第一章 三角形的证明证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形；(3)根据题
设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程。三角形全等判定公理：1.三边对应相等的两个三角形全等 （ＳＳＳ）
。2.两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等(SAS)。3.两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等(ASA)。性质公理：
全等三角形的对应边、对应角相等。你能用上面的公理证明下面的命题吗？ 两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS
)证明:∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形内角和定理） 在△ABC与△A′B′C′中∵ ∠A=∠A′ （
已知）, AB=A′B′（已知）, ∠B=∠B′ （已证）,∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.′已知:如图,在△A
BC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.求证:△ABC≌△A′B′C′.定理: 两角分别相等且
其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.在△ABC与△A′B′C′中∵∠A=∠A′ ∠C=∠C′ AB=A′B′ ∴
△ABC≌△A′B′C′（AAS）.′证明后的结论,以后可以直接运用. 如图:已知在△ABC和△DEF 中AC=DF,AB=DE,
∠C=∠F=100°,则△ABC和△DEF会全等吗?若能请证明;若不能请说明理由.其它条件不变若∠B=∠E=70°议一议：你还记得
我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).你能利用已有的公理和
定理证明这些结论吗?定理:等腰三角形的两个底角相等.性质1(等边对等角)等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求证
：∠B=?C想一想： 如何证明两个角相等？ 议一议：如何构造两个全等的三角形？已知： 如图，在△AB
C中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.D证明： 作底边的中线AD， 则BD=CDAB=AC ( 已知 )BD=CD ( 已作
)AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).在△BAD和△
CAD中方法一：作底边上的中线已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.D证明： 作顶角的平分线AD，则∠1=
∠2AB=AC ( 已知 )∠1=∠2 ( 已作 )AD=AD (公共边) ∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).∴ ∠ B=
∠C (全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在△BAD和△CAD中12已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证：
∠B= ∠C.D证明： 作底边的高线AD，则∠BDA=∠CDA=90°AB=AC ( 已知 )AD=AD (公共边) ∴ Rt
△BAD ≌ Rt△CAD (HL).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).方法三：作底边的高线在Rt△BAD和Rt△C
AD中定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等边对等角).证明后
的结论,以后可以直接运用. 思考： 由△BAD ≌ △CAD，除了可以得到 ∠ B= ∠C之外，你还可以得到那些 相等的
线段和相等的角？和你的同伴 交流一下，看看你有什么新的发现？
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥B
C（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC, BD=CD (已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）∵AB=AC, AD
⊥BC(已知).∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）综上可得：如图,在△ABC中, （1）如果等腰三角形的一个底角为5
0°， 则其余两个角为____和____．（2）如果等腰三角形的顶角为80°，则它的 一个底角为____．50°80°50°（3
）如果等腰三角形的一个角为80°，则其余两个角为________________________．80°和20°（4）如果等腰三角
形的一个角为100°，则其余两个角为_________．40°和40°或50°和50 ° 根据等腰三角形的性质, 在△ABC中
， AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵A
D是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =
_____.BADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD1．（江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数
中，第三条边的长是( )A． 8 B． 7 C． 4 D． 3．2．(宁波) 如图，在△ABC中
，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B
.4个 C.3个 D.2个 AB3.如图,在三角形ABD中,C是BD上的一点,且AC垂直BD,AC=BC=
CD.(1) 求证:△ABD是等腰三角形(2)求∠ABD的度数ABCD4.将下面证明中每一步的理由写在括号内:已知:如图,AB=C
D,AD=CB.求证:∠A=∠C.证明:连接BD,在△BAD和△DCB中,∵ AB=CD( ) AD
=CB( ) BD=DB( )∴ △BAD≌ △DCB( )∴
:∠A=∠C ( )ABCD5.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠D等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（ “三线合一”）．即：等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边． |
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