2022年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）（2022?鄂州）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
2．（3分）（2022?鄂州）下列计算正确的是（ ）
A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b
3．（3分）（2022?鄂州）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022?鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022?鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
6．（3分）（2022?鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．（3分）（2022?鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
8．（3分）（2022?鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
10．（3分）（2022?鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）（2022?鄂州）计算：＝ ．
12．（3分）（2022?鄂州）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是 ．
13．（3分）（2022?鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．
15．（3分）（2022?鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA＝，则k的值为 ．
16．（3分）（2022?鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2022?鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
18．（8分）（2022?鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）表中a＝ ，C等级对应的圆心角度数为 ；
（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？
（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等级 成绩x/分 人数 A 90≤x≤100 15 B 80≤x＜90 a C 70≤x＜80 18 D x＜70 7
19．（8分）（2022?鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
20．（8分）（2022?鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）
21．（8分）（2022?鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
22．（10分）（2022?鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
23．（10分）（2022?鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
24．（12分）（2022?鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
2022年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）（2022?鄂州）实数9的相反数等于（ ）
A．﹣9 B．+9 C． D．﹣
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：实数9的相反数是：﹣9．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）（2022?鄂州）下列计算正确的是（ ）
A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b
【分析】按照整式幂的运算法则和合并同类项法则逐一计算进行即可得答案．
【解答】解：∵b与b2不是同类项，
∴选项A不符合题意；
∵b6÷b3＝b3，
∴选项B不符合题意；
∵（2b）3＝8b3，
∴选项C不符合题意；
∵3b﹣2b＝b，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式幂与合并同类项的相关运算能力，关键是能准确理解并运用相关计算法则．
3．（3分）（2022?鄂州）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（3分）（2022?鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三视图的定义解答即可．
【解答】解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A选项正确，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．
5．（3分）（2022?鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】由题意可得AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝15°，再结合平行线的性质可得∠1＝∠CBA＝15°．
【解答】解：由题意可得AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，
∴∠CAB＝∠CBA＝15°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CBA＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC＝AC是解答本题的关键．
6．（3分）（2022?鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22022与22的尾数相同，即可求解．
【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，
∴2的乘方的尾数每4个循环一次，
∵2022÷4＝505…2，
∴22022与22的尾数相同，
故选：C．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．
7．（3分）（2022?鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【分析】根据题意和函数图象，可以写出当kx+b＜x时，x的取值范围．
【解答】解：由图象可得，
当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，
∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）（2022?鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．
【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．
10．（3分）（2022?鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．12
【分析】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果．
【解答】解：如图，
作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，
AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长，
可得AK＝AE?sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，
∴AR＝2+6+4＝12，
∵AD＝24，
∴sin∠ADR＝＝，
∴∠ADR＝30°，
∵∠PFD9＝60°，
∴∠ADT＝90°，
∴AT＝＝＝12，
故答案为：C．
【点评】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，将B和C两地变为“一个点”．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
11．（3分）（2022?鄂州）计算：＝ 2 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．
【解答】解：∵22＝4，
∴＝2．
故答案为：2
【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．
12．（3分）（2022?鄂州）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是 3 ．
【分析】根据众数的概念求解即可．
【解答】解：因为这组数据中3出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
13．（3分）（2022?鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 ．
【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．
【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，
则a+b＝4，ab＝3，
则原式＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理．
15．（3分）（2022?鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA＝，则k的值为 2 ．
【分析】由点A在直线y＝2x上，且OA＝，可求得A点坐标为（ 1，2）把已知点的坐标代入解析式可得，k＝2．
【解答】解：设A（x，y），
∵点A在直线y＝2x上，且OA＝，
∴A点坐标为（ 1，2），
∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，
∴2＝k，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，是数形结合题．
16．（3分）（2022?鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．
【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，
∴∠APB＝120°，
在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，
∴∠C＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠BFE＝120°，
即∠APB＝∠BFE，
∴△APB∽△BFE，
∴＝＝2，
设BP＝x，则AP＝2x，
作BH⊥AD延长线于H，
∵∠BPD＝∠APE＝60°，
∴∠PBH＝30°，
∴PH＝，BH＝，
∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，
在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，
即（x）2+（x）2＝62，
解得x＝或﹣（舍去），
∴AP＝，BP＝，
∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2022?鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
【分析】根据同分母分式加法的法则计算即可，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝3﹣1＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法的运算法则和因式分解的方法．
18．（8分）（2022?鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）表中a＝ 20 ，C等级对应的圆心角度数为 108° ；
（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？
（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等级 成绩x/分 人数 A 90≤x≤100 15 B 80≤x＜90 a C 70≤x＜80 18 D x＜70 7
【分析】（1）由A的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由全校参加此次竞赛共有的人数乘以成绩为A等级的学生所占比例即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人），
∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级对应的圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：20，108°；
（2）600×＝150（人），
答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人；
（3）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，
∴恰好抽到T1，T2的概率为＝．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了统计表和扇形统计图．
19．（8分）（2022?鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再证∠CDF＝∠DCF，即可得出结论；
（2）证△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝6，再证△OCD是等边三角形，得OC＝OD＝6，则BD＝2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝6，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∴S矩形ABCD＝BC?CD＝6×6＝36．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）（2022?鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）
【分析】（1）根据斜坡CF的坡比＝1：3，可得GC＝3DG＝90米，然后在Rt△DGC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DG＝BH＝30米，DH＝BG，设BC＝x米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数 定义求出AB的长，从而求出AH，DH的长，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，
∴＝，
∴GC＝3DG＝90（米），
在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），
∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30米；
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，
则DG＝BH＝30米，DH＝BG，
设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC?tan45°＝x（米），
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝60+30，
经检验：x＝60+90是原方程的根，
∴AB＝（60+90）米，
∴此时飞机的高度AB为（60+90）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（8分）（2022?鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 2.5 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．
【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为：路程÷时间；
（2）是分段函数，利用待定系数法可求；
（3）小明离家2km时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家2km，利用路程÷速度可得此时间，第二个时间利用BC段解析式可求得．
【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为＝km/min；
故答案为：2.5，；
（2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5），
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5，
∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）当y＝2时，﹣x+4.5＝2，
∴x＝，
2＝12，
∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min．
【点评】本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他所用的时间单位是min．
22．（10分）（2022?鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，结合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是⊙O的切线；
（2）由tanA＝，得出＝，由△PCB∽△PAC，得出＝＝＝，进而求出PB＝2，PA＝8，OC＝3，由平行线分线段成比例定理得出，进而求出CD＝6，即可求出△OCD的面积．
【解答】解：（1）PC是⊙O的切线，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠PCB＝∠OAC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，tanA＝，
∵tanA＝，
∴＝，
∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴＝＝＝，
∵PC＝4，
∴PB＝2，PA＝8，
∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，
∴OC＝OB＝OA＝3，
∵BC∥OD，
∴，即，
∴CD＝6，
∵OC⊥CD，
∴＝×3×6＝9．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题的关键．
23．（10分）（2022?鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： （0，） ， y＝﹣ ．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．
【分析】（1）根据焦点的坐标公式和准线l的方程直接得出结论即可；
（2）可求出点P的纵坐标，从而确定P点的横坐标；
（3）作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，由BK∥FH∥AG得△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，从而，，进一步求得结果；
（4）设点M（m，m2），根据＝2列出方程，求得m的值，进一步求得结果．
【解答】解：（1）∵a＝2，
∴＝，
故答案为：（0，），y＝﹣；
（2）∵a＝，
∴﹣＝﹣4，
∴准线为：y＝﹣4，
∴点P的纵坐标为：2，
∴＝2，
∴x＝±4，
∴P（4，2）或（﹣4，2）；
（3）如图，
作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，
∵BK∥FH∥AG，
∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
∴，，
∴＝＝，，
∴a＝；
（4）设点M（m，m2），
∵＝，
∴＝2，
∴＝2，
∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴M（﹣2，1），
∵E为线段HF的黄金分割点，
∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，
当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，
∴△HME的面积是﹣1或3﹣．
【点评】本题考查了阅读运用新知识能力，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．
24．（12分）（2022?鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．设PH＝OH＝x，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PB即可；
（3）如图2中，设PA′交OB于点T．利用相似三角形的性质求出ET，再求出PB，可得结论；
（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．证明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠PAF＝∠GKF＝90°，推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小．
【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；
（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．
∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴PH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB＝PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（3）如图2中，设PA′交OB于点T．
∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB＝PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；
（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．
∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，FP＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四边形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OQ＝+＝，
∴OW＝OR?sin60°＝4，
∴OG的最小值为4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等边三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴线段FP扫过的面积＝＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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