1H1，D1F1＝AH1，所以△D1G1F1≌△AG1H1.所以G1F1＝G1H1.又因为H1C＝
F1C，G1C＝G1C，所以△CG1F1≌△CG1H1，所以∠1＝∠2. 因为∠B＝60°，∠BCF＝30°，所以∠BFC＝90°
.又因为∠DCE＝90°，所以∠BFC＝∠DCE，所以BA∥CE，所以∠1＝∠3，即∠2＝∠3.过点I作IM⊥CG 1，则∠G1M
I＝∠CMI＝90°，所以△G1MI≌△CMI，所以G1I＝CI.https://weidian.com/s/1218833294紫妍数学堂——为你提供学习平台 为你学习保驾护航 |
|
