北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习
一、选择题
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
答案：B
解析：
解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.
分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.
2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10或12 D．11或13
答案：D
解析：
解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.
分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.
3．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
答案：C
解析：
解答：设AB=AC=x BC=y
则有
或者
所以x=8， y=11或者x=10，y=7.
即三角形AB=AC=8，BC=11.
或AB=AC=10，BC=7.
故选C.
分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.
4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
答案：D
解析：
解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.
分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.
5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B．54° C．18 ° D．64°
答案：B
解析：
解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-36°=54°.
分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.
6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
答案：A
解析：
解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
∴35°.
分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.
7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：
解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．
分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．
8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
答案：C
解析：
解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.
分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.
9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（ ）
A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm
答案：B
解析：
解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，
∴2x＞20?2x，
即20?2x＞0.
解得5 cm＜x＜10 cm．
分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.
10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（ ）
A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm
答案：C
解析：
解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED，
∵AE=6cm，
∴ED=3cm.
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴ED=CE，
∴CE=3cm.
分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值
11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案B
解析：
解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3
∵OB=6，
∴点B到直线y=x的距离为6×=3，
∵3＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，
所以，点C的个数是1+2=3．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点
12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
答案：D
解析：
解答：设运动的时间为x cm/s，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．
分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.
13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
答案：C
解析：
解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.
分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案
14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（ ）
A. 60° B．45° C．90° D．不能确定
答案：A
解析：
解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，
∴a=b=c，
∴a=b=c，
∴三角形是等边三角形，
∴∠A=60°.
分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.
15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（ ）
A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm
答案：B
解析：
解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；
(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；
(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；
∵6+6＜24，∴该假设不成立．
所以等腰三角形的底边为4cm．
分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.
二、填空题
16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.
答案：70°或55°
解析：
解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°
分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.
17. 等腰三角形的对称轴是____________.
答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线
解析：
解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．
18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．
答案：72°/3
解析：
解答：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°?36°）=72°.
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，
∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，
∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，
∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.
图中共有3个等腰三角形．
分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.
19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.
答案：80°或50°或20°
解析：
解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．
分两种情况：
（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；
（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C= (180°?80°) =50°
（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．
综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.
分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.
20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.
答案：5
解析：
解答：∵∠A=80°，∠B=50°，
∴∠C=180°-80°-50°=50°.
∴AB=AC=5.
分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.
三、解答题.
21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.
答案：27°/2
解答：∵AB=AC，∠C=63°，
∴∠B=∠C=63°，
∴∠BAC=180°-63°-63°=54°.
又∵AD是BC边上的高，
∴AD是∠BAC的平分线，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠BAC=27°，DC=BC=2.
解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD=∠BAC=27°，DC=BC=2.
22.在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F.
求证：AF平分∠BAC
答案：证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠CDB=90°.
在△BCE和△CBD中，
∠ABC=∠ACB，∠BEC=∠CDB，BC=BC.
∴△BCE≌△CBD（AAS）.
∴BE=CD.
∵AB=AC，BE=CD，∴AB-BE=AC-CD，∴AE=AD.
∴在△AEF和△ADF中，AE=AD, AF=AF.
△AEF≌△ADF（HL）.
∴∠EAF=∠DAF，AF平分∠BAC.
解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.
23.如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证： （1）△BCE≌△ACD；
答案：ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）CF=CH；
答案：BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
在△BCF和△ACH中，
∴∠ACH=60°，
∴∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
（3）△FCH是等边三角形；
答案：CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
（4）FH∥BD.
答案：证明：∵△CHF为等边三角形
∴∠FHC=60°，
∵∠HCD=60°，
∴FH∥BD
解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE≌△ACD；
由△BCE≌△ACD得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF≌△ACH，能得出CF=CH；两边等，加上一个角60°推出△CFH是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH∥BD.
24. 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D
答案：证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD+∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.
解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D
25.如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O， 过O 点作DE ∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE 的周长.
答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴OD=BD，OE=CE，
∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.
解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．
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